☉浙江省奉化市錦屏中學(xué) 殷向陽

在圖形變化中展開類比學(xué)習(xí)
——以“27.2.2相似三角形的性質(zhì)”為例

☉浙江省奉化市錦屏中學(xué) 殷向陽

數(shù)學(xué)學(xué)科不僅研究數(shù)量關(guān)系，還研究圖形的位置關(guān)系.在初中階段，幾何圖形的認(rèn)知是學(xué)生思維的一個(gè)突破點(diǎn)，很多學(xué)生在幾何圖形面前非常害怕.這主要是因?yàn)椴煌奈恢藐P(guān)系會(huì)帶來很多變化，不僅包括形的變化，還包括數(shù)的變化.這些變化有些時(shí)候是顯性的，且變化之間有著某種內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，讓數(shù)量關(guān)系隨著圖形的變化不變或者是有規(guī)律地變化.這種基于圖形變化下的認(rèn)知活動(dòng)，也就存在著眾多的可以前后延續(xù)適用的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生類比獲取新知提供極大的可能.借助類比的方法，不僅能突破教學(xué)難點(diǎn)，還能帶領(lǐng)學(xué)生將固有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)提取應(yīng)用，讓他們深刻領(lǐng)會(huì)圖形變化中的“變與不變”.在近期執(zhí)教的“27.2.2相似三角形的性質(zhì)”一課中，筆者用一圖多變的形式引領(lǐng)學(xué)生展開新知探究，取得了較好的成效.現(xiàn)呈現(xiàn)其中的一則片斷，與您分享，并談一些個(gè)人的體會(huì)，希望對(duì)您有幫助.

一、教學(xué)片斷及意圖分析

活動(dòng)1：探究相似三角形對(duì)應(yīng)高的比與相似比的關(guān)系.

學(xué)生活動(dòng)：已知：如圖1，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，分別作△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)高AD和A′D′，則AD和A′D′的比是多少？

圖1

學(xué)生自主探究，3分鐘后，將自己探究的過程及結(jié)果在小組中進(jìn)行交流.

教師：你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論了？

學(xué)生1：我發(fā)現(xiàn)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.

教師：你是如何得到的？

教師：說得真好！你用到了哪些知識(shí)呢？

學(xué)生1：先利用“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”證明兩個(gè)小的三角形相似，再根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”得到結(jié)論.

教師：不錯(cuò).看來你對(duì)已經(jīng)學(xué)過的相似三角形的知識(shí)掌握的還是很到位的！那么，有沒有其他得到這一結(jié)論的途徑呢？

教師：好的！仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)三角形中，被高分得的小三角形是兩對(duì)相似三角形.接下來的探究中，我們還會(huì)有這樣的發(fā)現(xiàn)！

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)掌握了相似三角形的判定方法，對(duì)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例有了一些感性認(rèn)識(shí).教者直接呈現(xiàn)探究活動(dòng)，為的是讓學(xué)生在新知探究的過程中，回顧與相似三角形相關(guān)的知識(shí).學(xué)生在探究中，自然會(huì)將已有的知識(shí)不斷提取并嘗試應(yīng)用，這樣的過程既便于學(xué)生對(duì)舊知的梳理，又能讓學(xué)生積累問題解決的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)探究夯實(shí)基礎(chǔ).

活動(dòng)2：探究相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線的比與相似比的關(guān)系.

教師演示：拖動(dòng)點(diǎn)D和點(diǎn)D′分別在線段BC和B′C′上移動(dòng).

圖2

學(xué)生（齊）：等于.

圖3

學(xué)生（齊）：等于.

教師：為什么呢？你們能像剛才一樣給出證明嗎？

學(xué)生活動(dòng)：分別作出圖2和圖3，對(duì)這兩個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，并在小組中交流驗(yàn)證過程中用到的知識(shí).

教師巡視指導(dǎo).8分鐘后，組內(nèi)交流結(jié)束.

教師：你們猜想的結(jié)論正確嗎？

學(xué)生（齊）：正確！

教師：說說具體證明思路.

學(xué)生1：我發(fā)現(xiàn)說理的過程和活動(dòng)1中差不多，都是先證明兩個(gè)三角形相似，然后用“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”證到結(jié)論.

教師：哦？！是嗎？

學(xué)生1：是的！和剛才一樣，△ABD和△A′B′D′、△ACD和△A′C′D′都是相似的.

教師：真不錯(cuò)！看來你們研究得還是蠻透徹的嘛！那么，證明過程中，有沒有什么不同的地方呢？

學(xué)生1：雖然都是用的“兩角對(duì)應(yīng)相等”得到三角形相似，但證明圖2中的結(jié)論時(shí)，要先證明∠BAD＝∠B′A′D′.

