李寬珍

一、問題的提出

錯(cuò)題集是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，將做過的作業(yè)、試卷、習(xí)題中的錯(cuò)題進(jìn)行整理、分析、判斷的專用本.通過錯(cuò)題集可以抓住問題的關(guān)鍵，找出其中的薄弱環(huán)節(jié)，解決零散、疏漏等問題，使得學(xué)習(xí)重點(diǎn)突出，更加有針對(duì)性，進(jìn)而對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)一步起到反饋、矯正、評(píng)價(jià)、提高的作用.然而，從學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中使用錯(cuò)題集的現(xiàn)狀來(lái)看，我們發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生的錯(cuò)題集的整理存在誤區(qū)，他們的錯(cuò)題集雖然整理得全面，但是不會(huì)充分利用錯(cuò)題集來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，沒有發(fā)揮錯(cuò)題集的強(qiáng)大功能.為了掌握高中學(xué)生對(duì)錯(cuò)題集使用的真實(shí)情況，筆者進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查研究，并對(duì)學(xué)生利用錯(cuò)題集進(jìn)行反思的現(xiàn)狀進(jìn)行分析，力圖找到利用錯(cuò)題集促進(jìn)學(xué)生高效學(xué)習(xí)的途徑.

二、整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題集的可行性和必要性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的不足、思維方法的片面，學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解往往出現(xiàn)偏差，有時(shí)甚至錯(cuò)誤百出.對(duì)于錯(cuò)題的訂正，大多數(shù)學(xué)生都是課堂上似乎聽懂了老師講的內(nèi)容，但課后做題時(shí)又感到思路不清，思維方法和解題策略模糊.學(xué)生在課堂上學(xué)到的知識(shí)只是暫時(shí)記憶，以至于所學(xué)的知識(shí)雜亂無(wú)章，導(dǎo)致解決問題時(shí)不能從大腦中隨時(shí)提取需要的信息.而課后錯(cuò)題集的整理可以加強(qiáng)理解，彌補(bǔ)上課短時(shí)記憶的空缺，也可以讓學(xué)生通過對(duì)錯(cuò)題的管理，意識(shí)到整理錯(cuò)題集的重要性，從而形成“要我做”到“我要做”的轉(zhuǎn)變.

整理錯(cuò)題集還能促使課堂聽課注意力更加集中.學(xué)生上課時(shí)把老師講的重點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、解題中的難點(diǎn)等記錄下來(lái)，課后及時(shí)整理，提高學(xué)習(xí)效率.

三、整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題集的誤區(qū)和對(duì)策分析

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者遺憾地發(fā)現(xiàn)學(xué)生大多不會(huì)做數(shù)學(xué)錯(cuò)題集，學(xué)生做錯(cuò)題集的過程機(jī)械呆板，缺乏靈活性.很多時(shí)候僅僅抄個(gè)答案，分析少，無(wú)暇顧及對(duì)方法的歸納、總結(jié)，整理錯(cuò)題集的過程并沒有參與思考和體會(huì)，只是做了文字、方法的“搬運(yùn)工”，這種機(jī)械式的整理錯(cuò)題集的過程未能深入理解，無(wú)形中卻加深了對(duì)原題的記憶，容易對(duì)形似質(zhì)異的題型產(chǎn)生思維定式，不僅不能熟能生巧，反而是“熟能生笨”.

因此，筆者指出學(xué)生在數(shù)學(xué)錯(cuò)題集中的不當(dāng)做法，以引導(dǎo)學(xué)生，讓數(shù)學(xué)錯(cuò)題集成為數(shù)學(xué)高效學(xué)習(xí)的助力劑.

