楊文光，綦 濤，高艷輝

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京東燕郊 101601)

0引言

混沌是一種貌似無規(guī)則的運(yùn)動，指在確定性非線性系統(tǒng)中，不需附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)類似隨機(jī)的行為(內(nèi)在隨機(jī)性)?；煦缦到y(tǒng)的最大特點(diǎn)就在于系統(tǒng)的演化對初始條件十分敏感，因此從長期意義上講，系統(tǒng)的未來行為是不可預(yù)測的?；煦缈茖W(xué)是隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，尤其是在計算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)和普遍應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新興交叉學(xué)科，近年來，混沌在通信、社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、自然科學(xué)、生命科學(xué)等各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，并引起了人們的興趣。在非線性電路中混沌信號的一個顯著特性是它的非漸近穩(wěn)定。一個完全相同的自治混沌系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的初始條件有一微小差異時，系統(tǒng)的運(yùn)動軌道在同一相空間將會變得毫不相關(guān)。因此，有人認(rèn)為混沌系統(tǒng)似乎是難以同步的。但是，1990年P(guān)ecora和Carroll發(fā)現(xiàn)一個混沌系統(tǒng)的某些相同的子系統(tǒng)在特定的條件下可以相互同步。這里的兩個系統(tǒng)的同步，是指一個系統(tǒng)的軌道收斂于另一個系統(tǒng)軌道的同一值，它們之間始終保持步調(diào)一致，并且這種同步是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。至此混沌系統(tǒng)被廣泛地應(yīng)用于保信通信中［1－7］?；煦绫Ｃ芡ㄐ攀窃诎l(fā)射端將信息埋入發(fā)射系統(tǒng)的混沌信號中，接收端接收含有信息的混沌信號并提取出信息?；煦绫Ｃ芡ㄐ判枰l(fā)射端(驅(qū)動系統(tǒng))與接收端(響應(yīng)系統(tǒng))兩混沌系統(tǒng)的同步。

近年來，隨著研究的不斷深入，人們先后提出一系列有效的混沌同步控制方法，例如，耦合同步，連續(xù)變量反饋同步，自適應(yīng)控制同步等［4－8］?；煦缯谘谑冀K是最為經(jīng)典和常用的一種，以其易于實(shí)現(xiàn)而深得人們的青睞?？紤]到多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有以任意精度逼近任意非線性連續(xù)函數(shù)的能力，所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的處理不確定性和外界干擾的能力，因此被廣泛用于控制領(lǐng)域。鑒于多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，為了實(shí)現(xiàn)上的便利性，本文選用僅含單一隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)證明它能夠以任意精度逼近任意的連續(xù)函數(shù)。本文設(shè)計一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器來實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步。首先設(shè)計出n個誤差輸入函數(shù)，然后分別以這n個函數(shù)為輸入設(shè)計一個含有n個單輸入單輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出即為控制器的控制量。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)對該同步方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并結(jié)合保密通信驗(yàn)證了其具有良好的保密性能。

1 混沌同步系統(tǒng)的描敘與控制

選擇驅(qū)動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為:

其中 x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn為狀態(tài)向量，A∈Rn×n為常數(shù)矩陣，f(x)為非線性連續(xù)函數(shù)。

選擇響應(yīng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為:

其中 y=(y1，y2，…，yn)T∈Rn為狀態(tài)向量，u(t)=(u1(t)，u2(t)，…，un(t))T∈Rn，f(y)為非線性連續(xù)函數(shù)?？刂频哪繕?biāo)是設(shè)計合理的控制器u(t)，使得響應(yīng)系統(tǒng)能夠漸近跟蹤驅(qū)動系統(tǒng)，并最終實(shí)現(xiàn)同步，即

定義誤差 e=y－x，e=(e1，e2，…，en)T∈Rn，由公式(1)與(2)可得誤差系統(tǒng)為

根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬能逼近原理，任何一個連續(xù)的非線性函數(shù)都可以通過理想權(quán)值的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來以任意精度逼近。我們的目標(biāo)是充分利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的在線學(xué)習(xí)能來設(shè)計一組控制器u(t)使得根據(jù)僅用一個隱含層就可以逼近任意連續(xù)的非線性函數(shù)。為了使得問題表示與求解的簡單，假設(shè)本文采用單輸入單輸出單隱含層的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來設(shè)計控制器，定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為控制器u(t)=(u1(t)，u2(t)，…，un(t))T∈Rn，第 i個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入為:

其中，ci為大于0的常數(shù).第i個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出ui(t)為:

其中，i=1，2，…，n，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層神經(jīng)元采用s型的激勵函數(shù)，其表達(dá)式為

誤差能量函數(shù)采用:

其中yj(k)為響應(yīng)系統(tǒng)第j個狀態(tài)分量的第k次輸出，xj(k)為驅(qū)動系統(tǒng)第j個狀態(tài)分量的第k次輸出，E(k)為誤差能量在第k次的取值。

