劉美良++陸立峰

當(dāng)前，高三教學(xué)對(duì)高考真題的引入往往是把高考試題直接呈現(xiàn)，這樣做的好處是學(xué)生知道是高考題，會(huì)激起學(xué)生的求知欲、好勝心，及享受問題解決后的成功感. 然而，更多的學(xué)生看到高考題時(shí)會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，甚至有恐慌心理，從而導(dǎo)致高考試題價(jià)值沒有充分挖掘，教學(xué)效益就大打折扣.圍繞上述問題，備課組進(jìn)行了微主題的教學(xué)設(shè)計(jì)研討活動(dòng)，要求教師以高考二輪專題復(fù)習(xí)為背景，選用一道高考試題作為例題，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂展示和研討，試圖構(gòu)建具有一般性、可操作性的高考試題的教學(xué)設(shè)計(jì)模式.本文就以一道高考試題為素材，將我校的以高考試題教學(xué)為微主題的一次教學(xué)展示研討活動(dòng)的過(guò)程，整理成文，以期與同行交流、探討.

一、選題——亂花漸欲迷人眼

在茫茫題海中選什么樣的題作為教學(xué)內(nèi)容，更符合學(xué)生的心理訴求和高考考查方向；如何用之，更能提升其教學(xué)價(jià)值？其方法是否具有一般可操作性？這些問題一直困擾著備課組里的每一位教師.茫茫題海何處尋、亂花漸欲迷人眼，找來(lái)找去，反復(fù)比較，最后基本統(tǒng)一意見，選取了浙江省2011年高考第21題作為這節(jié)課的核心問題進(jìn)行教學(xué). 理由主要有三點(diǎn)：一是題目代表了浙江高考命題的考查方向.縱觀近幾年浙江解析幾何試題，確有“似曾相識(shí)燕歸來(lái)，風(fēng)雨依稀似故人”的感覺.試題結(jié)構(gòu)具有相當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián)性：在“雙曲”的幾何背景下，設(shè)計(jì)了一點(diǎn)出發(fā)的兩條直線，構(gòu)成一個(gè)典型的“雙斜率”問題.這類問題涉及的幾何要素多，計(jì)算要求高，算法設(shè)計(jì)能力強(qiáng)，承載著高中主要數(shù)學(xué)思想如函數(shù)與方程，化歸與轉(zhuǎn)化等，突出體現(xiàn)了“主干知識(shí)重點(diǎn)考”的浙江特色. 二是解析幾何歷來(lái)是師生最不愿直面的問題，平時(shí)考試幾乎沒有幾次能完整解答，是學(xué)生邁不過(guò)的“一道坎”，也是老師心中“永遠(yuǎn)的痛”，因此是二輪備考亟需突破的一個(gè)點(diǎn).三是“雙斜率”問題符合學(xué)生實(shí)際，學(xué)生在解決此問題時(shí)，對(duì)直線方程假設(shè)是直接采用斜率作參量還是用點(diǎn)的坐標(biāo)作參量，難以定奪，所以選此題具有針對(duì)性.同時(shí)在高三二輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生薄弱的、需要提高的是解決“壓軸問題”的思想和心理.這三點(diǎn)理由也符合高三復(fù)習(xí)教學(xué)中題目選取的一般原則，即題目具有代表性、針對(duì)性、綜合性、靈活性、整體性.

二、初次上課——問題始露尖尖角

第一次上課，教師備課選用了三道高考題作為上課的內(nèi)容，一是2011 年浙江高考試題理科21題，二是2011年浙江高考試題文科22題，三是2009年浙江高考試題理科 21 題，并準(zhǔn)備把第一題作為例題，第二題作為變式引申，最后一道題做為練習(xí).

上課一開始，教師就直接將2011年浙江高考理科21題投影顯示（如圖1），并問學(xué)生誰(shuí)有想法請(qǐng)發(fā)言，課堂上一片寂靜，約過(guò)5分鐘老師請(qǐng)一位同學(xué)發(fā)言.

生1：我想求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，所以先假設(shè)P（x0，[x0][2]），再設(shè)直線PE，PF的方程.

師：嗯，有道理，那PE，PF的方程怎么表示？

生1：記切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）的切線方程：PE：x1x+（y1-4）（y-4）=1.PF：x2x+（y2-4）（y-4）=1.

