☉浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學(xué)厲永剛

以學(xué)生為主體，以問(wèn)題為載體
——結(jié)合“幾何概型”教學(xué)實(shí)踐談?wù)勆菊n堂教學(xué)策略

☉浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學(xué)厲永剛

“生本教學(xué)”課堂強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，是以學(xué)生為主體，以問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生深入地參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生通過(guò)自身的參與，在思考中汲取知識(shí).這樣的教學(xué)模式，能很好地調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性，教師能借此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)本質(zhì)上的提升.在本文中結(jié)合的教學(xué)案例是“幾何概型”，“幾何概型”是高中數(shù)學(xué)課程中最貼近學(xué)生生活實(shí)際的內(nèi)容，能考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.接下來(lái)，筆者將結(jié)合“幾何概型”教學(xué)實(shí)踐談?wù)劇耙詫W(xué)生為主體，以問(wèn)題為載體”的高中數(shù)學(xué)生本課堂教學(xué)策略.

一、課前鏈接，復(fù)習(xí)提問(wèn)

常言道：“溫故而知新，可以為師矣.”數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在密切的聯(lián)系，課前幫助學(xué)生復(fù)習(xí)學(xué)過(guò)的知識(shí)，是為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的掌握，起到承上啟下的作用.

教師：同學(xué)們，上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了古典概型，大家都還記得古典概型的主要特征嗎？

學(xué)生們：古典概型的基本事件是有限的，另外，每一個(gè)事件發(fā)生的可能性都是一樣的.

教師：嗯，對(duì)的.那么古典概型的概率公式是什么？

教師：從公式我們可以看出，求事件的概率其實(shí)就是求事件包含的基礎(chǔ)事件的個(gè)數(shù)以及基本事件的總個(gè)數(shù)，兩者之比就是事件的概率.今天，我們要研究幾個(gè)新的問(wèn)題，看看這些問(wèn)題和古典概型有什么異同點(diǎn).

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)古典概型進(jìn)行了復(fù)習(xí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)幾何概型做好鋪墊，同時(shí)也有利于學(xué)生掌握兩者的聯(lián)系和區(qū)別.這是“以學(xué)生為主體”的課堂教學(xué)中必不可少的環(huán)節(jié).

二、設(shè)置情景，引入課題

設(shè)置恰當(dāng)?shù)纳顚?shí)際情景，是為了引發(fā)學(xué)生的思考和激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，凸顯“以學(xué)生為主體”的理念，并且以此為契機(jī)，發(fā)揮“以問(wèn)題為載體”的作用，通過(guò)具體問(wèn)題情景，將學(xué)生引入課題內(nèi).

問(wèn)題1：在坐標(biāo)軸上，從［0，10］內(nèi)任意取一個(gè)實(shí)數(shù)，求P（A），其中A=｛大于5的實(shí)數(shù)｝.（教師在大屏幕中投影出題目）

教師：這道題中基本的事件是什么？

學(xué)生們：在［0，10］內(nèi)取任意實(shí)數(shù).

教師：那么我們能將基本事件的個(gè)數(shù)全部數(shù)出來(lái)嗎？事件之間是等可能性的嗎？

學(xué)生1：數(shù)不完的，實(shí)數(shù)范圍很大，但事件之間是等可能性的.

教師：這樣還是我們學(xué)習(xí)過(guò)的“古典概型”嗎？

學(xué)生們：不是.

教師：那誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)怎么求解嗎？

（學(xué)生細(xì)聲討論）

學(xué)生2：我認(rèn)為可以把整體的基本事件看成是一個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，而要求的事件A則是其中的一部分，在（5，10］內(nèi)都成立，那么事件A就可以看成半個(gè)單位長(zhǎng)度的線段.P（A）就等于兩者之比，即P（A）

教師：回答的很好.沒(méi)錯(cuò)，這題的解題思路正如剛剛那位同學(xué)所說(shuō).雖然整體的基本事件和事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)我們都無(wú)法一一數(shù)清，但可以看成是兩段有長(zhǎng)度的線段，用線段的長(zhǎng)度比來(lái)求概率.這是一種基本的解題思路.

問(wèn)題2：甲、乙兩同學(xué)玩擲飛鏢游戲，假設(shè)他們都能中標(biāo)靶，他們約定如果甲中灰色區(qū)域就算贏，否則算乙贏.求甲贏的概率.（投影出圖1）

教師：這題中的基本事件是什么？

學(xué)生們：飛鏢中標(biāo)靶的位置.

教師：那總數(shù)有多少？可能性相等嗎？

學(xué)生1：跟上一題一樣，是無(wú)限的，但可能性都是相等的.