傳統(tǒng)的BP算法，也就是誤差反向傳播(負(fù)梯度方向)，它的表達(dá)式為

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法采用動量BP算法，它的實(shí)質(zhì)就是通過改變學(xué)習(xí)率η來提高網(wǎng)絡(luò)性能，加入動量項(xiàng)表達(dá)式變?yōu)?/p>

其中，動量項(xiàng) αΔw(k)=α［w(k)－w(k－1)］。α為動量因子，0＜α＜1。動量項(xiàng)的作用在于記憶上一時刻的連接權(quán)的變化方向(即變化量的值)，這樣就可以通過較大的學(xué)習(xí)速率系數(shù)η來提高學(xué)習(xí)速度。附加動量項(xiàng)利用其“慣性效應(yīng)”來抑制網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中可能出現(xiàn)的振蕩，起到了緩沖平滑的作用。

此外，附加動量項(xiàng)還有利于脫離平坦區(qū)。如果網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練已進(jìn)入到了誤差曲面的平坦區(qū)域，那么誤差將變化很小，于是Δw(k+1)近似等于Δw(k)，而平均的 Δw(k)將變?yōu)?/p>

利用公式(7)可以加快誤差函數(shù)沿著函數(shù)值減少最快的方向進(jìn)行，從而達(dá)到混沌同步。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 混沌系統(tǒng)描述

圖1 主從Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1(t)與y1(t)

圖3 主從Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量x3(t)與y3(t)

Lorenz 系統(tǒng)［9，10］的數(shù)學(xué)模型為當(dāng)a=10，b=8/3，c=28時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2.2 Lorenz系統(tǒng)的同步

仿真實(shí)驗(yàn)中采用步長為h=0.001的歐拉公式法，主 Lorenz系統(tǒng)的初值選?。?.2，0.91，3］;從Lorenz系統(tǒng)的初值選取［3，2，1］。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù) c1=c2=c3=15，η =0.95，α =0.1，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層個數(shù)為m=7。仿真結(jié)果如圖1、2所示。圖1、圖2、圖3分別為同步系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時間演變曲線圖，圖4為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入u1，u2，u3隨時間演變曲線圖。從以上仿真結(jié)果可以看出:兩個系統(tǒng)的狀態(tài)變量在利用本方法設(shè)計的控制器的作用下在較短的時間迭代后達(dá)到同步且同步的效果較好。圖5給出了Lorenz系統(tǒng)同步時主從系統(tǒng)間狀態(tài)跟蹤誤差 e1，e2，e3。

圖2 主從Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量x2(t)與y2(t)

圖4 Lorenz系統(tǒng)同步時神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出隨時間的演變曲線圖

圖5 Lorenz系統(tǒng)同步誤差

2.3 保密通信仿真

為了實(shí)現(xiàn)基于動量BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌保密通信，可按照下列步驟進(jìn)行:

步驟1:先使用驅(qū)動系統(tǒng)產(chǎn)生混沌信號;

步驟2:利用動量BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制實(shí)現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)同步;

步驟3:驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步時，將模擬信號加在驅(qū)動系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號中;

步驟4:通過同步的響應(yīng)系統(tǒng)將模擬信號解密出來。

Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)與上面同步實(shí)驗(yàn)中所選的參數(shù)相同，保密通信仿真所選的模擬信號為y=sin(x)，x∈［0，10π］，使用 MATLAB 對系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真后的結(jié)果如下圖所示:圖6(a)為要經(jīng)過混沌系統(tǒng)加密的發(fā)送信號，用y表示;圖6(b)為經(jīng)過混沌系統(tǒng)加密后的信號，其中加密信號是在同步后的某個時間加入，用y1表示;圖6(c)為經(jīng)過控制器解密后的保密信號，用y2表示。從圖中可以看出，經(jīng)過混沌系統(tǒng)加密后保密性能非常好，經(jīng)解密后保密信號能完全從加密信號中解密出來，仿真的效果很好，驗(yàn)證了該系統(tǒng)的有效性。由于加密信號只是占到了驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)運(yùn)行時間的一部分，故加密信號x的步長h1是與仿真步長h取值是不同的，在本文中h1=π/10，h1取值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于h取值，即保密信號的采樣點(diǎn)個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于混沌同步系統(tǒng)的采樣點(diǎn)個數(shù)。

3 結(jié)論

本文是基于動量BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)同步及保密通訊，充分利用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有以任意精度逼近任意非線性連續(xù)函數(shù)的能力，具有較強(qiáng)的處理不確定性和外界干擾的能力，通過設(shè)計一組控制器，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步。然后利用Lorenz混沌系統(tǒng)對本文設(shè)計的控制方法進(jìn)行了驗(yàn)證，同步實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法具有良好的同步效果。最后將本文所提混沌同步方法應(yīng)用于保密通信中，借助于MATLAB仿真，實(shí)現(xiàn)了保密通信，從仿真結(jié)果來看，驗(yàn)證了基于動量BP算法改進(jìn)下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器在保密通信中的有效性與可行性。

圖6 Lorenz系統(tǒng)加密信號

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