匡婷

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要有力工具，對導(dǎo)數(shù)的考查是各地歷年高考的“不動(dòng)點(diǎn)”. 主要從以下三個(gè)方面進(jìn)行考查：一是考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二是考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用（例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值等），三是考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.通過對2014年各地高考試題分析，本文對導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)題型加以盤點(diǎn)，以期對大家有所幫助.

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義

1. 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

例1 ?已知函數(shù)[f0x=sinxx（x>0）]，設(shè)[fnx]為[fn-1x]的導(dǎo)數(shù)，[n∈N*]. 求[2f1（π2）+π2f2（π2）]的值.

解析 ?由已知得，[f1（x）=f0（x）=cosxx-sinxx2]，

于是[f2（x）=f1（x）=-sinxx-2cosxx2+2sinxx3]，

所以[f1（π2）=-4π2]，[f2（π2）=-2π+16π3].

故[2f1（π2）+π2f2（π2）=-1].

點(diǎn)撥 ?導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的第一步，一定要計(jì)算正確.在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，大家要牢記初等基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，對比較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則.

2. 導(dǎo)數(shù)幾何意義——切線相關(guān)問題

例2 ?如圖所示，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（ ? ）

A.[ y=12x3-12x2-x]

B.[ y=12x3+12x2-3x]

C.[ y=14x3-x]

D.[ y=14x3+12x2-2x]

解析 ?該三次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，不妨設(shè)其解析式為[y=f（x）=ax3+bx2+cx]，且[f（0）=-1]，[f（2）=3]，

所以[c=-1]，[3a+b=1].

又[y=ax3+bx2+cx]過點(diǎn)[（2，0）]，

[∴4a+2b=1]，[∴a=12，b=-12.]

[∴y=f（x）=12x3-12x2-x].

答案 ?A

點(diǎn)撥 ?函數(shù)[f（x）]在[x=x0]處的導(dǎo)數(shù)[f（x0）]的幾何意義是曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[（x0，fx0）]處的切線的斜率.本題的關(guān)鍵是要抓住在點(diǎn)[（0，0），（2，0）]處直線與曲線相切這兩個(gè)條件.

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3 ?設(shè)函數(shù)[f（x）=alnx+x-1x+1]，其中[a]為常數(shù). 討論函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性.

解析 ?函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)閇（0，+∞）].

[f（x）=ax+2（x+1）2=ax2+（2a+2）x+ax（x+1）2].

（1）當(dāng)[a≥0]時(shí)，[f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)[a<0]時(shí)，令[g（x）=ax2+（2a+2）x+a]，

由于[Δ=（2a+2）2-4a2=4（2a+1）]，

①當(dāng)[a=-12]時(shí)，[Δ=0]，[f（x）=-12（x-1）2x（x+1）2≤0]，函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞減.

②當(dāng)[a<-12]時(shí)，[Δ<0]，[g（x）<0]，[f（x）<0]，函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞減.

③當(dāng)[-120].

設(shè)[x1]，[x2（x1

則有[x1=-（a+1）+2a+1a]，[x2=-（a+1）-2a+1a].

因?yàn)閇x1=a2+2a+1-2a+1-a>0]，

所以，[x∈（0，x1）]時(shí)，[g（x）<0]，[f（x）<0].

[x∈（x1，x2）]時(shí)，[g（x）>0]，[f（x）>0.]

[x∈（x2，+∞）]時(shí)，[g（x）<0]，[f（x）<0.]

綜上可得（1）當(dāng)[a≥0]時(shí)，函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增;（2）當(dāng)[a≤-12]時(shí)，函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞減;（3）當(dāng)[-12

點(diǎn)撥 ?導(dǎo)函數(shù)的符號決定了原函數(shù)的單調(diào)性，在高考試題中，多數(shù)求單調(diào)區(qū)間的試題都要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，這是一個(gè)難點(diǎn). 突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是找到分類討論的原因：（1）若方程[f（x0）=0]無解，函數(shù)在定義域內(nèi)一般為單調(diào)函數(shù);（2）若方程[f（x0）=0]有解，再看方程的解是否在定義域內(nèi).