（一）避免“碎片化”，而應(yīng)系統(tǒng)、全面地做錯(cuò)題集

錯(cuò)題集應(yīng)該是系統(tǒng)、清晰、完整的，不能隨心所欲，想到哪里做到哪里.還有一些學(xué)生認(rèn)為錯(cuò)題集跟試卷、講義結(jié)合起來(lái)省事，直接把答案寫在試卷上，或?qū)⒃嚲砩系腻e(cuò)題剪下來(lái)貼在錯(cuò)題集上.如果能計(jì)劃安排好，這樣的錯(cuò)題集確實(shí)能節(jié)省時(shí)間，提高課堂學(xué)習(xí)效率.但這樣的弊端是感覺凌亂，特別是當(dāng)教師補(bǔ)充或擴(kuò)展的內(nèi)容多時(shí)，或者自己有一定的感悟想寫下來(lái)時(shí)，就會(huì)因?yàn)榭臻g不夠用而影響規(guī)范性、完整性，致使錯(cuò)題集整理得亂七八糟，另外試卷的剪切也會(huì)影響試卷本身的完整呈現(xiàn).因此，錯(cuò)題集的整理必須要有系統(tǒng)性、規(guī)范性，這樣才能把一個(gè)問題記錄清楚，使得問題得以系統(tǒng)化地解決.如下面是一學(xué)生記錄的基本不等式中常見的幾種錯(cuò)誤方法，記錄就很有系統(tǒng)性.

案例1 已知a，b∈R+，且a+2b=1，求+的最小值.

錯(cuò)解一：由a，b∈R+，得a+≥2，2b+≥2=2，兩式相加得a+2b（+）≥2+2，∴+≥2+1，故+的最小值為2+1.

錯(cuò)解二：由a+2b=1，得+=（a+2b）（+）≥2·=4，故+的最小值為4.

錯(cuò)解三：由a+2b=1，得a=1-2b>0，∴+=+=，而（1-2b）=·2b（1-2b）≤（）2=，等號(hào)成立的條件是2b=1-2b，解得b=，∴+≥=6，故+的最小值為6.

通過整理錯(cuò)題集，將上面案例的錯(cuò)誤解法進(jìn)行比較、分析，讓學(xué)生真正理解運(yùn)用公式a+b≥2時(shí)等號(hào)成立需要的條件，也就是利用基本不等式求最值容易出錯(cuò)的地方.

（二）避免“面面俱到”，而應(yīng)提綱挈領(lǐng)式地整理錯(cuò)題集

很多學(xué)生的數(shù)學(xué)錯(cuò)題集整個(gè)就是“板書實(shí)錄”.這些學(xué)生往往是缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，課堂上不能緊緊跟著老師的講解而思考和內(nèi)化相關(guān)知識(shí). 他們以為老師講的沒有聽懂，只要課后認(rèn)真看筆記也能彌補(bǔ)課堂學(xué)習(xí)的缺憾.其實(shí)，這樣往往會(huì)忽視老師課堂上的一些精彩分析和師生互動(dòng)的重要信息，特別是數(shù)學(xué)思想和解題策略及技巧.

筆者通常會(huì)要求學(xué)生在課堂上以聽講結(jié)合思考為主，跟緊老師的思路并提綱挈領(lǐng)地把難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)記下來(lái)，自己已經(jīng)掌握的可以不記或略記，關(guān)鍵是記下題目的梗概、自己的疑問、對(duì)錯(cuò)題的理解、感悟，以便以后翻閱時(shí)能重點(diǎn)反思，進(jìn)而總結(jié)思維過程，揭示解題規(guī)律.

例如，下面是一位學(xué)生對(duì)數(shù)列求和出現(xiàn)的錯(cuò)誤采用提綱挈領(lǐng)式的錯(cuò)題集的整理.

案例2 求和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an.

錯(cuò)解一：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）an+1，

因此 （1-a）Sn=a+2a2+2a3+…+2an+（2n-1）an+1（最后一項(xiàng)應(yīng)是減號(hào)）

錯(cuò)解二：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+…+2an+（2n-1）an+1，則（1-a）Sn=a+-（2n-1）an+1（中間是n-1項(xiàng)等比數(shù)列和，并不是n項(xiàng)等比數(shù)列和）.

錯(cuò)解三：沒有對(duì)變量a分類討論，分a=0，a=1，a≠0且a≠1三種情況來(lái)討論.