師：那怎么求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)？

學(xué)生面露難色，遲疑不決，其他同學(xué)也覺得涉及5個(gè)變量，肯定做不了！難道還要霸王硬上弓，用求根公式解出兩個(gè)交點(diǎn)？一時(shí)間學(xué)生議論紛紛，課堂有點(diǎn)嘈雜，很明顯學(xué)生的思路和老師想法不一致.這時(shí)，教師急了，拋出了參考答案的解法，詳細(xì)解答了這個(gè)題目.之后就直接給出變式即2011年的文科第22題，供學(xué)生模仿練習(xí)，剩下給第三題的時(shí)間不多了，教師有點(diǎn)亂了陣腳，只是點(diǎn)到為止.課后備課組的同伴圍在一起七嘴八舌，有的說(shuō)課堂容量太大，計(jì)算要求過(guò)高；有的說(shuō)直線方程的假設(shè)是關(guān)鍵，兩條直線的斜率關(guān)系的探求，學(xué)生反映都難以想到；有的說(shuō)方法的呈現(xiàn)不自然，猶如“魔術(shù)師帽子里突然多了一只活蹦亂跳的兔子”，教師這樣講有點(diǎn)生吞活剝、囫圇吞棗似的.那么到底難在哪里？怎樣的教學(xué)處理能化“難”為“易”？這節(jié)課要達(dá)到什么樣的教學(xué)目標(biāo)？什么樣的教學(xué)境界？這節(jié)課首先是難在如何通過(guò)兩條切線方程合理表示，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo).而合理的設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線方程是解析幾何的一種基本能力，這種能力的形成一方面需要經(jīng)驗(yàn)的積累，另一方面需要有一定的預(yù)見性，并將該能力的培養(yǎng)滲透在平時(shí)點(diǎn)點(diǎn)滴滴的教學(xué)之中.經(jīng)過(guò)討論，大家認(rèn)為這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)不能僅是完成高考試題的教學(xué)和展示，而是要通過(guò)問題的解決的過(guò)程中落實(shí)解析幾何的思想方法，在自主探究的過(guò)程中將條件、結(jié)論進(jìn)行有效地、自然地化歸，并通過(guò)合理地設(shè)點(diǎn)、設(shè)曲線方程減少運(yùn)算，優(yōu)化算法，形成一種能探究“陌生的東西”、解決“繁難問題”的心理意識(shí)和機(jī)制.按照這樣的想法，重新進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，第 2 次上課教師利用問題串、變式串在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行啟發(fā)式探究教學(xué).

三、再次上課——輕舟已過(guò)萬(wàn)重山

問題1：如圖2，已知點(diǎn)P（-1，1）在拋物線C1：x2=y上，圓C2：x2+（y-4）2=1，求過(guò)點(diǎn)P且與圓C2相切的直線方程.

師：滿足條件的切線方程有幾條？如何求出切線方程？

生2：假設(shè)切線的斜率為k，則切線方程：y-1=k（x+1），利用圓心到切線的距離等于半徑即可求出.即：=1，即k=，說(shuō)明還有一條切線是斜率不存在的情況.所以兩條切線方程是：x=-1，y-1=（x+1）.

師：很好，考慮很全面.通常關(guān)于k的方程有兩個(gè)解k1，k2，真是一“k”兩用一箭雙雕??！

變式1：已知拋物線C1∶x2=y，圓C2∶x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)M.點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，若兩條切線的斜率之積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

師：條件中的“斜率之積為3”如何用數(shù)量關(guān)系表述？

生3：就是前面指的k1，k2的乘積等于3（學(xué)生脫口而出），即：k1·k2=3.

師：那如何借助k1·k2=3，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？endprint

生4：設(shè)點(diǎn)P（x0，[x0][2]），過(guò)點(diǎn)P的切線方程：y-[x0][2]=k（x-x0），即kx-y+[x0][2]-kx0=0，則由=1，可得（[x0][2]-k2）+（8x0-2[x0][3]）k+[x0][4]-8[x0][2]+15=0（*），k1k2=3=，∴[x0][2]=2，或[x0][2]=9，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

師：這個(gè)求解方法有值得我們學(xué)習(xí)總結(jié)之處嗎？請(qǐng)發(fā)表看法.

生：把k1k2=3當(dāng)作（*）式方程的兩根之積，以k為主元，這樣處理很有效.

變式2：已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，若兩條切線交y軸于A，B兩點(diǎn).是否存在點(diǎn)P，使線段AB被點(diǎn)N（0，）平分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

師：解決問題的關(guān)鍵是求出哪些量？如何求？

生5：求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo).所以由變式1：過(guò)點(diǎn)P的切線方程：y-[x0][2]=k（x-x0），即kx-y+[x0][2]-kx0=0，令x=0，則A（0，[x0][2]-k1x0），B（0，[x0][2]-k2x0），所以=2[x0][2]-（k1+k2）x0，由（*）式方程可得：k1+k2=，代入上式：=2[x0][2]-·x0，可得[x0][2]=.

師：看來(lái)由一點(diǎn)出發(fā)“雙斜率”問題，找到兩者的斜率的關(guān)系很要緊，要具有方程的意識(shí).這樣的處理方式值得總結(jié)，推廣.

問題2：如圖1，已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，兩條切線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn).若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于EF，求直線l的方程.

師：有前面的解題經(jīng)驗(yàn)積累，應(yīng)先求出哪些量，又如何表示呢？

生6：求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)條件kMP·kEF=-1，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），由y-[x0][2]=k（x-x0），

y=x2.?x2-k1x+k1x0-[x0][2]=0，∴x1·x0=k1x0-[x0][2]，∴x1=k-x0，同理∴x2=k2-x0，∴kEF==x1+x2=（k1+k2）-2x0，由kMP·kEF=-1即可求出.