教師：對(duì)的，下一步怎么求呢？

學(xué)生2：把圓的面積當(dāng)成是整體的基本事件，灰色區(qū)域當(dāng)成是甲贏的事件，那它們之比就是甲贏的概率，即

圖1

教師：很好，對(duì)的.跟剛剛的題類似，但這里我們是用幾何圖形的面積來(lái)求概率.如果題目變成這樣呢（如圖2）？

圖2

教師：這樣呢（如圖3）？

圖3

教師：從這個(gè)變化過(guò)程中，我們可以得出什么結(jié)論呢？

學(xué)生1：所求的概率只跟灰色區(qū)域所占面積有關(guān)，與位置無(wú)關(guān).

教師：總結(jié)的很好，我們繼續(xù)看下一題.

問(wèn)題3：在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為20米、15米、5米的鐵籠里有一只鳥(niǎo)，求鳥(niǎo)和鐵籠距離大于1米的概率.

教師：題目中的基本事件是什么？

學(xué)生們：鳥(niǎo)在鐵籠中的位置.

教師：那總數(shù)有多少？可能性相等嗎？

學(xué)生2：是無(wú)限的，但可能性都是相等的.

教師：那么下一步怎么求呢？

學(xué)生2：可以把鐵籠的體積當(dāng)成是整體的基本事件，鳥(niǎo)在鐵籠中的活動(dòng)范圍的體積為所求事件，那么體積比

教師：對(duì)，回答的很好.解決這題時(shí)我們用體積來(lái)計(jì)算概率.從上面三題中，我們可以總結(jié)出這類題的共同特征.

學(xué)生1：整體的基本事件是無(wú)限的.

學(xué)生2：基本事件是等可能性的.

學(xué)生3：都可以用幾何知識(shí)來(lái)求解.

教師：這三位同學(xué)總結(jié)的綜合起來(lái)就是我們今天要學(xué)的主要內(nèi)容“幾何概型”.

............

在這個(gè)過(guò)程中，教師始終扮演著“引導(dǎo)者”的角色，學(xué)生的主體性得到了充分的體現(xiàn)，通過(guò)連續(xù)的問(wèn)題將長(zhǎng)度、面積、體積幾方面的知識(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在思考中理解“幾何概型”的特征，并掌握基本的解題思路和方法，提高學(xué)生的解題能力.

三、探究新知，掌握概念

“以學(xué)生為主體，以問(wèn)題為載體”就是要通過(guò)學(xué)生的探究和教師的總結(jié)歸納，使學(xué)生掌握概念，突出學(xué)生的課堂主體地位和教師的引導(dǎo)作用.

教師：接下來(lái)，我們要明確一下剛剛學(xué)習(xí)的“幾何概型”.

（教師在黑板上將特征和計(jì)算公式羅列出來(lái)）

教師：這就是“幾何概型”，誰(shuí)能總結(jié)一下它和“古典概型”的聯(lián)系和區(qū)別？

學(xué)生1：它們的共同點(diǎn)就是基本事件的可能性相等.

學(xué)生2：還有它們的概率公式都是比值形式.

教師：恩，對(duì)的.那不同點(diǎn)呢？

學(xué)生3：古典概型的基本事件是可數(shù)的，是有限個(gè)，但幾何概型中卻是不可數(shù)的，有無(wú)限個(gè).

教師：同學(xué)們都掌握的比較好，下面我們看看針對(duì)具體的題目，怎么來(lái)判斷是哪一種類型.

（教師把題目投影在大屏幕上）

1.在一個(gè)黑箱內(nèi)有5把鑰匙，其中有一把能打開(kāi)門(mén)，問(wèn)：從黑箱內(nèi)隨意拿出一把，能開(kāi)門(mén)的概率是多少？

2.一根10米長(zhǎng)的水管，在水管上的任意位置截?cái)?，?wèn)：截?cái)嗪蟮膬啥嗡荛L(zhǎng)度都大于或等于4米的概率是多少？

3.在一個(gè)正方形方框內(nèi)，倒入泥沙，問(wèn)：泥沙落入方框內(nèi)切圓內(nèi)的概率是多少.

（學(xué)生討論）

學(xué)生1：第一題，鑰匙的總數(shù)是有限的，即基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，每一把鑰匙被拿出的可能性是一樣的，所以這是古典概型的題目.

學(xué)生2：第二題，水管被截?cái)嗟奈恢檬侨我獾模覠o(wú)法數(shù)清，即基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，而截?cái)嗟奈恢檬堑瓤赡苄缘?，所以是幾何概型題目.

學(xué)生3：第三題，泥沙落入方框內(nèi)的位置是隨機(jī)的，且無(wú)法數(shù)清，即基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，但泥沙落入的位置可能性是相同的，因此是幾何概型題目.

教師：全對(duì)，很好.同學(xué)們都比較好地掌握了這兩者的區(qū)別，能正確地判斷出來(lái)，以后同學(xué)們做題時(shí)，一定要先分清題目的類型，再用對(duì)應(yīng)的方法解決.

.............