學(xué)生在自主分析錯(cuò)誤原因的過程中，對(duì)解決數(shù)列求和這類題的思路更加清晰.上面案例中的錯(cuò)解三告訴我們?cè)谑褂玫缺葦?shù)列求和公式時(shí)要注意對(duì)公比進(jìn)行討論；而錯(cuò)解一和錯(cuò)解二關(guān)鍵是運(yùn)算技能的缺失.通過這樣的自主糾錯(cuò)分析，逐步培養(yǎng)學(xué)生審讀題目、辨析概念與重視運(yùn)算技能的良好習(xí)慣.

（三）避免“量大質(zhì)劣”，而應(yīng)進(jìn)行精細(xì)的題后反思

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是解題.數(shù)學(xué)解題，如果就題論題，不認(rèn)真領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想和方法，就容易陷入題海之中，事倍功半.然而，學(xué)生的錯(cuò)題集往往是純粹的試題大全，缺乏問題所要考查的知識(shí)點(diǎn)的分析、數(shù)學(xué)思想方法的提煉及解題策略的整理等，沒有自己的鉆研體驗(yàn)，錯(cuò)題集變成習(xí)題集，最終收效甚微，會(huì)的還是會(huì)，不會(huì)的還是不會(huì).endprint

做數(shù)學(xué)錯(cuò)題集要把重點(diǎn)放在錯(cuò)題價(jià)值的挖掘上，對(duì)錯(cuò)誤的“障礙點(diǎn)”進(jìn)行重點(diǎn)“敲打”，努力使崎嶇曲折的道路變得平直順暢，便于總結(jié)解題的一般規(guī)律. 總結(jié)發(fā)現(xiàn)知識(shí)和技能中的“盲點(diǎn)”或“誤區(qū)”，及時(shí)克服和彌補(bǔ). 回顧反思難點(diǎn)突破的過程，將有關(guān)的技能、技巧通過“上綱上線”，進(jìn)一步與基本數(shù)學(xué)思想掛鉤，并將它們組建成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng). 對(duì)錯(cuò)題由此及彼，舉一反三，廣泛聯(lián)想，求新應(yīng)變，使學(xué)生收到“解一題，會(huì)一類，熟一片”之功效. 思考錯(cuò)題是否有更好的解法，通過不斷的探索求優(yōu)，培養(yǎng)學(xué)生“簡(jiǎn)約”的能力.

在解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，用自己內(nèi)化后的簡(jiǎn)短精煉的詞語(yǔ)作為評(píng)析，把奇思妙想及時(shí)記錄下來(lái)，這樣，把錯(cuò)題集變成自己研究數(shù)學(xué)的心得，不斷積累數(shù)學(xué)思想和解題方法，從而不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

1.利用錯(cuò)題集反思可由個(gè)體反思向集體反思轉(zhuǎn)變

利用錯(cuò)題集反思以個(gè)人為主. 但由于學(xué)生個(gè)體基礎(chǔ)不同，每個(gè)人的錯(cuò)題集也各不相同，也可以與他人交流補(bǔ)充，相互借鑒. 這樣可以跳出自身思考的局限和認(rèn)識(shí)苑囿，吸取他人方法，擴(kuò)大知識(shí)面，提升認(rèn)知能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性.

案例3 已知+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），且∠F1PF2=60°，求該橢圓方程.

此題不難，但一個(gè)學(xué)生卻出現(xiàn)了下面的錯(cuò)誤解法：設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），在△F1PF2中用余弦定理，得到

cos60°=

==.

化簡(jiǎn)得16-2c2

=·. （1）

兩邊平方，得c2 =4或16.再由點(diǎn)在橢圓上，解出a2，b2的值.

錯(cuò)因分析：（1）式隱含了條件16-2c2 ≥0，所以c2 =16應(yīng)該舍去.注意化簡(jiǎn)的過程要等價(jià)！同時(shí)這位同學(xué)還在錯(cuò)題集中增加了其他同學(xué)的解法.

其他同學(xué)解法（略）.

當(dāng)然，該生的錯(cuò)解對(duì)其他同學(xué)也起到提醒鞭策的作用，通過集體反思，其他同學(xué)也可以把他的錯(cuò)誤整理在自己的錯(cuò)題集上.

