☉江蘇省徐州高級中學(xué) 劉 華

追求邏輯連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)
——以“多邊形內(nèi)角和”教學(xué)為例

☉江蘇省徐州高級中學(xué) 劉 華

我們知道，初中平面幾何內(nèi)容主要來源于《幾何原本》，前后知識的邏輯連貫是其特色.筆者最近觀摩了一次同課異構(gòu)教學(xué)活動，開課課題是“多邊形內(nèi)角和”，本文記錄兩種不同風格的教學(xué)設(shè)計，并給出解讀和反思，與同行研討.

一、兩種教學(xué)設(shè)計

（一）第一種教學(xué)設(shè)計

教學(xué)環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課.

問題1：某個多邊形所有的角加起來等于它的外角和，那么該多邊形是幾邊形？小明僅用幾分鐘就解決了問題，你能嗎？

問題2：用四塊大小、形狀完全相同的四邊形可拼成一塊無空隙的紙板，你知道為什么嗎？

設(shè)計意圖：這樣一開始設(shè)疑，學(xué)生很容易發(fā)問，這個多邊形是幾邊形呢？用四塊大小、形狀完全相同的四邊形可拼成一塊無空隙的紙板，為什么會產(chǎn)生這種效果呢？從而可調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和注意力，創(chuàng)設(shè)恰當?shù)慕虒W(xué)情境.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：合作交流，探索新知.

（1）問題：三角形的內(nèi)角和等于多少度？外角和等于多少度？長方形的內(nèi)角和等于多少度？正方形的內(nèi)角和等于多少度？

（2）問題：任意四邊形的內(nèi)角和等于多少度呢？你是怎樣得到的？你有幾種方法？

（3）學(xué)生思考并分組討論，教師深入小組參與活動，指導(dǎo)傾聽學(xué)生交流.

（4）學(xué)生分組選代表展示小組的探索成果，師生共同進行評判，對學(xué)生找到的不同的方法及時給予肯定.

設(shè)計意圖：學(xué)生可能找到以下幾種方法：“量”——先測量四邊形四個內(nèi)角的度數(shù)，然后求四個內(nèi)角的和；“拼”——把四邊形的四個內(nèi)角剪下來，然后拼在一起形成一個周角；“分”——通過添加輔助線的方法，把四邊形割成三角形.

教師在學(xué)生展示完后提問：在“量”“拼”“分”這幾種方法中，哪種方法簡單又相對準確？我們剛才找到了幾種作輔助線的方法，它們的共同點是什么？

教學(xué)環(huán)節(jié)3：自主探究，得出結(jié)論.

（1）問題：用剛才類似的方法，你能算出五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和嗎？

（2）問題：依次類推，n邊形的內(nèi)角和等于多少度呢？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生自己歸納總結(jié)，得出n邊形內(nèi)角和公式為（n-2）·180.

教學(xué)環(huán)節(jié)4：應(yīng)用新知，嘗試練習(xí).

（1）想一想：如果一個四邊形的對角互補，那么另一組對角有什么關(guān)系？為什么？

（2）算一算：四邊形、五邊形、六邊形以及n邊形的外角和呢？

教學(xué)環(huán)節(jié)5：歸納總結(jié)，形成體系.

從以下幾方面引導(dǎo)學(xué)生進行小結(jié).

（1）現(xiàn)在你能解決情境中的兩個問題嗎？

（2）這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識和方法？你有什么收獲？

（二）第二種教學(xué)設(shè)計

教學(xué)環(huán)節(jié)1：回顧舊知，猜想新知.

提問：回顧三角形的內(nèi)角和和外角和，猜想多邊形的內(nèi)角和與外角和.

預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：三角形的內(nèi)角和等于180°，外角和等于360°.如圖1，可以通過作平行線，平移∠1、∠2、∠3到三角形的一個頂點處，得到一個周角，說明∠1＋∠2＋∠3＝360°.例如過點C作CD∥AB.

圖1

圖2

當邊數(shù)增加時（如圖2），多邊形的內(nèi)角個數(shù)、外角個數(shù)隨之增加，多邊形的內(nèi)角和和外角和會隨之發(fā)生變化嗎？

（同學(xué)們自己思考、探究、猜想、伴以小組討論）

教學(xué)環(huán)節(jié)2：全班交流研究的方法和成果.

（1）先研究內(nèi)角和，后研究外角和.

以四邊形為例.

怎樣研究？——作輔助線，將原多邊形分成若干個三角形（如圖3）.

圖3

圖4

方法1：過四邊形ABCD的一個頂點作對角線，再由四邊形擴展到n邊形（如圖4）.歸納出：

過一個頂點所作的對角線條數(shù)等于（n-3）；

過一個頂點作對角線，將原n邊形分成的三角形的個數(shù)為（n-2）.

n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°.

