黃 映

(南京供電公司，江蘇南京210019)

輸電網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展規(guī)劃是根據(jù)負(fù)荷增長(zhǎng)、電源規(guī)劃方案以及現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，確定輸電網(wǎng)絡(luò)的最佳擴(kuò)展方案，以滿(mǎn)足安全運(yùn)行和經(jīng)濟(jì)性最優(yōu)[1]。從數(shù)學(xué)上講，電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃是一個(gè)帶有大量約束條件的非線(xiàn)性整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，計(jì)算較復(fù)雜。鑒于輸電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃問(wèn)題的重要性，各國(guó)學(xué)者對(duì)其提出了許多求解方法，主要分為啟發(fā)式方法、數(shù)學(xué)優(yōu)化類(lèi)方法[2]和智能優(yōu)化方法三類(lèi)[3，4]。

差分進(jìn)化算法[5]（DE）是Storn和Price在1995年提出的一種在連續(xù)空間中進(jìn)行啟發(fā)式隨機(jī)搜索的優(yōu)化算法。該算法直接采用實(shí)數(shù)直接運(yùn)算，不需要編碼和解碼操作，收斂速度快，穩(wěn)定性好，其性能被證明要優(yōu)于其他進(jìn)化算法[6]。目前DE已成功應(yīng)用于求解經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配[7]、無(wú)功優(yōu)化[8]、變電站選址定容[9]等電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題。雖然DE算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、收斂快速，但是該算法以隨機(jī)概率選取試驗(yàn)個(gè)體進(jìn)行進(jìn)化，容易陷入局部最優(yōu)，出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象，若通過(guò)增加種群規(guī)模以提高種群多樣性的方式會(huì)降低算法的收斂速度。為改善DE的性能，更好地解決電網(wǎng)規(guī)劃問(wèn)題，本文構(gòu)造一種改進(jìn)的混合差分進(jìn)化算法（IHDE），進(jìn)一步提高算法的收斂速度和全局尋優(yōu)性能，并以Garver-6節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和18節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例驗(yàn)證了此算法的尋優(yōu)能力。

1 電網(wǎng)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

本文在單階段靜態(tài)電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃問(wèn)題中，主要考慮電網(wǎng)擴(kuò)建的投資費(fèi)用、固定運(yùn)行維護(hù)費(fèi)用以及系統(tǒng)年運(yùn)行費(fèi)用（即網(wǎng)損費(fèi)用），在滿(mǎn)足約束條件的情況下使總費(fèi)用最小，規(guī)劃方案能滿(mǎn)足N-1檢驗(yàn)。其各種費(fèi)用的計(jì)算考慮了資金的時(shí)間價(jià)值，采用等年值費(fèi)用法。模型采用的目標(biāo)函數(shù)為：

式（1）中：第一項(xiàng)為規(guī)劃方案的建設(shè)投資費(fèi)用，萬(wàn)元；第二項(xiàng)為線(xiàn)路的可變運(yùn)行費(fèi)用，用年網(wǎng)損費(fèi)用表示，萬(wàn)元。其 中 k1為 資 金 回 收 系 數(shù)r為貼現(xiàn)率，%；n為工程經(jīng)濟(jì)使用年限；k2為工程固定運(yùn)行費(fèi)用率，%；cj為單位長(zhǎng)度線(xiàn)路造價(jià)，萬(wàn)元/km；xj為線(xiàn)路j中新建線(xiàn)路回路數(shù)；lj為線(xiàn)路j的長(zhǎng)度，km；Ω1為待選新建線(xiàn)路集合；k3為年網(wǎng)損費(fèi)用系數(shù)；這里為網(wǎng)損電價(jià)，元 /（kW·h）；τ為最大負(fù)荷損耗時(shí)間，h；U 為系統(tǒng)額定電壓，kV；rj為線(xiàn)路j的電阻；Pj為正常情況下線(xiàn)路j輸送的有功功率，MW；Ω2為網(wǎng)絡(luò)中已有的和新建的線(xiàn)路集合。