師：直線和曲線相交問題中，已知一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理求另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，是常用的方法，也是解析幾何中一種常見的結(jié)構(gòu)模型.

生7：其實(shí)求E，F(xiàn)的坐標(biāo)，還可簡(jiǎn)單點(diǎn)，利用點(diǎn)差法就可以. ∴kEP==x1+x0=k1，kEF==x2+x0=k2. 全班同學(xué)為其鼓掌、喝彩.

師：請(qǐng)同學(xué)對(duì)以上問題認(rèn)真總結(jié)，并在原題的背景上，能否思考并提出新的、有價(jià)值的問題？

學(xué)生輕聲交流，思考，很快有學(xué)生就提出新的問題，經(jīng)整理如下，供學(xué)生自主練習(xí).

（1）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)M. 已知點(diǎn)P（t，t2）（-3≤t≤-2）是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，若兩條切線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn).求直線EF斜率的最值.

（2）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)M. 已知點(diǎn)P（t，t2）（-3≤t≤-2）是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，若兩條切線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn).求△PEF的面積的最小值.

表?yè)P(yáng)學(xué)生的有意義的思考后，教師自然地投放了2011年的浙江文科高考試題.

（3）（2011浙江，22）如圖3，設(shè)P是拋物線C1：x2=y上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C2：x2+（y+3）2=1上的兩條切線，交直線l：y=-3于A，B兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得線段A，B被拋物線C1在點(diǎn)P處的切線平分？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，則說(shuō)明理由.

并告訴學(xué)生問題2就是2011年浙江理科的21題，老師順?biāo)浦?，展示了浙江近幾年高考試題——雙斜率模型一眼望穿！學(xué)生真切感知高考解幾試題的“本”與“源”，可謂一題破萬(wàn)題山！學(xué)生的情緒高漲，難以自抑！整節(jié)課自然順暢，有序遞進(jìn)，師生有效互動(dòng)，思維活躍，全然沒有著急的焦慮，卻不知不覺有輕舟已過(guò)萬(wàn)重山的歡快！下課的鈴聲已響起，學(xué)生的思維仍沒有止步，部分同學(xué)在課后又自編了如下問題.

（4）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)P是橢圓C∶+=1上的一個(gè)橫坐標(biāo)大于2的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)P作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線分別與y軸交于A，B兩點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得△PAB的面積最小.

四、思考

選用高考題為例題的解題教學(xué)，與其說(shuō)是教“解”法，不如說(shuō)是教“想”法. 即進(jìn)行“解題技能”成因的合理性、必要性的探究，讓思路來(lái)得自然一些，使學(xué)生知道解題思路的形成是有規(guī)律可循的，是有人情味的、清楚的，這才是解題教學(xué)的根本之道.所以，在第二次教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)問題1 “求過(guò)圓外一點(diǎn)的切線問題”，然后借助變式1中的“斜率之積為3”這一問題逐步逼近思維核心和問題本質(zhì)；問題 1及其變式其實(shí)是問題 2 的“退化”，是根據(jù)問題 2 中的雙斜率背景編制而來(lái).為此，圍繞著它設(shè)置了問題 1 及其兩個(gè)變式來(lái)搭建學(xué)生得以攀爬的“支架”，使學(xué)生一步一個(gè)臺(tái)階，循序漸進(jìn)、節(jié)節(jié)攀登，使課堂真正回歸到數(shù)學(xué)知識(shí)生成、學(xué)生思維發(fā)生的“原生態(tài)”.至此，把2011年浙江21題這樣一座“難以攀登的大山”進(jìn)行了“解體”、“退化”，在幾何系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不變的情況下，設(shè)計(jì)了一系列問題串、變式串，比較好地突破了教學(xué)的難點(diǎn).這樣的設(shè)計(jì)，自然順暢，有序遞進(jìn)，使問題建構(gòu)在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，有規(guī)律可循，一環(huán)扣一環(huán)、一步進(jìn)一步，引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)逐步開放的空間里自主地發(fā)現(xiàn)，探究，直到學(xué)生自編關(guān)聯(lián)性的問題.

當(dāng)然，對(duì)于一道高考試題，尤其是“難”題的教學(xué)而言，可根據(jù)問題的特點(diǎn)，學(xué)生的基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)不同的教學(xué)方法，也可將各種教學(xué)方法結(jié)合運(yùn)用.傳統(tǒng)的直面問題的講授法并非唯一的選擇，適當(dāng)把原來(lái)的綜合問題進(jìn)行分解、分拆、退化. “善于退，足夠的退，退到最原始而又不失去本質(zhì)的地方”，退到在學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)方法、化難為易，也應(yīng)成為廣大教師嘗試高題試題教學(xué)的一種追求！endprint