方法2：在多邊形的邊上、形內(nèi)或形外任取一點O（如圖5），與各頂點連接，運用“三角形內(nèi)角和等于180°”同樣可得上述結(jié)論.

圖5

由多邊形內(nèi)角和公式和多邊形外角定義，易得：多邊形的外角和等于360°.

（2）先研究外角和，后研究內(nèi)角和.

如圖6，過C作CE∥DA，CF∥AB.則∠DCE＝∠2，∠ECF＝∠3，∠FCM＝∠4.

由周角定義可得：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.

圖6

即：n邊形的外角和等于360°.

根據(jù)多邊形外角定義及“多邊形的外角和等于360°”，易得多邊形的內(nèi)角和公式：多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°.

師生總結(jié)：

當多邊形的邊數(shù)變化時，多邊形的內(nèi)角和隨之變化，為變量，而外角和卻始終不變，為一個常量360°；

在研究變化過程中的數(shù)量關(guān)系時，可從變量入手，也可從不變的量入手研究；

教學(xué)環(huán)節(jié)3：練習(xí)鞏固.

練習(xí)1：（改編自教材習(xí)題）如圖7，五邊形ABCDE中，必須已知怎樣的條件方可求得∠E的度數(shù)？

預(yù)設(shè)意圖：學(xué)生自己思考編題、解題.教師預(yù)設(shè)如下.

圖7

（1）已知其他4個角的度數(shù)（∠A＝135°，∠B＝120°，∠C＝60°，∠D＝150°）；

（2）已知與∠E相鄰的外角的度數(shù)或它們之間的數(shù)量關(guān)系.

練習(xí)2：一個多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是幾邊形？

變式：根據(jù)多邊形的外角與相鄰內(nèi)角的互補關(guān)系，正多邊形的各個內(nèi)角相等，外角也相等.還可編出哪些求邊數(shù)的問題？

如：一個正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的4倍，求邊數(shù)；

一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的5倍少180°，求邊數(shù).

教學(xué)環(huán)節(jié)4：小結(jié).（略）

二、解讀和反思

1.第一種設(shè)計的主要立意

首先是教材處理上較有特色，比如將教材中的例題改編成練習(xí)，由學(xué)生自己嘗試解答；將教材中求六邊形的外角和，改為練習(xí)中的“算一算”，先讓學(xué)生求四邊形的外角和，再探索五邊形、六邊形及n邊形的外角和.這樣處理主要是體現(xiàn)學(xué)生的自主性，使學(xué)生變“被動”為“主動”.教學(xué)形式上，將不少練習(xí)采取分組競賽的形式合作完成，使學(xué)生產(chǎn)生強烈的學(xué)習(xí)興趣，追求較好的課堂氣氛.

2.第二種設(shè)計的主要立意

開課階段，教者首先從學(xué)生實際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形內(nèi)、外角和定理及其證明方法，在教師設(shè)置的問題引領(lǐng)下，使學(xué)生選擇適當?shù)难芯坎呗?，使學(xué)生認識到只要類比三角形的內(nèi)角和定理及外角和的證明方法，通過添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化為三角形就可以解決新問題.這樣做不僅讓學(xué)生再次體會類比和擴展方法的使用，以及把復(fù)雜問題化為簡單問題，化未知為已知的思維方法，而且使學(xué)生體驗到事物的“對立和統(tǒng)一”“矛盾與轉(zhuǎn)化”的規(guī)律.

3.兩種教學(xué)設(shè)計的對比

可以發(fā)現(xiàn)，第一種設(shè)計只是對教材的亦步亦趨、小修小改，屬于尊重教材、嚴守教材的一種教學(xué)取向，課堂容量有限，表面上學(xué)生活動形式多樣、課堂氣氛活躍、有大量展示，但是數(shù)學(xué)的思維活動卻不能與第二種教學(xué)設(shè)計相比.在第二種教學(xué)設(shè)計的課堂上，我們注意到課中教者巧妙地把同類的問題放在一起讓學(xué)生去感受、去體會、去總結(jié)；引導(dǎo)學(xué)生從問題個性中探求共性，尋求變異，多角度、多層次去構(gòu)思、延伸、拓展，這樣引導(dǎo)學(xué)生自主探究，有利于激活學(xué)生的思維，使學(xué)生的學(xué)力得到有效鍛煉和提高，是一節(jié)更有數(shù)學(xué)味兒的課堂，也是我們應(yīng)該追求的前后一致、邏輯連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)取向.

1.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.章建躍，陳向蘭.數(shù)學(xué)教育之取勢明道優(yōu)術(shù)［J］.數(shù)學(xué)通報，2014（10）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.【日】佐滕學(xué).21世紀學(xué)校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.

5.馬立平，著.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)［M］.李士锜，吳穎康，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.