☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 石建華

從激活到升華：積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基本路徑*
——探索三角形相似的條件（3）教學(xué)片斷賞析與思考

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 石建華

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)·數(shù)學(xué)》（2011年版）［1］（以下簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）指出：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐步積累的.”江蘇省“十二五”重點(diǎn)規(guī)劃資助課題《基于積累初中生“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)研究》正是從積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的視角來研究課堂教學(xué)的基本路徑，將初中數(shù)學(xué)課堂分為經(jīng)驗(yàn)激活、經(jīng)驗(yàn)積累、經(jīng)驗(yàn)遷移與經(jīng)驗(yàn)升華等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的四個(gè)層次.那么，基于積累初中生“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)有何特征、四個(gè)層次相互關(guān)系如何、對(duì)課堂教學(xué)有何意義，本文以蘇科版義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)八年級(jí)（下）［2］第十章第4節(jié)“探索三角形相似的條件（3）”為例，結(jié)合課堂教學(xué)路徑的探微與賞析，談?wù)劰P者的幾點(diǎn)思考.

一、基于積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)路徑探微

這是2013年泰州市教育局組織的“名師送教下鄉(xiāng)”活動(dòng)中的一節(jié)觀摩課，教者根據(jù)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的四個(gè)板塊設(shè)計(jì)并實(shí)施課堂教學(xué).

1.經(jīng)驗(yàn)激活

教學(xué)片斷1如下所示.

師：同學(xué)們，今天我們繼續(xù)來探索三角形相似的條件.（板書課題：探索三角形相似的條件（3））

師：老師這里有幾個(gè)問題，同學(xué)們有興趣和膽量來挑戰(zhàn)嗎？

生（異口同聲）：有.

師：?jiǎn)栴}1：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接MN.△AMN與△ABC相似嗎？為什么？

圖1

生1：因?yàn)镸N是△ABC的中位線，所以MN∥BC，根據(jù)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，可知△AMN∽△ABC.

生3：因?yàn)镸N是△ABC的中位線，所以MN∥BC，所以∠AMN=∠B，而∠A為公共角，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可知△AMN∽△ABC.

師：剛才3位同學(xué)不僅找到了證明思路，而且還清晰、完整地表達(dá)出來了，很好！上面的3種思路實(shí)際上是我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“說明三角形相似”的3種條件，誰再說一遍？

生4：（略）.

【賞析】通過一個(gè)簡(jiǎn)單問題的解決，激活學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為積累更高層次的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)奠定基礎(chǔ).本節(jié)課之前學(xué)生已有了說明三角形相似的經(jīng)驗(yàn)（方法）：①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的三角形與原三角形相似；②有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.本節(jié)課的核心知識(shí)是三角形相似的條件（3）：“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”，教師設(shè)計(jì)了問題1，并通過一題多證的活動(dòng)，旨在激活學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，為探究新知作鋪墊.

2.經(jīng)驗(yàn)積累

教學(xué)片斷2如下所示.

師：△ABC與△AMN三邊之間存在什么關(guān)系？對(duì)應(yīng)邊的比值是多少？

生5：△AMN≌△DEF.

師：能說明理由嗎？

圖2

師：你的說理很到位，那么△ABC與△DEF之間又是什么關(guān)系呢？

生5：相似，因?yàn)椤鰽MN≌△DEF，△AMN∽△ABC，從而△ABC∽△DEF.

師：在說明△ABC與△DEF相似的過程中，你認(rèn)為哪一步至關(guān)重要？

生5：找出△AMN，因?yàn)檫@個(gè)三角形既與△ABC相似，又與△DEF全等.

師：對(duì)，△AMN既與△ABC相似，又與△DEF全等，它相當(dāng)于是一座橋梁，溝通了△ABC與△DEF的關(guān)系.