2.利用錯(cuò)題集反思可以通過制定反思作業(yè)，強(qiáng)化反思習(xí)慣

對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)因分析，必須要有一定的深度，如果淺嘗輒止，只會(huì)導(dǎo)致“理解表面跑，感悟走過場(chǎng)”.因此給學(xué)生布置反思作業(yè)，讓學(xué)生將思考的內(nèi)容書面化，將每一步的思考寫在相應(yīng)的解答后，能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的反思能力，養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣.

案例4 已知雙曲線C：2x2-y2=2.

（1）過定點(diǎn)P（1，2）的直線l與C有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，分別求直線l的斜率k的取值范圍；

（2）是否存在過點(diǎn)P的雙曲線的弦AB，使P恰為AB的中點(diǎn)？若存在，求出直線AB 的方程；若不存在，須說明道理；

（3）若設(shè)點(diǎn)Q（1，1），試判斷以Q為中點(diǎn)的雙曲線的弦是否存在？若存在，求出此弦所在直線的方程；若不存在，須說明道理.

此題的“含金量”很大，定點(diǎn)、直線、雙曲線、曲線的各種位置關(guān)系、方程、分類討論、中點(diǎn)弦、存在性的研究構(gòu)成了一道靚麗的風(fēng)景線，解答完后讓學(xué)生進(jìn)行回顧反思，可獲得多方面的效益.為節(jié)省篇幅，將一名學(xué)生的反思內(nèi)容扼要地寫在相關(guān)解題步驟后面的【】中.

（1）設(shè)直線l：y-2=k（x-1），【l的斜率一定存在嗎？題設(shè)中有k，無(wú)礙，但能想到也是好事】代入雙曲線方程，化得（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0. 【“2-k2”是個(gè)警戒點(diǎn)，要格外小心】當(dāng)2-k2=0時(shí)，k=±；當(dāng)Δ=0，得k=；當(dāng)Δ>0時(shí)，得k<；又兩條漸近線的斜率為±.【四點(diǎn)考慮，一個(gè)也不能少】配合圖形，則得①當(dāng)k=±，或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)；【雖然都是“只有一個(gè)公共點(diǎn)”，但有相切和不相切兩種情況】②當(dāng)k∈（-∞，-）∪（-，）∪（，）時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；【沒想到，k竟有三段取值范圍！須對(duì)照?qǐng)D形一一考慮清楚，有時(shí)兩點(diǎn)在雙曲線的一支上，有時(shí)兩點(diǎn)分居在雙曲線的兩支上；若沒有圖形的參與，則很難判斷，可見數(shù)形結(jié)合思想的威力.若令直線l圍繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則可看得更清析】. ③當(dāng)k>時(shí)，l與C沒有公共點(diǎn).

（2）假設(shè)以P為中點(diǎn)的弦AB存在，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0的兩根，則有=1，解得k=1，代入方程，驗(yàn)證知Δ>0，故存在滿足條件的直線l：y=x+1.【為什么要驗(yàn)證Δ>0？求得的k=1是必要條件，還須研究其充分性】

（3）假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦AB存在，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有2[x1][2]-[y1][2]=2，2[x2][2]-[y2][2]=2，兩式相減得2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）.【同構(gòu)式在這里又發(fā)揮了特殊的作用】又x1+x2=2，y1+y2=2，則2（x1-x2）=y1-y2，AB的斜率為2，但此時(shí)直線l與C無(wú)公共點(diǎn)，所以假設(shè)不成立，即不存在滿足條件的弦.【雖求得了斜率為2，但此時(shí)AB與C無(wú)公共點(diǎn)，AB為虛假的中點(diǎn)弦.瞻前顧后是思維廣闊性的現(xiàn)實(shí)顯示，但這可不是畏首畏尾哦！】

經(jīng)常這樣引導(dǎo)學(xué)生解題反思，讓學(xué)生將對(duì)錯(cuò)題的反思形成一種習(xí)慣.事實(shí)上，每次解題時(shí)也可以引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的一些問題：①出題人考查的思路是什么？②從這道題的已知條件出發(fā)，我可以得到什么？進(jìn)而推出什么？得出什么？③這道題會(huì)犯的錯(cuò)誤是什么？產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是什么？④我應(yīng)該怎樣做才能避免此類的錯(cuò)誤？⑤這道題的收獲是什么？⑥通過這道題，我應(yīng)掌握的思維方式是什么？我可以得到的答題技巧是什么？等等.長(zhǎng)期以往，就能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性、廣闊性和深刻性.