模型考慮的約束條件包括系統(tǒng)潮流約束，線(xiàn)路容量約束，輸電走廊最大可建線(xiàn)路約束，其數(shù)學(xué)表達(dá)見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。潮流計(jì)算采用直流潮流模型。

2 差分進(jìn)化算法及其改進(jìn)

2.1 基本差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法由Np（種群規(guī)模）個(gè)D（決策變量個(gè)數(shù)）維參數(shù)矢量在搜索空間進(jìn)行并行直接的搜索。DE的基本操作包括變異、交叉和選擇3種操作。

（1）變異。

（2） 交叉。

（3）選擇。對(duì)于最小化問(wèn)題，選擇操作可表述為：

2.2 差分進(jìn)化算法的改進(jìn)

DE采用貪婪策略進(jìn)行選擇操作，雖然加快了算法的收斂速度，但在算法的后期收斂速度較慢,甚至?xí)萑刖植孔顑?yōu)出現(xiàn)早熟現(xiàn)象[11]。鑒于此，本文構(gòu)造一種改進(jìn)的混合差分進(jìn)化算法（IHDE），該算法在求解過(guò)程中能夠隨進(jìn)化過(guò)程動(dòng)態(tài)調(diào)整DE的縮放因子和交叉概率，在保持種群多樣性的同時(shí)提高DE的全局尋優(yōu)能力；而針對(duì)DE早熟收斂問(wèn)題，以種群的適應(yīng)度方差判斷種群中個(gè)體的聚集程度，引入混沌搜索策略，提高算法后期的搜索能力。

（1）控制參數(shù)的改進(jìn)。DE算法的主要控制參數(shù)F和CR影響搜索過(guò)程的收斂速度和魯棒性，F(xiàn)和CR取值較大可以得到較好的搜索但算法的收斂速度會(huì)較慢，取值較小會(huì)使算法陷入局部最優(yōu)。良好的搜索策略應(yīng)該是在搜索的初始階段保持種群多樣性，進(jìn)行全局搜索，而在搜索的后期應(yīng)加強(qiáng)局部搜索能力，以提高算法的精度。本文對(duì)F和CR采取根據(jù)進(jìn)化代數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，即在算法的初期取較小的F和CR，隨著種群進(jìn)化，不斷增大兩參數(shù)的取值，以保證其收斂性。

（2）種群適應(yīng)度方差。隨著種群的不斷進(jìn)化，個(gè)體之間的差異越來(lái)越小，而個(gè)體位置決定了個(gè)體的適應(yīng)度，根據(jù)種群中所有個(gè)體的適應(yīng)度的整體情況可以判斷種群的狀態(tài)。種群的適應(yīng)度方差定義為：

f的取值采用式為：

（3）混沌搜索策略。針對(duì)早熟收斂現(xiàn)象，本文在DE算法陷入局部最優(yōu)時(shí)對(duì)當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行混沌搜索，使算法脫離聚集狀態(tài)。混沌是自然界廣泛存在的一種非線(xiàn)性現(xiàn)象，由于混沌運(yùn)動(dòng)的固有特點(diǎn)及混沌遍歷的規(guī)律性及不重復(fù)性，使混沌處理方法被廣泛用于處理優(yōu)化搜索問(wèn)題[12]。混沌搜索常用的映射方式為線(xiàn)性載波：

式（9）中：μ為控制參數(shù)，其數(shù)值直接影響映射情況；k為混沌搜索的迭代次數(shù)為混沌變量的各維分量。

2.3 改進(jìn)混合差分進(jìn)化算法流程

本文利用混沌搜索機(jī)制，并將其融合到差分進(jìn)化算法中，構(gòu)造了改進(jìn)的混合差分算法（IHDE）。其基本思想是基于差分進(jìn)化機(jī)制，動(dòng)態(tài)調(diào)整其控制參數(shù)，以種群適應(yīng)度方差判斷算法是否出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象，若陷入局部最優(yōu)，則對(duì)當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行混沌搜索，在搜索達(dá)到給定次數(shù)后，用混沌搜索得到的最優(yōu)解隨機(jī)替代種群中的個(gè)體，從而增強(qiáng)算法的搜索性能。該算法流程如圖1所示。

