【摘 要】中考數(shù)學(xué)復(fù)習般分三輪進行。其中第二輪復(fù)習尤其強調(diào)以能力提升為目標。復(fù)習一般采用專題形式，以學(xué)生掌握的知識、形成的技能、積累的基本活動經(jīng)驗和形成的數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)，以提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。對于案例分析類問題，要引導(dǎo)學(xué)生抓住題干關(guān)鍵詞;對于問題求解，要探求解法的多樣性;對于變式性問題，要在變式層次性上做好鋪墊，從而提高學(xué)生的復(fù)習質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】中考數(shù)學(xué);二輪復(fù)習;案例分析;問題求解

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）06-0030-03

【作者簡介】楊云奎，江蘇省灌云縣實驗中學(xué)（江蘇灌云，222200）教師，中學(xué)高級教師。

一、講案例分析時，抓住題干關(guān)鍵詞

在中考二輪專題復(fù)習中，很多題目題干較長，題中彼此之間的關(guān)系相對分散，隱含在字里行間的信息不易“匯聚”。有相當一部分學(xué)生在通讀一遍題目后，抓不住重點，便失去耐心選擇放棄。因此教師在對這類問題進行分析時，要給學(xué)生留有一定的時間，給學(xué)生“理解”題干的空間，讓學(xué)生有一個“悟”的過程。還要讓學(xué)生解釋文本中的“關(guān)鍵詞”，教師針對學(xué)生的解釋要作必要的追問和闡釋，以幫助學(xué)生準確理解題意，為順利解題打下堅實的基礎(chǔ)。

【案例1】探索、研究。儀器箱按如圖1方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層…），受堆放條件限制，堆放時應(yīng)符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數(shù)an與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式an=n2-32n+247，1≤n<16，n為整數(shù)。

（1）例如，當n=2時，a2=22-32×2+247=187，則a5 = ，a6 = 。

（2）第n層比第（n+1）層多堆放多少個儀器箱（用含n的代數(shù)式表示）;

（3）如果不考慮儀器箱堆放所承受的壓力，請根據(jù)題設(shè)條件判斷儀器箱最多可以堆放幾層，并 說明理由;

（4）設(shè)每個儀器箱重54N，每個儀器箱能承受的最大壓力為160N，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的。

①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力;

②根據(jù)①中的方法進行估算，求得最多可以堆放的層數(shù)。在確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層？為什么？

圖1

在本案例中，關(guān)鍵點是對關(guān)系式an=n2-32n+247的理解。根據(jù)1≤n<16，n為整數(shù)，n的取值學(xué)生是清楚的，對不同的n，式子n2-32n+247的值也是可求的。但對于an學(xué)生普遍認識不足，雖然在求一元二次方程的根時，曾用過x1，x2表示方程的根，但對這種含角碼的字母認識上僅屬于簡單模仿階段，對關(guān)系式an=n2-32n+247中an這種含角碼的字母的意義理解并不深刻。雖然在第（1）小題中作了鋪墊，但仍有學(xué)生不能充分認識an中的角碼n與關(guān)系式右邊的n一樣，是隨n變化的變量。如果教師能對此解讀到位，則為順利解題奠定了基礎(chǔ)。

“每個儀器箱承受的壓力”是本案例中的又一關(guān)鍵詞，教師只需提醒學(xué)生注意，一般學(xué)生便能明白它的含義：某層以上所有儀器的重量平均分配到這一層所有儀器上。

教師在備課時要找準問題的關(guān)鍵詞。在分析題目之前，教師要充分地讓學(xué)生展示其對關(guān)鍵詞的解讀。當學(xué)生對關(guān)鍵詞不解時要作必要的點撥，學(xué)生對關(guān)鍵詞解讀差誤時，要及時糾正。緊抓問題中的關(guān)鍵詞，才能節(jié)省時間，達到事半功倍之效果。

另外還需注意，由于學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、思維方式各不相同，一個不起眼的名詞、符號都有可能成為某些學(xué)生問題求解過程中的絆腳石。教師在施教時也要引起足夠的重視。比如以上案例題干中有一說明：“自下而上依次為第1層、第2層…”與我們常規(guī)的理解“自上而下依次為第1層、第2層…”恰好相反，若在審題時沒有引起足夠注意，也會給解題帶來困難。

二、講問題求解時，探求解法多樣性

一題多解就是對同一問題，由于解題者觀察的角度不同，思考的側(cè)重點不同，運用知識不同和思維力度不同而得到不同的求解方法。一題多解在日常的例題教學(xué)中常被教師所采用。不可否認，對學(xué)生進行一題多解訓(xùn)練，可以提高解題能力，做到舉一反三、觸類旁通，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。但是，在以提升學(xué)生能力為目標的中考第二輪復(fù)習中，在進行多途徑需求問題解答時不能為了多解而多解，而要力爭在解題方法上或思維方式上有所突破，而不是局限在某一類方法中或同一思維層面上。

【案例2】如圖2-1，正方形ABCD的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓，求圖中陰影部分的面積S陰。

思考一 求含圓弧的封閉圖形面積，一般是將圓弧所在圓的圓心與圓弧兩個端點相連接，將待求圖形面積轉(zhuǎn)化為直線型圖形與扇形的面積。本例根據(jù)圖形的對稱性，將原圖形按圖2-2變化方式，比照變化前、后兩個圖形的關(guān)系，于是有：S陰=8（■S陰-S△）=（■-1）a2。

思考二 如圖2-3，由圖形的對稱性，4個半圓把正方形分割為兩類圖形，分別用x、y表示其面積，根據(jù)面積間的相等關(guān)系，通過列方程組求出每類圖形的面積：

