☉浙江省余姚市第二中學 楊福來

習題引導探究發(fā)散演繹精彩

☉浙江省余姚市第二中學 楊福來

高考數(shù)學命題以“能力立意”為指導思想，更加注重考查考生的基礎知識、創(chuàng)新意識和發(fā)散思維.很多高考題都來源于書本的例題和習題的改編再創(chuàng)造，我們有必要深入地認識課本中的習題，在課堂中教會學生數(shù)學地思考問題，進而培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，提高學生的能力.

題目直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，求證：OA⊥OB.

一、習題分析

本題是人教版《全日制普通高級中學教科書（選修2-1）數(shù)學》73頁的第六題，主要考查解析幾何的基本思想和基本方法，看似平凡，其實是一道可以用來進一步推廣方法和技巧的好題，對啟迪學生的發(fā)散性思維，拓寬學生的解題思路很有幫助.

解析：設A（x1，y1），B（x2，y2）.

將直線y=x-2代入拋物線y2=2x得x2-6x+4=0，所以x1x2=4，x1+x2=6，y1y2=（x1-2）（x2-2）=-4.

二、習題的推廣和挖掘

發(fā)散1：A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上異于頂點的兩個動點且OA⊥OB，則：

（1）A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值；

（2）直線AB過定點.

證明：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線為x=my+n，代入拋物線得y2-2pmy-2pn=0.

所以y1y2=-2pn，y1+y2=2pm.

又OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=

（2）由（1）得直線為x=my+n=my+2p，所以直線過定點（2p，0）.

在發(fā)散1中，如果改為逆命題，直線過定點（2p，0），同理也可以證明出OA⊥OB.進而我們思考，在上題中直角頂點O是坐標原點，A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上異于頂點的兩個動點，如果把直角頂點移到拋物線上來，可以得到類似的結論嗎？

發(fā)散2：定點M（x0，y0）在拋物線y2=2px（p＞0）上，A、B是拋物線上的兩個動點且MA⊥MB，則直線過定點.

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線為x=my+n，代入拋物線得y2-2pmy-2pn=0.

所以y1y2=-2pn，y1+y2=2pm.

又MA⊥MB，所以M→→A·M→→B=0.

所以（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0.

所以直線AB為x=my+2p+my0+x0=m（y+y0）+x0+2p.

所以直線AB恒過定點（x0+2p，-y0）.

因此當直角頂點在拋物線上動起來時，也可以得到直線過定點，原來拋物線有這么好的發(fā)散結論，所以筆者就在想能不能繼續(xù)發(fā)散，得出拋物線其他的定點定值問題呢？

發(fā)散3：拋物線y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點.

（1）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點弦AB的兩個端點作拋物線的切線AP、BP，則兩切線的交點P在拋物線的準線上；

（2）過拋物線y2=2px（p＞0）的準線上任何一點P作拋物線的兩條切線AP、BP，切點為A、B，則直線AB過拋物線的焦點F.

以上兩式相減可得（y1-y2）y=p（x1-x2），即（y1-y2）y=代入y1y=-p（x1+x2）中，可得y1y2=2px.

又由發(fā)散1類似可得y1y2=-p2，所以即交點P的坐標為

到此通過發(fā)散，我們得到了一個關于焦點弦的結論，這也給筆者打開了廣闊的思路，筆者嘗試著對上題進一步的思考，得到一個變式：過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的一條弦AB，記準線與x軸的交點為E，AE、BE分別交y軸于P、Q兩點，求證：線段EF平分角∠PEQ.（提示：事實上只需要證明kAE+kBE=0即可）

事實上，對于變式的思考，我們涉及了拋物線及斜率之和，如果我們進一步發(fā)散，可以得到如下結論.

發(fā)散4：已知拋物線x2=2py（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點，A、B是拋物線上的兩個動點，且在y軸的同側，如果直線AF的斜率和直線BF的斜率互為相反數(shù)，則直線AB過定點.

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），焦點為

所以x1x2=p2.

直線AB的斜率肯定存在，設直線方程為y=kx+b，代入拋物線得x2-2pkx-2pb=0.

所以x1x2=-2pb.

所以x1x2=p2=-2pb.

三、結束語

高考數(shù)學命題以“能力立意”為指導思想，更加注重考查考生繼續(xù)學習的潛能和基礎文化素質，以及創(chuàng)新意維與發(fā)散思維.很多高考題都來源于書本的例題和習題的改編再創(chuàng)造，試題的解答不需要高深的數(shù)學知識和高難度的變形技巧，而需要有較強的在新情景下解決問題的能力，需要一定的創(chuàng)新意識和發(fā)散意識.因此我們有必要重新深入地認識課本中的習題，在課堂中我們要體驗學習的過程，理解數(shù)學的本質，提高數(shù)學素養(yǎng)，學會數(shù)學地思考問題，學會對習題的思考發(fā)散，提高學生的能力.

1.普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學（選修2-1）［M］.北京：人民教育出版社，2006.

2.王恒亮.拋物線定點、定值問題的探究［J］.中學數(shù)學（上），2013（4）.