圖1 IHDE算法流程圖

3 基于改進(jìn)混合差分的電網(wǎng)規(guī)劃問(wèn)題求解

基于上述改進(jìn)的混合差分進(jìn)化算法，對(duì)第1節(jié)描述的單價(jià)段輸電網(wǎng)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型求解步驟：（1）輸入原始數(shù)據(jù)。包括網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?、線(xiàn)路參數(shù)、各節(jié)點(diǎn)發(fā)電出力及負(fù)荷以及算法本身需要的控制參數(shù)；（2）形成初始種群。本文對(duì)n條待選線(xiàn)路走廊的各種可能擴(kuò)建回路數(shù)進(jìn)行編碼，n條待選線(xiàn)路走廊的擴(kuò)建回路數(shù)集為該線(xiàn)路集構(gòu)成一個(gè)規(guī)劃方案，對(duì)應(yīng)于種群中的一個(gè)個(gè)體；（3）差分進(jìn)化操作。采用第2.1節(jié)中的變異和交叉機(jī)制形成新一代種群；（4）個(gè)體適應(yīng)度計(jì)算。將每一個(gè)體對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)行潮流計(jì)算，若個(gè)體不滿(mǎn)足約束條件的要求，則通過(guò)適應(yīng)度中的懲罰項(xiàng)將個(gè)體自然淘汰，對(duì)滿(mǎn)足約束的個(gè)體計(jì)算方案的投資和網(wǎng)損費(fèi)用，進(jìn)而求出個(gè)體的適應(yīng)度值；（5）計(jì)算種群適應(yīng)度方差，若σ2＜C，則對(duì)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行混沌搜索，否則到步驟（6）；（6）根據(jù)差分進(jìn)化代數(shù)調(diào)整F和CR；（7）如滿(mǎn)足中止條件，則到步驟（8），否則返回到步驟（3）；（8）輸出規(guī)劃結(jié)果。

4 算例及分析

以修改過(guò)的Garver-6節(jié)點(diǎn)和18節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為算例進(jìn)行計(jì)算與分析，系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)、支路數(shù)據(jù)和可擴(kuò)建走廊數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[10]。設(shè)資金貼現(xiàn)率r取10%；工程經(jīng)濟(jì)使用年限n為15年，工程固定運(yùn)行費(fèi)用率k2為5%，網(wǎng)損電價(jià)ρ為0.3元/（kW·h），最大負(fù)荷損耗時(shí)間τ為3000 h，單位長(zhǎng)度線(xiàn)路的投資費(fèi)用為80萬(wàn)元/km，取單回線(xiàn)走廊寬度為48.27m，雙回線(xiàn)走廊寬度為68.27m，三回線(xiàn)走廊寬度為88.27m，四回線(xiàn)走廊寬度為108.27m。

以MATLAB2007為仿真環(huán)境，對(duì)電網(wǎng)規(guī)劃問(wèn)題各進(jìn)行50次計(jì)算，各算法求得平均計(jì)算時(shí)間和搜索成功率，如表1、表2所示。