【賞析】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷積累新經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)過程，“多次經(jīng)歷類似的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生就會(huì)將在前一活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于新活動(dòng)中，‘還原’前一活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)于新活動(dòng)中的數(shù)學(xué)對(duì)象……獲得進(jìn)一步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”［3］“經(jīng)驗(yàn)積累”過程是提出并解決新問題、積累新經(jīng)驗(yàn)的過程.“有效利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，展開課堂教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，可以滋長(zhǎng)新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).”［4］這個(gè)板塊中，首先由“問題1”的結(jié)論得到“兩個(gè)相似三角形三對(duì)應(yīng)邊的比都為2”，進(jìn)而提出逆命題自然而然引出“問題2”，然后將三角形相似的判定方法1、2的證明思路（將問題轉(zhuǎn)化為△ABC與△AMN相似、△DEF與△AMN全等）運(yùn)用于“問題2”的解決.教師從特殊位置入手，通過搭建腳手架，讓學(xué)生拾階而上，強(qiáng)化了已有經(jīng)驗(yàn)的積累，并為新經(jīng)驗(yàn)的形成做好準(zhǔn)備.

3.經(jīng)驗(yàn)遷移

圖3

教學(xué)片斷3如下所示.

師：回答得太好了，你是如何想到的呢？

生7：是由“點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)”情形的證明過程得到啟發(fā)，也是找到了一個(gè)橋梁△AMN，先證明△ABC∽△AMN，再證明△AMN≌△DEF，從而得到△ABC∽△DEF.

師：這種思維方式很好！當(dāng)我們直接證明△ABC∽△DEF困難時(shí)，想到借鑒“問題2”的思路，即建立橋梁溝通△ABC與△DEF的關(guān)系，就是把要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，這其實(shí)就是方法的遷移.

【賞析】遷移能力是一種重要的創(chuàng)新能力.“第一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得原初經(jīng)驗(yàn)；第二次遇到相同情景時(shí)，經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)，稱為再生經(jīng)驗(yàn)；再次遇到類似情景時(shí)，遷移運(yùn)用先前經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生再認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)；在形式不同、本質(zhì)一樣的新情況下，按照‘模式’重復(fù)運(yùn)用這種經(jīng)驗(yàn)時(shí)，這種經(jīng)驗(yàn)就成為概括性經(jīng)驗(yàn).”［5］這個(gè)過程中，學(xué)生在教師引領(lǐng)、同伴互助、研討交流活動(dòng)中，運(yùn)用類比的方法將解決“問題2”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)成功地遷移到“問題3”的解決中，并自主地完成思路分析與說理過程.這個(gè)過程就是“經(jīng)驗(yàn)遷移”過程.

4.經(jīng)驗(yàn)升華

教學(xué)片斷4如下所示.

圖4

生眾：相似.

師：由此我們可以大膽地猜想出說明三角形相似的又一種方法.誰仿照三角形相似的條件（1）、（2）描述一下？

生8：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.

師：大家先獨(dú)立思考一下，再請(qǐng)同學(xué)們說說自己的想法.（學(xué)生自主思考3分鐘）

生9：老師，感覺這個(gè)問題無從下手.

師：為什么會(huì)有這種感覺？

生9：因?yàn)檫@個(gè)圖和剛才的圖不一樣.

師：不一樣在何處？

生9：剛才的圖中都有△AMN，而這個(gè)圖中沒有.

師：非常好.

生9（莫名其妙）：老師，我還沒回答出問題，你怎么還夸我非常好??？

師：你能找出圖形間的差異，而這個(gè)差異恰恰就是解決問題的關(guān)鍵，當(dāng)然要表?yè)P(yáng)你！

（生9摸了摸頭，憨厚地笑了）

師：你能不能想出什么辦法讓這個(gè)圖與前面的圖類似呢？

生9：構(gòu)造出△AMN.

師：如何構(gòu)造呢？

生9：分別在邊AB、AC上截取AM=DE，AN=DF，連接MN，這樣就出現(xiàn)了△AMN.

師：太棒了！有了△AMN后，我們又該怎么辦呢？

生9：和前面的方法類似，先說明△AMN與△ABC是相似的，再說明△AMN與△DEF是全等的，這樣就可以知道△ABC與△DEF是相似的.

師：又該如何來說明△AMN與△DEF是全等的呢？

【賞析】“概括性經(jīng)驗(yàn)在多次調(diào)用、反思后才能內(nèi)化為經(jīng)驗(yàn)圖式.”［4］從這個(gè)教學(xué)片斷看出，由“問題3”到“問題4”，提出了更一般化的結(jié)論和猜想.有了前面的經(jīng)驗(yàn)激活、積累與遷移過程，“問題4”的證明水到渠成，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也得到了升華.經(jīng)驗(yàn)有時(shí)可能只是淺表的、直覺的、不穩(wěn)定的，有時(shí)只能意會(huì)卻難以言表.教師的作用就在于通過恰到好處的追問、點(diǎn)撥、提煉，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)升華為數(shù)學(xué)的方法、策略和思想.

