☉江蘇省徐州市第五中學(xué) 王運(yùn)思

基于初、高中銜接的“二次函數(shù)”教學(xué)

☉江蘇省徐州市第五中學(xué) 王運(yùn)思

函數(shù)是初等數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，它貫穿了整個(gè)中學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).初中數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，其中二次函數(shù)是初、高中函數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)，因此做好二次函數(shù)的初、高中銜接教學(xué)至關(guān)重要.初中階段對(duì)二次函數(shù)的要求，還是立足于用代數(shù)方法來(lái)研究，比如配方、結(jié)合頂點(diǎn)式描述函數(shù)圖像的某些特征（開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值）等；再比如待定系數(shù)法，通過(guò)解方程組的形式來(lái)求二次函數(shù)的解析式.少量涉及了數(shù)形結(jié)合內(nèi)容，如通過(guò)畫圖像找增減性、開(kāi)口方向、最大或最小值，以及通過(guò)圖像了解二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及一元二次方程的根之間的關(guān)系等.可見(jiàn)初中對(duì)二次函數(shù)的要求相對(duì)較低，而高中的函數(shù)立足于“集合說(shuō)”，函數(shù)的概念更為抽象，對(duì)函數(shù)的研究更為深入和廣泛.進(jìn)入高中后，對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)要求明顯較高，對(duì)二次函數(shù)的研究更側(cè)重于數(shù)形結(jié)合，通過(guò)圖像來(lái)研究性質(zhì)，要求“數(shù)化形”及“形化數(shù)”的能力較強(qiáng).那么，究竟該如何銜接好初、高中二次函數(shù)的教學(xué)，讓學(xué)生進(jìn)入高中以后，能夠很快適應(yīng)高中的大容量、快節(jié)奏教學(xué)方式？為此，筆者進(jìn)行了一些思考與嘗試，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下.

一、函數(shù)圖像的平移

例1把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，求b、c的值.

解法2：把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)y=x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2+bx+c的圖像.

由于把二次函數(shù)y=x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=（x-4）2-2的圖像，即y=x2-8x+14的圖像，則函數(shù)y=x2-8x+14與函數(shù)y=x2+bx+c表示同一個(gè)函數(shù)，則b=-8，c=14.

總結(jié)：這兩種解法反映了兩種不同的思維方式，解法1是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大，解法2則是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，計(jì)算量減小，難度大大降低.“正難則反”是高中數(shù)學(xué)解題的一種技巧.

二、分類討論

例2說(shuō)說(shuō)二次函數(shù)y=-2x2-4x+6的圖像的相關(guān)性質(zhì).

（1）它有最值嗎？求出它的最值.

（2）當(dāng)-4≤x≤-2時(shí)，求出函數(shù)的最值.

（4）通過(guò)前面三問(wèn)，你能得出什么結(jié)論？

分析：此處設(shè)計(jì)是先復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，既可以通過(guò)配方化為頂點(diǎn)式，說(shuō)明圖像的性質(zhì)，也可以畫出函數(shù)圖像，通過(guò)圖像來(lái)說(shuō)性質(zhì).（1）、（2）、（3）三問(wèn)分別是整個(gè)定義域、單調(diào)區(qū)間及不單調(diào)區(qū)間三種情況，讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的思想，即討論二次函數(shù)的性質(zhì)，常常要借助于圖像來(lái)進(jìn)行研究.而第四問(wèn)，則是對(duì)上述結(jié)論作個(gè)總結(jié).讓學(xué)生再次感受分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，而這正是高中數(shù)學(xué)最常用的兩種思想.

解：（1）y=-2x2-4x+6=-2（x2+2x）+6=-2（x+1）2+8.

由-2＜0，得函數(shù)有最大值8.

（2）當(dāng)-4≤x≤-2時(shí)，函數(shù)的圖像為對(duì)稱軸左邊的一段（如圖1），通過(guò)圖像可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)值是隨著自變量的增大而增大的（即是單調(diào)遞增的）.

當(dāng)x=-4時(shí)，y有最小值-10；當(dāng)x=-2時(shí)，y有最大值6.

圖1

延伸：已知（-5，y1）、（-4，y2）、（-1-，y3）、（-1，y4）、（-1+，y5）、（3，y6）是函數(shù)圖像上的六點(diǎn)，試比較y1、y2、y3、y4、y5、y6的大小（.用“＜”連接）

例3已知函數(shù)y=x2，-2≤x≤a，其中a＞-2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值.

分析：根據(jù)函數(shù)圖像的最高點(diǎn)確定最大值，根據(jù)最低點(diǎn)確定最小值，根據(jù)最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及連續(xù)狀況確定y的范圍.本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，圖像就是一個(gè)變化的曲線，我們需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論，來(lái)確定函數(shù)圖像的最高點(diǎn)與最低點(diǎn).

解：（1）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，由圖2可知：當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最大值4；當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取得最小值a2.

（2）當(dāng)0≤a＜2時(shí)，由圖3可知：當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最大值4；當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值0.

（3）當(dāng)a≥2時(shí)，由圖4可知：當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取得最大值a2；當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值0.

圖2

圖3

圖4

變式：已知函數(shù)y=4x2-4ax+a2-2a+2，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)取得最小值3，求a的值.

總結(jié)：高中階段對(duì)于二次函數(shù)的研究，自變量的取值往往都不是取遍所有的實(shí)數(shù)，而是在部分實(shí)數(shù)范圍內(nèi)來(lái)研究.在本例中，利用了分類討論的思想，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論.在解決這一類問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖像來(lái)直觀地解決問(wèn)題.以開(kāi)口向上的二次函數(shù)為例，根據(jù)對(duì)稱軸與x的范圍之間的關(guān)系來(lái)劃分，區(qū)間上的二次函數(shù)圖像有四種情況，如圖5.

圖5

總之，二次函數(shù)在初、高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，具有重要地位，只有做好銜接工作，才能使學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)順暢，才能更好地進(jìn)行后續(xù)的學(xué)習(xí).