6節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例中，本文同時(shí)也利用GA，PSO算法進(jìn)行了編程計(jì)算。表1列出各算法對(duì)在滿(mǎn)足線(xiàn)路的N-1安全準(zhǔn)則的條件下所求得的規(guī)劃方案的投資維護(hù)費(fèi)用、網(wǎng)損費(fèi)用以及綜合費(fèi)用。其中文獻(xiàn)[14]采用基于適應(yīng)度函數(shù)值共享的小生境改進(jìn)遺傳算法求解該問(wèn)題；文獻(xiàn)[15]采用改進(jìn)的帶雙重變異算子的粒子群算法求解該問(wèn)題；而文獻(xiàn)[16]采用基于精英策略的非支配排序遺傳算法（NSGA-II），采用投資維護(hù)費(fèi)用、網(wǎng)損費(fèi)用和“N-1”過(guò)負(fù)荷量最小的多目標(biāo)優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[14—16]中3種改進(jìn)算法的各部分費(fèi)用均按本文設(shè)定的系數(shù)進(jìn)行了折算作為比較。

由于18節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)是按靜態(tài)安全的“N”準(zhǔn)則來(lái)研究輸電規(guī)劃的常用算例，因此對(duì)18節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)設(shè)定各線(xiàn)路走廊的可架線(xiàn)路回?cái)?shù)為3回，以使規(guī)劃方案能夠滿(mǎn)足“N-1”安全準(zhǔn)則。18節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的2種最優(yōu)規(guī)劃方案見(jiàn)表2，DE算法和本文采用的IHDE算法能夠得到相同的2種最優(yōu)方案，2種方案下的線(xiàn)路擴(kuò)建結(jié)果雖略有不同，但費(fèi)用相等。

IHDE和DE算法的種群適應(yīng)度方差的變化曲線(xiàn)如圖2所示。

由圖2可見(jiàn)，IHDE算法在進(jìn)化后期對(duì)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行混沌搜索，使種群脫離聚集狀態(tài)，拓展了種群的搜索空間，改善了群體適應(yīng)度方差的分布情況，避免算法陷入早熟收斂，從而有更好的全局尋優(yōu)能力。

表1 6節(jié)點(diǎn)規(guī)劃結(jié)果

表2 18節(jié)點(diǎn)規(guī)劃結(jié)果

圖2 IHDE和DE算法的群體適應(yīng)度方差

圖3展示了GA，PSO，DE以及IHDE 4種算法下的電網(wǎng)規(guī)劃方案費(fèi)用隨種群進(jìn)化代數(shù)的變化情況。

圖3 幾種算法的適應(yīng)度進(jìn)化曲線(xiàn)

綜合表1、表2和圖3可見(jiàn)，DE算法本身具有較好的尋優(yōu)能力和搜索精度，DE及改進(jìn)的IHDE算法在優(yōu)化結(jié)果和算法性能上（如搜索時(shí)間和搜索成功率）都優(yōu)于GA，PSO算法。比較IHDE算法和基本DE算法，雖然兩者得到的最優(yōu)結(jié)果相同，但是由于IHDE采用了控制參數(shù)調(diào)整和混沌搜索策略，IHDE算法性能更加穩(wěn)定，搜索到最優(yōu)解的成功率明顯高于基本DE算法，且能夠比DE算法更早求得最優(yōu)解。而由于IHDE算法需要實(shí)時(shí)跟蹤群體的聚集程度，其計(jì)算速度略不如基本DE算法。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種改進(jìn)的IHDE算法，利用差分進(jìn)化機(jī)制實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)基本DE算法進(jìn)行了改進(jìn)。該算法能夠隨進(jìn)化過(guò)程動(dòng)態(tài)調(diào)整控制參數(shù)，進(jìn)一步提高搜索性能；同時(shí)針對(duì)算法后期容易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，以種群的適應(yīng)度方差判斷種群中個(gè)體的聚集程度，對(duì)最優(yōu)個(gè)體采取混沌搜索。將IHDE算法應(yīng)用于求解單階段靜態(tài)電網(wǎng)規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)對(duì)修改過(guò)的Garver-6節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和18節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的計(jì)算和分析表明，相對(duì)GA，PSO和基本DE算法，IHDE算法在搜索效率、計(jì)算精度、收斂穩(wěn)定性、全局尋優(yōu)能力等方面都有一定的優(yōu)越性。

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