教師：怎么證？

學(xué)生2：這個(gè)思路在證明另一個(gè)結(jié)論的過程中也用到了！

教師：也得到相等了？

教師：你說得真詳細(xì).我們?cè)谙嗨迫切蔚呐卸ㄅc性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用中，又獲得了相似三角形的一些新的性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)我們進(jìn)一步探究有關(guān)相似的其他問題具有重要的作用.

設(shè)計(jì)意圖：基于探究“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”的經(jīng)驗(yàn)，教者將探究相似三角形對(duì)應(yīng)的角平分線、對(duì)應(yīng)的中線的比與相似比的關(guān)系一并呈現(xiàn)，學(xué)生剛剛積累下的“證明被對(duì)應(yīng)線段分得的兩個(gè)三角形中的一對(duì)相似”為學(xué)生指明了說理的方向，雖然方法略有不同，但整個(gè)探究的路徑是完全一致的.這樣的過程經(jīng)歷，進(jìn)一步鞏固了學(xué)生的探究經(jīng)驗(yàn)，并將知識(shí)的應(yīng)用范圍進(jìn)一步拓寬，生成了新知，讓這一學(xué)段“圖形與幾何”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)逐漸完善.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)證明過程中的“細(xì)枝末節(jié)”進(jìn)行了全班交流辨析，為的是讓新知生成“明明白白”，不留盲點(diǎn).

活動(dòng)3：歸納結(jié)論，總結(jié)提升.

教師：請(qǐng)同學(xué)們將我們探究得到的結(jié)論梳理一下！

學(xué)生1：相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.（教師板書）

學(xué)生2：相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.（教師板書）

學(xué)生3：相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.（教師板書）

教師（指著黑板）：能用一句話來概括一下這三個(gè)性質(zhì)嗎？

學(xué)生4：這些都是相似三角形的對(duì)應(yīng)線段，所以這三個(gè)性質(zhì)又可以統(tǒng)一成“相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比”.（教師板書）

教師：非常棒！這個(gè)結(jié)論將相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)進(jìn)行了高度濃縮，我們?cè)诮窈蠼鉀Q與相似相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要靈活地提取應(yīng)用！

設(shè)計(jì)意圖：有了三個(gè)結(jié)論的探究經(jīng)歷，加之前面歸納相似三角形其他性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自主歸納得出基于自己探究的三個(gè)結(jié)論是較為便利的.最后的總結(jié)，讓整個(gè)結(jié)論合而為一，不僅讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)認(rèn)知的融融之道，還能讓他們深刻感知到數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔美，進(jìn)一步激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

二、三點(diǎn)感悟

1.緊扣教學(xué)主線，追求自然延伸

教學(xué)目標(biāo)是課堂教學(xué)的方向，教學(xué)主線則是為了達(dá)成目標(biāo)而設(shè)計(jì)的教學(xué)流程.一節(jié)課的核心知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)都應(yīng)附著在這條主線之上，成為教學(xué)主線的各個(gè)分支，合理分布于課堂教學(xué)的不同環(huán)節(jié)之中.因此，一節(jié)成功的數(shù)學(xué)課，教學(xué)主線應(yīng)是十分清晰的.這三則教學(xué)片斷中，“探究相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比與相似比的關(guān)系”是教學(xué)的主線，每一則片斷都圍繞這根主線展開，教師的點(diǎn)撥引領(lǐng)與學(xué)生的自主探究和諧地分布在教學(xué)進(jìn)程中.新知的探究與生成，完全建立在舊知的回顧與應(yīng)用的基礎(chǔ)之上，“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”和“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”成就了“相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”，同時(shí)還為下一步的類比探究積累了寶貴的經(jīng)驗(yàn)；探究“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”的方法、經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生已有的相似三角形的相關(guān)知識(shí)，為活動(dòng)2中探究“對(duì)應(yīng)角平分線、中線的比與相似比的關(guān)系”打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，讓另外兩個(gè)結(jié)論的得出顯得十分自然.這樣的教學(xué)建構(gòu)在教學(xué)主線之上，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓教學(xué)進(jìn)程在教學(xué)主線之上自然拓展延伸，符合學(xué)生的認(rèn)知需求和認(rèn)知規(guī)律，對(duì)知識(shí)的生成與入網(wǎng)是十分有益的！