（四）避免“一勞永逸”，而應(yīng)不斷更新、完善錯(cuò)題集

不少學(xué)生有錯(cuò)題集整理完就擱置一邊的弊病.數(shù)學(xué)錯(cuò)題集是自己學(xué)習(xí)過程中錯(cuò)誤的一種積累，應(yīng)時(shí)而拿出來(lái)推敲，以便于溫故知新和完善補(bǔ)充，及時(shí)克服記憶中的遺忘曲線.特別是當(dāng)章節(jié)學(xué)習(xí)完成，如能再系統(tǒng)地回看一遍錯(cuò)題集并及時(shí)整理和補(bǔ)充，對(duì)知識(shí)的深化理解和思路的開闊是受益無(wú)窮的.只有通過不斷的總結(jié)歸納，才能不斷深化對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式和重要的數(shù)學(xué)思想方法、解題策略的內(nèi)化，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既輕松、有序又能把知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，便于記憶和理解.在此基礎(chǔ)上，提高分析和推理及推陳出新的能力.因而建議做錯(cuò)題集要留空，不要一次性把錯(cuò)題集擠滿，以便于進(jìn)一步的反思、整理、補(bǔ)充.

案例5 已知方程x2+2mx-m+12=0的兩根均大于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

這道題是高中學(xué)生犯錯(cuò)頻率較高的一道題，一位學(xué)生在錯(cuò)題集中不僅還原了錯(cuò)題的過程，還對(duì)其進(jìn)行了題后分析和解答補(bǔ)充.

錯(cuò)解：由不等式組Δ=（2m）2+4（m-12）≥0，

x1+x2=-2m>4，

x1x2=-m+12>4，

解出m≤-4.

題后反思：

（1）錯(cuò)因分析：由題意知，方程兩根x1>2，且x2>2，由此能推出x1+x2>4，且x1x2>4，但由“x1+x2>4，且x1x2>4”卻不能推出“x1>2，且x2>2”，例如，當(dāng)x1=5，x2=1時(shí)，滿足x1+x2>4，且x1x2>4，但顯然有x2<2，因而“x1>2，且x2>2”是“x1+x2>4，且x1x2>4”的充分不必要條件，原來(lái)是忽視了命題的等價(jià)性！

（2）正確解法（略）.

通過對(duì)這道題的整理，學(xué)生注意到要解決這類問題，需要弄清命題之間的關(guān)系，不等式不能亂用！

數(shù)學(xué)錯(cuò)題集是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題集還應(yīng)注意的問題： 忌三分鐘熱度，要堅(jiān)持不懈，持之以恒；忌拖拉，應(yīng)每天及時(shí)總結(jié)和整理，做到今日事今日畢；忌斷章取義，應(yīng)將相應(yīng)的錯(cuò)題、思維障礙等全面呈現(xiàn)，以便日后反思.通過錯(cuò)題集的整理，經(jīng)常回顧所學(xué)內(nèi)容，對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)及時(shí)梳理，對(duì)習(xí)題類化并由此推廣，不斷反復(fù)，學(xué)會(huì)總結(jié)和歸類，使知識(shí)條理化、系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，從而使記憶更扎實(shí)，理解更透徹.當(dāng)然，對(duì)學(xué)生整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題集的指導(dǎo)應(yīng)力求做到課上與課下結(jié)合，轉(zhuǎn)變思想與傳授方法結(jié)合，教師指導(dǎo)與學(xué)生探求結(jié)合，統(tǒng)一指導(dǎo)與個(gè)別指導(dǎo)結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生掌握正確的適合自己的整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題集的方法，讓數(shù)學(xué)錯(cuò)題集成為數(shù)學(xué)高效學(xué)習(xí)的助力劑.endprint