李懷琴

摘要：平面向量是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要組成部分，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中具有舉足輕重的作用。數(shù)學(xué)作為一門工具性學(xué)科，平面向量發(fā)揮著巨大的作用。它是連接代數(shù)和幾何的紐帶，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，本文主要闡述了平面向量在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 平面向量 應(yīng)用技巧

【分類號(hào)】G633.6

數(shù)學(xué)是一門理論性和邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)有著一定的難度。中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)成包括代數(shù)和幾何兩大部分，它們之間并不是孤立存在的，知識(shí)之間有著緊密的聯(lián)系，包括代數(shù)和幾何兩大部分知識(shí)之間，也不是孤立存在的，平面向量這部分知識(shí)，既包括代數(shù)也反映著幾何關(guān)系，因此，平面向量是聯(lián)系代數(shù)和幾何的紐帶。平面向量在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮著重要作用，它可以簡(jiǎn)化解題，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視對(duì)學(xué)生平面向量知識(shí)的考察，引導(dǎo)學(xué)生牢固掌握向量知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量解決問(wèn)題的能力和習(xí)慣，提高學(xué)生解題能力。但是學(xué)生容易受傳統(tǒng)教育的束縛和思維定式的影響，忽略利用向量解題的技巧。

一、 平面向量在平面幾何問(wèn)題解決中的應(yīng)用

平面幾何是高中數(shù)學(xué)的一部分，對(duì)于幾何的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生要有熟練的解題技巧，巧妙的做出輔助線，甚至有些平面幾何證明過(guò)程繁瑣，學(xué)生普遍認(rèn)為難學(xué)。為了解決學(xué)生遇到的困難，降低學(xué)生解題難度，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師要找準(zhǔn)平面幾何與平面向量之間的關(guān)系，幫助學(xué)生，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用向量知識(shí)來(lái)解決。平面幾何是圖形的集合，圖形可以看做是點(diǎn)的集合。然而，在向量知識(shí)的學(xué)習(xí)中，我們知道，向量可以用來(lái)表示平面中的點(diǎn)。因此，我們可以將幾何圖形看做是向量的集合，以向量為工具解決幾何問(wèn)題，這樣有助于學(xué)生清晰的找到解題的思路，簡(jiǎn)化繁瑣的證明過(guò)程，降低問(wèn)題的難度。

1、 在矩形ABCD中，AB= AD，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BF=2FD，試證：A、E、F三點(diǎn)共線。

證明：設(shè) ， ，則 0，且 ， = + = （ + ）= ，又因?yàn)?，則A、F、E三點(diǎn)共線。

總之，在解決部分平面幾何問(wèn)題時(shí)，利用幾何知識(shí)需要學(xué)生具有一定的解題技巧，學(xué)會(huì)做輔助線或?qū)D形進(jìn)行切割等，要求學(xué)生具備較高的解題能力。但是，向量知識(shí)在平面幾何中的運(yùn)用，讓學(xué)生的思維更加模式化、規(guī)范化，找到了解決問(wèn)題的捷徑，將幾何知識(shí)向量化，在解題中具有明顯的優(yōu)勢(shì)，教師要引導(dǎo)學(xué)生多加運(yùn)用，在解題中形成一種思維定勢(shì)。教學(xué)中我們?cè)谶\(yùn)用向量解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，讓學(xué)生找到平面幾何與向量之間的關(guān)系，挖掘出其中的內(nèi)在連接點(diǎn)。

二、 平面向量在函數(shù)、不等式問(wèn)題解決中的應(yīng)用

函數(shù)與不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，平面向量這章看似獨(dú)立的知識(shí)，在與主干知識(shí)的匯合上有著緊密聯(lián)系。新課標(biāo)下，教師要嘗試讓學(xué)生以向量為工具，來(lái)解決函數(shù)、不等式等知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)的融合，通過(guò)巧妙的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生將向量知識(shí)與函數(shù)、不等式知識(shí)巧妙的融合為一個(gè)有機(jī)整體。

2、求函數(shù)y= + 的值域。

利用向量知識(shí)解決問(wèn)題，我們需要將函數(shù)變形為y=1. + . ，設(shè) （1， ）， （ ， ），則y= cos< ， >，所以y=2cos< ， >， 在單位圓x +y =1（x>0，y>0）上運(yùn)動(dòng)， 與x軸正向夾角為 ，由圖象知，0 < ， > ，即所求函數(shù)的值域?yàn)?。

