☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學 張莉

由一道高考真題初探一類“碗狀”函數(shù)最值

☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學 張莉

引例 （2014全國高考安徽卷理科第8題）若函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則實數(shù)a的值為（）.

A.5或8 B.5或-1 C.-1或-4 C.8或-4

問題的提出很簡單，但這是一道可以由特殊到一般的問題，為數(shù)學研究性學習提供了絕好的素材，同時，在探究過程中可以體驗探究性學習的思考方法、思維過程，以及感悟邏輯推理的魅力.筆者從引例解法、本質(zhì)、拓展、應用四個方面展示引例的研究性學習過程.

一、解法探究

解法1：（分類討論）當a=2時，f（x）=3|x+1|≥0，與條件

解法4：（代入驗證）根據(jù)答案提供的a的值代入函數(shù)f（x），將函數(shù)f（x）具體化，如當a=5時，f（x）=按照分段函數(shù)求最值的辦法（分段求最值，然后比較），可知函數(shù)不合題意.同理，經(jīng)檢驗可知a=-4或8.

評注：以上僅提供了對引例的四種解法，解法1旨在消除絕對值的背景，化歸為分段函數(shù)；解法2利用絕對值的幾何意義，但巧在等號同時成立；同樣，解法3局部使用絕對值不等式，其實是解法2的代數(shù)化；解法4是根據(jù)題型（選擇題）的特點，借助選擇支進行排除.但其解法仍然是在就題論題，并不通暢，這類題目的一般性解法是值得思考的問題.

二、本質(zhì)探究

函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x+a|其實是利用絕對值進行包裝的分段函數(shù)，令|x+1|=0，則x=-1；令|2x+a|=0，則x=采用零點分區(qū)域的辦法，不難得到函數(shù)f（x）的圖像.圖1所示的是圖像的各種情況，由圖形便可直觀地得到一些初步結(jié)論.

圖1

結(jié)論1絕對值函數(shù)f（x）=|ax+b|+|cx+d|的圖像是由折線組成，其最小值在某個絕對值的零點（折點）處取得.

結(jié)論2絕對值函數(shù)f（x）=|ax+b|+|cx+d|（a＞0，c＞0）的每段折線的斜率：

可見，絕對值函數(shù)f（x）兩側(cè)折線的斜率互為相反數(shù)，且兩側(cè)折線無線向上延伸，中間下凹，圖像形似碗狀，我們形象地把這類函數(shù)稱之為“碗狀”函數(shù).

三、一類“碗狀”函數(shù)最值的探究

分析：當n=2k，k∈N*時，|x-a1|+|x-a2k|≥a2k-a1（當且僅當x∈｛x|a1≤x≤a2k｝時等號取得），同理|x-a2|+|x-a2k-1|≥a2k-1-a2（當且僅當x∈｛x|a2≤x≤a2k-1｝時等號取得），…，|x-ak|+ |x-ak+1|≥ak+1-ak（當且僅當x∈｛x|ak≤x≤ak+1｝時等號取得）.將上述k個不等式相加得（a2+a3+…+ak）（*），因｛x|ak≤x≤ak+1｝哿…哿｛x|a2≤x≤a2k-1｝哿｛x|a1≤x≤a2k｝，故當且僅當x0∈｛x|ak≤x≤ak+1｝時，（*）式等號成立.此時f（x）min=f（x0），ak≤x≤ak+1.

注：ak、ak+1為a1、a2、…、an的中間兩數(shù)，即“碗狀”函數(shù)中間的兩個折點.

同理，當n=2k+1，k∈N*時，我們可以得到f（x）min= f（x0），此時x0=ak+1.

結(jié)合結(jié)論2，我們還可以得到引例更簡潔的解法.

證明：當n為偶數(shù)時，因數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，故

當n為奇數(shù)時，因數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，故同理可證，對于任意的x，均有成立，則函數(shù)f（x）圖像的對稱軸為