二、基于積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課堂教學(xué)思考

1.從激活到升華是經(jīng)驗(yàn)積累的基本路徑

激活、積累、遷移、升華是基于積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的初中數(shù)學(xué)課堂的基本特征與教學(xué)路徑.“經(jīng)驗(yàn)激活”環(huán)節(jié)就是從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}（或情境），喚起與激活學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為進(jìn)一步積累新經(jīng)驗(yàn)、探究新知識(shí)作好鋪墊；“經(jīng)驗(yàn)積累”即在解決原有問題基礎(chǔ)上自然生成新問題，并通過搭建腳手架，讓學(xué)生拾階而上，在解決問題過程中積累新的經(jīng)驗(yàn)；“經(jīng)驗(yàn)遷移”環(huán)節(jié)則是學(xué)生通過教師引領(lǐng)、同伴互助的學(xué)習(xí)方式將已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)用類比、轉(zhuǎn)化的方法遷移到新的數(shù)學(xué)問題的解決之中，這個(gè)過程的主要特點(diǎn)是同化與順應(yīng)；“經(jīng)驗(yàn)升華”是課堂教學(xué)的關(guān)鍵，是將學(xué)生的感受、體驗(yàn)和感悟升華為數(shù)學(xué)的方法、策略、思想和思維習(xí)慣.四個(gè)層次的板塊都以活動(dòng)為載體.經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)緊密相連，活動(dòng)是經(jīng)驗(yàn)的源泉，經(jīng)驗(yàn)在活動(dòng)中獲得，也在活動(dòng)中發(fā)展.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)既是教學(xué)目標(biāo)也是教學(xué)內(nèi)容，既是學(xué)習(xí)過程也是學(xué)習(xí)結(jié)果.

2.從感性到理性是經(jīng)驗(yàn)積累的必然選擇

“經(jīng)驗(yàn)是個(gè)體在認(rèn)識(shí)事物、解決問題等活動(dòng)過程中獲得的關(guān)于對(duì)象的觀點(diǎn)、看法、做法等.從學(xué)生認(rèn)知的角度，經(jīng)驗(yàn)是個(gè)體獲得知識(shí)、方法之前必然面對(duì)的事物”［6］，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指“在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下，通過對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí).”［7］數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的激活、積累、遷移與升華的過程是逐層遞進(jìn)、有時(shí)還是交替提升的過程，這個(gè)過程以知識(shí)生成為線索，以數(shù)學(xué)的方法提煉、思想滲透、思維發(fā)展、情感升華為目標(biāo)，只有經(jīng)過組織和內(nèi)化，才能把感性的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為理性的知識(shí)（這里的知識(shí)是廣義的），即“將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)能力，最終獲得極具個(gè)性特征的感性認(rèn)識(shí)、情感體驗(yàn)、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).”［8］因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)最終要實(shí)現(xiàn)三個(gè)方面的升華：一是將淺表層面的經(jīng)驗(yàn)升華為本質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)；二是將特殊（個(gè)體）的經(jīng)驗(yàn)升華為一般（普遍）的經(jīng)驗(yàn)；三是將感性（會(huì)意、直觀）的經(jīng)驗(yàn)升華為理性（演繹、表征）的經(jīng)驗(yàn).我們熟悉的“七橋問題”，哥尼斯堡的民眾通過若干實(shí)驗(yàn)都沒能解決，而歐拉敏銳洞察到該問題與所走過的路程長(zhǎng)度無關(guān)，把七座橋抽象為七條線，從而將問題抽象為一筆畫問題得到解決.這正是歐拉將淺表的、感性的經(jīng)驗(yàn)升華為本質(zhì)的理性經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果.

