☉江蘇省丹陽(yáng)市第五中學(xué) 吳延俊

利用導(dǎo)數(shù)法處理不等式問(wèn)題的思維起點(diǎn)

☉江蘇省丹陽(yáng)市第五中學(xué) 吳延俊

在近年各省市高考試題中，常見到這樣一類問(wèn)題：對(duì)區(qū)間內(nèi)任意（在區(qū)間內(nèi)存在）自變量，使得不等式成立，求參數(shù)取值范圍或證明不等式問(wèn)題.由于這類問(wèn)題本身的抽象性及隱蔽性，同學(xué)們?cè)诮鉀Q這類問(wèn)題時(shí)，常常束手無(wú)策.本文對(duì)此類問(wèn)題舉例分析，說(shuō)明其求解策略.

一、單變量問(wèn)題的合并處理

思維起點(diǎn)：對(duì)任意的x∈［a，b］，都有f（x）≥g（x）成立，是不同函數(shù)對(duì)同一變量下的恒成立問(wèn)題，通常設(shè)h（x）=f（x）-g（x），則可轉(zhuǎn)化為求h（x）min≥0.若函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間［a，b］上恒為正值，也可以設(shè)h使 h（x）min≥1.

例1設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）略；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）略.

當(dāng)a≤1時(shí)，φ′（x）≥0（僅當(dāng)x=0，a=1時(shí)等號(hào)成立），所以φ（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.又φ（0）=0，所以φ（x）≥0在［0，+∞）上恒成立，故恒成立（僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）.

當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x∈（0，a-1］有φ′（x）≤0，所以φ（x）在（0，a-1］上單調(diào)遞減，則φ（a-1）＜φ（0）=0，即a＞1時(shí)，存在x＞0，使φ（x）＜0，故ln（1+x）≥不恒成立.

故a的取值范圍是（-∞，1］.

評(píng)析：若將問(wèn)題改為存在x∈［a，b］，使得f（x）≥g（x）成立，是不同函數(shù)對(duì)同一變量下的恒成立問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），進(jìn)而將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求h（x）min≥0，問(wèn)題得解.

二、雙變量問(wèn)題的分別處理

思維起點(diǎn)：某些不等式問(wèn)題涉及x1、x2兩個(gè)無(wú)關(guān)的變量，使得f（x1）和g（x2）的取值互不影響，應(yīng)對(duì)兩函數(shù)的最值進(jìn)行分別求解.

（1）略；

（2）如果對(duì)于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）先考察函數(shù)g（x）=-x2+2x-3（x∈R）的圖像（圖略），配方得g（x）=-（x-1）2-2，所以函數(shù)g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且g（x）max= g（1）=-2.

因?yàn)閷?duì)于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1.

下面考察函數(shù)h（x）=xlnx（x＞0）的圖像.h′（x）=lnx+1.令h′（x）=lnx+1=0，解得單調(diào)遞減，在.因?yàn)閷?duì)于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以

評(píng)析：若將題目改為：存在x1∈［a，b］，x2∈［c，d］，使

f（x1）＞g（x2）成立，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使f（x）max＞g（x）min.

三、參變量問(wèn)題的分離處理

思維起點(diǎn)：對(duì)于含參數(shù)a的不等式，將參數(shù)a與主元x分離開來(lái)，問(wèn)題變形為“不等式f（x）＞a（＜a）恒成立”，進(jìn)而將問(wèn)題演變?yōu)榍蠛瘮?shù)f（x）的最值，而此時(shí)函數(shù)f（x）中不再含有參數(shù)，求最值比較簡(jiǎn)便.

（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；

解析：（1）略.

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造輔助函數(shù)

思維起點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式的關(guān)鍵是進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，變式的依?jù)是將不等式兩端化為相同結(jié)構(gòu)的式子，如：證明（an+bn）m＞（am+bm）n，將不等式兩端取對(duì)數(shù)得ln（an+bn）m＞ln（am+bm）n，即mln（an+bn）＞nln（am+bm）?將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=的單調(diào)性問(wèn)題；或者將不等式構(gòu)造為已知條件中所給出的函數(shù)類型，再利用其單調(diào)性證明.

（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；

因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立.

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由x2+（2-2a）x+1≥0，得2a-2≤

評(píng)析：如何構(gòu)造輔助函數(shù)是解決本題的難點(diǎn)所在.不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于本題，構(gòu)造輔助函數(shù)的關(guān)鍵在于將不等式轉(zhuǎn)化為與已知函數(shù)結(jié)構(gòu)相同的式子（本例經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后

五、合理區(qū)分存在與任意

思維起點(diǎn)：對(duì)任意的x1∈［a，b］，總存在x2∈［c，d］，使（fx1）＜g（x2）成立，是指x1取區(qū)間［a，b］上的任意一個(gè)值，總存在x2∈［c，d］，使得g（x2）＞（fx1），即（fx）max＜g（x）max.

解析： 由于?x1∈（0，2］，?x2∈（0，2］，（fx1）＜g（x2）?（fx）max＜g（x）max.顯然g（x）max=0，從而只需（fx）max＜0即可.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ln2-1，+∞）.

評(píng)析：若將條件改為對(duì)任意的x1∈［a，b］，總存在x2∈［c，d］，使f（x1）＞g（x2）成立，就是說(shuō)x1取區(qū)間［a，b］上的任意一個(gè)值，總存在x2∈［c，d］，使得g（x2）＜f（x1），即f（x）min＞g（x）min.