“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)“練習(xí)是檢驗(yàn)學(xué)生掌握情況最好的辦法”.通過(guò)上述探究過(guò)程，學(xué)生較好地掌握了古典概型和幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系.教師在課堂中又一次地扮演了“引導(dǎo)者”，發(fā)揮著引導(dǎo)學(xué)生探究的作用，學(xué)生始終處于積極思考的狀態(tài)，對(duì)學(xué)生起到較好的激發(fā)作用，學(xué)生會(huì)有較強(qiáng)的“主人翁”感，在掌握概念的同時(shí)，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力.

四、變式練習(xí)，加強(qiáng)鞏固

在變式練習(xí)中結(jié)合生活實(shí)際，將幾何概型融入到真實(shí)的例子中，提高數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值，幫助學(xué)生建立起“學(xué)有所得，學(xué)有所用”的觀念.

例1一位司機(jī)在開(kāi)車途中，發(fā)現(xiàn)車上的時(shí)鐘沒(méi)電了，此時(shí)它打開(kāi)電臺(tái)，想聽(tīng)聽(tīng)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，那么他在5分鐘內(nèi)聽(tīng)到報(bào)時(shí)的概率是多少？

變式1：火車站每隔15分鐘有一班車發(fā)出，有人到車站坐車，到達(dá)的時(shí)間是任意的，則他在車站等待時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是多少？

（教師將題目投影出來(lái)，題目比較簡(jiǎn)單，由學(xué)生自行完成，最后教師指出本質(zhì)問(wèn)題即可，講解過(guò)程略）

例2早上媽媽出去買早餐，可能在6點(diǎn)半到7點(diǎn)半之間回到家，爸爸會(huì)在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間出去上班，問(wèn)：爸爸能吃完早餐后去上班的概率是多少？

（教師將題目投影到大屏幕）

教師：同學(xué)們，我們?cè)倏纯催@道題，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)這題中的整體基本事件是什么？個(gè)數(shù)和可能性怎樣？

學(xué)生1：應(yīng)該是媽媽回來(lái)的時(shí)間和爸爸出去的時(shí)間個(gè)數(shù)之和，是不可數(shù)的，可能性相同.

學(xué)生2：不對(duì).媽媽回來(lái)的時(shí)間和爸爸出去的時(shí)間是有約束的，應(yīng)該是媽媽回來(lái)的時(shí)間點(diǎn)和爸爸出去的時(shí)間點(diǎn)組成的一個(gè)組合.可能性相同，個(gè)數(shù)不可數(shù).

教師：這位同學(xué)糾正的很好.這題中的事件是由兩個(gè)隨機(jī)事件共同決定的，與前面幾題有所不同.這種題目，我們可以借助坐標(biāo)系將事件轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)系上的點(diǎn)，這樣就能用我們前面學(xué)過(guò)的方法來(lái)解決了.同學(xué)們，嘗試做一做.

（經(jīng)過(guò)幾分鐘后由學(xué)生來(lái)回答）

學(xué)生1：媽媽和爸爸的時(shí)間在x、y軸上表示出來(lái)，則題目中所求的事件表達(dá)為（x，y）.整體的基本事件就是由6.5≤x≤7.5和7≤y≤8構(gòu)成的一個(gè)正方形.要滿足題目中所求的問(wèn)題，就要滿足媽媽在爸爸出去前回來(lái)，即y≥x，在坐標(biāo)軸中就是直線y-x=0下方與正方形圍成的圖形，可求得其面積是總面積是1，所以所求概率為

（說(shuō)完后，臺(tái)下響起了學(xué)生的鼓掌聲）

教師：非常好，完整地將這道題目解答出來(lái)了.這種方法對(duì)有兩個(gè)隨機(jī)變量的題目都可以用.我們?cè)賮?lái)看一個(gè)變式.

變式2：有兩輛公車到達(dá)同一個(gè)車站，并?？?分鐘，它們?cè)谠缟?點(diǎn)到9點(diǎn)間能在車站相遇的概率是多少？

（由學(xué)生自行解決）

............

對(duì)于上述變式練習(xí)，通過(guò)教師的一步一步引導(dǎo)，學(xué)生能基本完成，并且能解答雙變量題目，能起到鞏固學(xué)生知識(shí)的作用，也讓學(xué)生體會(huì)到了成功的喜悅感，增加了其對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)做好鋪墊.

總地來(lái)說(shuō)，“以學(xué)生為主體，以問(wèn)題為載體”是“生本教學(xué)”的一種具體表現(xiàn)，能起到很好的調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性和培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的作用，要更好地發(fā)揮其功效，還需各位教師不斷努力創(chuàng)新教學(xué)方法.

1.邊靜靜.“生本教育”理念下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的探索與實(shí)踐［J］.課程·教材·教法，2011（4）.

2.廖助會(huì).生本教育視野中高中數(shù)學(xué)教學(xué)探究［J］.教育科學(xué)研究，2014（3）.

3.劉偉.生本教育理念下指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)［J］.教學(xué)月刊，2011（2）.

4.燕海軍.高中數(shù)學(xué)課堂生本教育構(gòu)建分析［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（12）.