3.從“支架”到“放手”是經(jīng)驗(yàn)積累的教學(xué)方略

立足課堂活動(dòng)并獲得經(jīng)驗(yàn)的遷移與升華，是基于積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的初中數(shù)學(xué)課堂的顯著特征.“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的一個(gè)自我再創(chuàng)造（或創(chuàng)新構(gòu)造）過程.在這一過程中，學(xué)生通過多樣化的活動(dòng)，不斷獲得、積累經(jīng)驗(yàn)，分析、理解、反思經(jīng)驗(yàn)，從而獲得發(fā)展.”［9］由探索初期的“經(jīng)驗(yàn)激活”到“經(jīng)驗(yàn)積累與遷移”，教師通過建立“腳手架”，適時(shí)點(diǎn)撥和提示，引導(dǎo)學(xué)生逐步攀升，讓學(xué)生嘗試自己發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題，提煉數(shù)學(xué)思想、方法和策略，實(shí)現(xiàn)“經(jīng)驗(yàn)升華”，充分體現(xiàn)了課堂“收”“放”的教學(xué)方略.這個(gè)過程中，教師對(duì)學(xué)生在知識(shí)構(gòu)建過程中的“支架式”幫助是不可或缺的，這是“收”的策略；隨著教學(xué)活動(dòng)的逐步深入，教師所提供的支架自然撤去，教師的“幫助”逐漸弱化，讓位于學(xué)生的自主活動(dòng)，還給學(xué)生自由發(fā)揮的空間，讓學(xué)生獨(dú)立分析和解決問題，這是“放”的藝術(shù).一“收”一“放”之間，體現(xiàn)了教師的教學(xué)智慧.

4.自上而下結(jié)構(gòu)是經(jīng)驗(yàn)積累的思維指向

思維是數(shù)學(xué)的體操，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累最終要指向思維.本節(jié)課以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，通過搭建腳手架，讓學(xué)生拾階而上，在解決問題過程中積累、遷移并升華新經(jīng)驗(yàn)，這是一種自下而上、由易到難、逐步生成的教學(xué)方法.需要指出兩點(diǎn)：一是學(xué)生不明白為什么要研究這些問題，即學(xué)習(xí)的價(jià)值何在，只是沿著教師預(yù)設(shè)好的路徑前行.事實(shí)上，“學(xué)生只有在感受到新異、沖突和不足時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生一種認(rèn)知和情感方面的需要.”［3］二是“拾階而上”的方法缺少挑戰(zhàn)性，不利于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng).修改后的“課程標(biāo)準(zhǔn)”將原課程標(biāo)準(zhǔn)的課程目標(biāo)之一的“解決問題”變?yōu)椤皢栴}解決”，在“分析問題、解決問題”之前增加了“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”，正是著眼于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).基于此，在“經(jīng)驗(yàn)激活”環(huán)節(jié)，可以先啟發(fā)學(xué)生提出富有挑戰(zhàn)性的問題（或情境），引起學(xué)生的憤悱與困惑，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生思考，這種自上而下的問題結(jié)構(gòu)直指數(shù)學(xué)思維.本節(jié)課問題引入部分可設(shè)計(jì)如下問題鏈.

（1）前面我們學(xué)過的三角形相似的條件有哪些？

（2）三角形相似的條件（1）、（2）分別是怎樣得到的？對(duì)應(yīng)于三角形全等的哪個(gè)定理？

（3）三角形全等的判定還有什么？

（4）你能類比三角形全等的“SSS”判定方法，提出三角形相似判定的新命題嗎？

（5）你提出的命題正確嗎？

問題提出之后，繼續(xù)沿著從經(jīng)驗(yàn)激活到升華的路徑前行，當(dāng)學(xué)生力所不能為時(shí)，可以逐步將問題分解、后退，直至學(xué)生思維能及之處，這種設(shè)計(jì)契合了課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的理念，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的思維指向.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.楊裕前，董林偉.義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)［M］.南京：江蘇科技出版社，2012.

3.仲秀英.促進(jìn)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)策略［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（10）.

4.汪佃才.“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”來自數(shù)學(xué)活動(dòng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（5）.

5.仲秀英.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)研究［D］.重慶：西南大學(xué)數(shù)學(xué)系，2008.

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7.徐斌艷.面向基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（2）.

8.蔡衛(wèi)兵.轉(zhuǎn)化引領(lǐng)割補(bǔ)搭橋相似突破——品悟勾股定理證明的合理思維與自然證法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（5）.

9.黃翔，童莉.獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的目標(biāo)［J］.課程·教材·教法，2008（1）.

*此文系江蘇省重點(diǎn)資助規(guī)劃課題《基于積累初中生“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)研究》（批準(zhǔn)號(hào)E-a/2011/07）的研究成果．