4x+4y=a22x+y=■π（■）2解得x=■（■-1）a2y=■（2-■）a2，于是4x=（■-1）a2，所以S陰=（■-1）a2。

思考三 如果從圖2-1陰影部分的形成過程進行思考，我們認為先是在正方形中把相對的兩個半圓染色（如圖2-4），顯然圖中的非陰影部分的面積為（a2-■πa2），于是圖2-1非陰影部分面積是2（a2-■πa2），從而S陰=a2-2（a2-■πa2）=（■-1）a2。

以上三種思考從不同的角度分析問題，思考一體現(xiàn)了求含圓弧的封閉圖形面積的通用方法;思考二是運用數(shù)形結(jié)合，將面積問題轉(zhuǎn)化為方程組的求解;思考三則是對圖形的陰影部分作了動態(tài)思考。盡管我們還可以對圖形進行剪拼，借助圖形間的面積關(guān)系列出方程（組），也可以在思考三的基礎(chǔ)上第二次把相對的兩個半圓染色進而求出陰影部分的面積，但它們僅是在思考二、三的解法細節(jié)上作出的調(diào)整，思維方式上并沒有真正意義上的突破。在以能力提升為主的二輪復(fù)習中，題目多解應(yīng)是教師引導(dǎo)啟發(fā)的自然生成，而非多多益善，一切應(yīng)以揭示問題的本質(zhì)為要。

三、講問題變式時，注重變式層次性

一題多變也是在中考二輪復(fù)習中教師經(jīng)常采用的一種行之有效的教學(xué)策略，它能在有限的課堂教學(xué)時空內(nèi)讓學(xué)生“聚焦”現(xiàn)有的教學(xué)資源，減少學(xué)生的信息接受總量，讓學(xué)生能有更多的時間觀察、分析、思考、探索。常以某一問題為載體，以數(shù)學(xué)知識、技能或數(shù)學(xué)方法為基本點，縱向深入，對其進行深度剖析，一題多變給人以新鮮感，能夠喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力，提高學(xué)生全面掌握知識和靈活運用知識的能力。

【案例3】表1-1是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答。求表中第8行第3個數(shù)是 ，表中第20行第14個數(shù)是 。

表1-1

變式一 表1-2是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答。求表中第8行第3個數(shù)是 ，表中第20行第14個數(shù)是 。

表1-2

變式二 表1-3是由從1開始的連續(xù)奇數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答。求表中第8行第3個數(shù)是 ，表中第20行第14個數(shù)是 。

表1-3

仔細觀察表1-1，可以發(fā)現(xiàn)第一行有1個數(shù)，第二行有3個數(shù)，第三行有5個數(shù)……于是，第7行有13個數(shù)，所以前7行共有數(shù)（1+3+…+13）=49個，于是第8行第1個數(shù)是50，從而表中第8行第3個數(shù)是52。類似地，可以求出第20行第14個數(shù)為375。

通過觀察，我們還能發(fā)現(xiàn)表1-1每行的最后一個數(shù)分別是1，2，3，4…的平方數(shù)，于是第7行最后一個數(shù)是49，所以第8行第1個數(shù)是50，從而表中第8行第3個數(shù)是52。類似地，可以求出第20行第14個數(shù)是375。

表1-2中的求解，只要我們沿著以上思路的前一思路是不難給出正確的答案，但教師不能就此而止，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考：是否能發(fā)現(xiàn)每行最后一個數(shù)與行數(shù)間的特殊關(guān)系？教師適時的一句點撥，激發(fā)起學(xué)生探索的欲望，對于大多數(shù)初中學(xué)生來講還不易發(fā)現(xiàn)的關(guān)系豁然開朗。

表1-3中的數(shù)與行之間的關(guān)系比較隱蔽，學(xué)生對于第一個填空可能會選擇按規(guī)律寫下去而得到答案，但對于第二空由于時間的限制及書寫量太大而大多選擇放棄。此時教師提醒學(xué)生：觀察表1-3與表1-2對應(yīng)位置各個數(shù)有怎樣的關(guān)系?？芍^一句點醒“夢中人”，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：表1-3中的數(shù)是表1-2中對應(yīng)位置數(shù)的2倍與1的差。此時變式二中待求兩數(shù)已如“甕中之鱉”。

一題多變與尋求一題多解一樣，也并非變得越多越好。在以“能力立意”的中考二輪復(fù)習中，變式問題的設(shè)計要能利于引導(dǎo)學(xué)生積極探索，最大限度地喚起學(xué)生的求知欲。一題多變變在思維水平上，體現(xiàn)漸進性，要利于學(xué)生思維的升華，應(yīng)避免在同一思維水平上變式的反復(fù)出現(xiàn)。

中考二輪復(fù)習時間緊、任務(wù)重、要求高，教師的例題講解對于提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力起著至關(guān)重要的作用。因此，教師要能夠在問題分析時，抓住要害，牽住問題“關(guān)鍵詞”，以四兩之力，撥動千斤之重。在例題講解時，教師要盡可能地充分利用例題資源，發(fā)揮例題的功用，適時適度地對例題作一題多解或一題多變，不論是選擇多解還是多變，都要力戒在同一層面的多解或多變，而要在思維的方式方法上有所突破。唯有如此，學(xué)生才能學(xué)有所得、學(xué)有所思、學(xué)有所益，學(xué)生的綜合能力才能有所提高。在講解例題的過程中，一定要給學(xué)生留有思考的時間，讓單位課時例題的量“降下去”，讓學(xué)生思維的質(zhì)“升起來”。當然，教學(xué)例題的選擇也至關(guān)重要，教師自己在備課時務(wù)必根據(jù)課時目標、班級實際對集體備課的選題再度進行改編、完善，做題、研題，切忌“拿來主義”?！?