例3：利用向量知識(shí)解決不等式中的問(wèn)題。

設(shè)a、b、c、d是實(shí)數(shù)，證明（a +b ）（c +d ） （ac+bd） 。

這是對(duì)柯西定理的證明，設(shè) =（a，b）， =（c，d），則 =ac+bd， ，所以ac+bd ，所以，（a +b ）（c +d ） （ac+bd）

三、 平面向量在數(shù)列和三角函數(shù)問(wèn)題解決中的應(yīng)用

在平面向量中，它與數(shù)列知識(shí)沒(méi)有太多的交匯應(yīng)用。但是，有的時(shí)候會(huì)把等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)與向量共線的條件知識(shí)結(jié)合到一起，這樣能夠很好的解決數(shù)列問(wèn)題；而在三角函數(shù)問(wèn)題的解決中，平面向量的數(shù)量積和它的坐標(biāo)運(yùn)算，還有向量的共線與垂直條件，常常與三角函數(shù)的內(nèi)容相互滲透，使得數(shù)學(xué)問(wèn)題新穎別致，自然流暢。平面向量知識(shí)在三角函數(shù)中的應(yīng)用，主要是應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)運(yùn)算，這些運(yùn)算和向量的共線與垂直條件與三角函數(shù)等內(nèi)容很好的銜接，達(dá)到了平面向量知識(shí)與三角函數(shù)知識(shí)的交匯，體現(xiàn)了向量的交匯性、工具性、傳遞性和轉(zhuǎn)換思想。

四、 用空間向量運(yùn)算可以解答的立體幾何問(wèn)題

我們不能通過(guò)空間向量運(yùn)算去解決所有的立體幾何問(wèn)題。我們要在解決問(wèn)題前仔細(xì)斟酌，如果為了用空間向量運(yùn)算解題，而給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來(lái)了不必要的麻煩，會(huì)造成挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性的后果，就不要機(jī)械運(yùn)用向量空間運(yùn)算去解決問(wèn)題。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)空間向量與立體幾何的結(jié)合、靈活運(yùn)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題有了明確的規(guī)定?？梢?jiàn)，利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題為我們提供了全新的方法和技巧，解題過(guò)程通常也是運(yùn)用向量公式的變形就能解決一些需要通過(guò)繁瑣分析才能解決的問(wèn)題，這大大提高了我們的解題效率。

但是，高中立體幾何中也只是有的內(nèi)容能夠通過(guò)空間向量來(lái)解決，比如證明、計(jì)算等度量方面的問(wèn)題，還有位置關(guān)系方面的證明問(wèn)題。但是，那些需要用坐標(biāo)系來(lái)解決的集合問(wèn)題就不能用空間向量來(lái)解決了。

中學(xué)數(shù)學(xué)是高考中一門重要課程，在考試中具有非常重要的地位。學(xué)校從上到下都重視數(shù)學(xué)教學(xué)。一定程度上，數(shù)學(xué)成績(jī)的好壞，直接影響著學(xué)生的整體水平。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有一定技巧的。解題是我們中學(xué)數(shù)學(xué)主要面對(duì)的問(wèn)題，教師要幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等都是數(shù)學(xué)解題中的重要思想，學(xué)生需要牢牢掌握。盡管數(shù)學(xué)如此重要，但是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，代數(shù)和幾何并不是孤立存在的，向量既是幾何研究的對(duì)象，也是代數(shù)研究的對(duì)象，是溝通代數(shù)和幾何的橋梁，是重要的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中所占比例不大，主要涉及了向量的基本知識(shí)和基本運(yùn)算，學(xué)生需要識(shí)記向量部分的基本公式，掌握基本算法。學(xué)生只有熟練掌握了向量的基本知識(shí)，才有可能將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，在熟練掌握知識(shí)的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生將向量知識(shí)運(yùn)用到其他章節(jié)的知識(shí)中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量的知識(shí)去解題，讓這種解題稱為一種思維定式。向量在解決問(wèn)題方方面有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，本文主要從理論與實(shí)踐兩方面說(shuō)明了向量方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，主要應(yīng)用的是初等數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，說(shuō)明了向量方法與幾何知識(shí)、不等式、函數(shù)、立體幾何等方面結(jié)合起來(lái)的應(yīng)用。利用向量這一工具可以巧妙而簡(jiǎn)捷的處理多種題型，而且比傳統(tǒng)的方法更簡(jiǎn)單、方便，中學(xué)數(shù)學(xué)中，向量方法的運(yùn)用，極大的激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬了學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。

參考文獻(xiàn)： 王建明，數(shù)學(xué)課程改革中的向量背景和前景分析 .數(shù)學(xué)報(bào)，2002（5）