2.強(qiáng)化交流辨析，注重經(jīng)驗(yàn)分享

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵十分豐富，在初中階段，問題解決的經(jīng)驗(yàn)是眾多數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中最顯性的.基于問題解決下的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是最容易被學(xué)生積累下來并加以發(fā)揚(yáng)光大的.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)學(xué)生來說，由于有了自己經(jīng)歷的問題解決的過程，這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是最容易被學(xué)生感悟到的，也是最容易在“口口相傳”中成為學(xué)生的共性經(jīng)驗(yàn)的.因此在教學(xué)中，我們應(yīng)注重問題解決經(jīng)驗(yàn)的分享，在學(xué)生展開充分探究活動(dòng)后，讓他們將自己的問題解決的經(jīng)驗(yàn)在小組和全班進(jìn)行交流.通過師生、生生之間互動(dòng)辨析，逐步將這些個(gè)性化的經(jīng)驗(yàn)變?yōu)榇蠹艺J(rèn)同的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)全班共享.在本文所述的教學(xué)進(jìn)程中，就很好地實(shí)現(xiàn)了問題解決經(jīng)驗(yàn)的共享.活動(dòng)1中，學(xué)生自主探究積累下了“被AD和A′D′分得的小三角形是兩對(duì)相似三角形，只要證明其中一對(duì)相似，就可以得到我們想要的結(jié)論”，這樣的解題經(jīng)驗(yàn)，在全班交流時(shí)得到了進(jìn)一步強(qiáng)化，使其成為下一步類比探究的基礎(chǔ).活動(dòng)2中，則延續(xù)了活動(dòng)1中的探究方法，讓學(xué)生的認(rèn)知自然延續(xù)，在小組內(nèi)的交流，強(qiáng)化了個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的分享，使個(gè)體經(jīng)驗(yàn)成為全組共識(shí)；全班交流，與活動(dòng)1相似的探究經(jīng)驗(yàn)得到進(jìn)一步強(qiáng)化，使其成為全班同學(xué)認(rèn)同的解題經(jīng)驗(yàn).

3.立足類比認(rèn)知，突出學(xué)法指導(dǎo)

類比是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的重要方法，很多數(shù)學(xué)結(jié)論是借助類比的方法得到的.在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，從已有知識(shí)獲得途徑中捕獲符合新知的認(rèn)知途徑，是進(jìn)行類比學(xué)習(xí)的前提和關(guān)鍵.為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，尤其要關(guān)注核心知識(shí)認(rèn)知的共性途徑.如函數(shù)學(xué)習(xí)一般遵循“定義—圖像—性質(zhì)—應(yīng)用”的過程，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，我們就應(yīng)該強(qiáng)調(diào)這樣的認(rèn)知在函數(shù)學(xué)習(xí)中具有普遍性，從而為后面二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認(rèn)知提前做好學(xué)習(xí)方法的準(zhǔn)備.在上面的活動(dòng)1中，學(xué)生給出完整的問題解決過程后，教師立即帶領(lǐng)大家展開交流，徹底梳理出獲得這一結(jié)論的方法.活動(dòng)2中，教師從圖形變化入手，在拖動(dòng)D與D′的過程中，學(xué)生能明確感知到兩對(duì)小三角形的相似是不會(huì)發(fā)生變化的，這保證了活動(dòng)1中獲取結(jié)論的方法在活動(dòng)2中能夠主動(dòng)進(jìn)入到學(xué)生的探究進(jìn)程中，讓學(xué)生展開卓有成效的類比學(xué)習(xí).

三、寫在最后

在初中階段，學(xué)生獲取幾何知識(shí)有很多的途徑，類比是其中一種重要的方法，它的起點(diǎn)是學(xué)生已有的知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)和方法.在常態(tài)教學(xué)中，我們應(yīng)立足于學(xué)生認(rèn)知過程的每一個(gè)細(xì)節(jié)，將認(rèn)知活動(dòng)中可用于類比的素材挖掘出來，以實(shí)現(xiàn)認(rèn)知活動(dòng)的自然延續(xù).基于圖形變化的類比，是筆者在幾何教學(xué)中常用的方法，它立足于學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知之上，深挖圖形的變化中蘊(yùn)含著的不變規(guī)律和變化規(guī)律，沿著“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的歷程展開探究，順應(yīng)了幾何學(xué)習(xí)的一般規(guī)律.同時(shí)，在辨析變與不變的過程中，將圖形的性質(zhì)與判定間的聯(lián)系呈現(xiàn)出來，讓類比認(rèn)知自然而流暢.值得注意的是，類比認(rèn)知的起點(diǎn)層層搭建，讓學(xué)生的認(rèn)知過程有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，避免了“搭新臺(tái)唱新戲”的尷尬.在圖形變化中類比教學(xué)，關(guān)注了學(xué)生的學(xué)，突出了老師的教，讓師生的角色得到了準(zhǔn)確的定位，有效的課堂自此形成.WG