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值

例4 ?已知函數(shù)[f（x）=（x2+bx+b）1-2x（b∈R）].當(dāng)[b=4]時(shí)，求[f（x）]的極值.

解析 ?依題意得[x≤12].

當(dāng)[b=4]時(shí)，[f（x）=-5x（x+2）1-2x.]

由[f（x）=0]得，[x=-2]或[x=0].

所以當(dāng)[x∈（-∞，-2）]時(shí)，[f（x）<0]，[f（x）]單調(diào)遞減.

當(dāng)[x∈（-2，0）]時(shí)，[f（x）>0]，[f（x）]單調(diào)遞增.

當(dāng)[x∈（0，12）]時(shí)，[f（x）<0]，[f（x）]單調(diào)遞減.

故[f（x）]在[x=-2]處取得極小值[f（-2）=0]，在[x=0]處取得極大值[f（0）=4].

點(diǎn)撥 ?求函數(shù)的極值應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再解方程[f（x）=0]，判斷[f（x）=0]的根[x0]是否是極值點(diǎn)，即看[x0]左右兩邊的單調(diào)性是否發(fā)生了改變.

利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍

1. 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例5 ?若函數(shù)[f（x）=kx-lnx]在區(qū)間[（1，+∞）]上單調(diào)遞增，則[k]的取值范圍是（ ? ）

A. [（-∞，-2]] B. [（-∞，-1]]

C. [[2，+∞）] ? D. [[1，+∞）]

解析 ?[f（x）=k-1x=kx-1x]，且[x>0]，

由題意可知，[f（x）≥0]，即[kx-1≥0]，即[x≥1k（k<0]時(shí)不滿足[）].

因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）]在區(qū)間[（1，+∞）]上單調(diào)遞增，

所以[1k≤1]，解得[k≥1].

答案 ?D

點(diǎn)撥 ?可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間[I]上單調(diào)，就是不等式[f（x）≥0]或[f（x）≤0]的解集包含[I]，也就是在區(qū)間[I]上[f（x）≥0]或[f（x）≤0]（有限個(gè)點(diǎn)取等號）恒成立.

2. 恒成立問題求參數(shù)的范圍

例6 ?當(dāng)[x∈-2，1]時(shí)，不等式[ax3-x2+4x+3≥0]恒成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（? ）

A. [[-5，-3]] ? ? B. [[-6，-98]]

C. [[-6，-2]] ? ? ? ? D. [[-4，-3]]

解析 ?（1）當(dāng)[-2≤x<0]時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為[a≤x2-4x-3x3].

令[f（x）=x2-4x-3x3（-2≤x<0）]，

則[f（x）=-x2+8x+9x4=-（x-9）（x+1）x4]，

故[f（x）]在[-2，-1]上單調(diào)遞減，在[（-1，0）]上單調(diào)遞增，此時(shí)有[a≤1+4-3-1=-2].

（2）當(dāng)[x=0]時(shí)，不等式恒成立.

（3）當(dāng)[0

綜上，[-6≤a≤-2].

答案 ?C

點(diǎn)撥 ?若[f（x）]在區(qū)間[I]上存在最值，則[?x∈I，][ f（x）≤a]恒成立[?f（x）max≤a];[?x∈I]，[f（x）≥a]恒成立[?f（x）min≥a].

3. 存在問題求參數(shù)的范圍

例7 ?設(shè)函數(shù)[f（x）=alnx+1-a2x2-x（a≠1）]，若存在[x0≥1]使得[f（x0）

解析 [f（x）]的定義域?yàn)閇（0，+∞）]，

[f（x）=ax+（1-a）x-1=1-ax（x-a1-a）（x-1）].

（1）若[a≤12]，則[a1-a≤1]，

故當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[f（x）>0]，[f（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增.

所以存在[x0≥1]使得[f（x0）

解得[-2-1

（2）若[121]，

故當(dāng)[x∈（1，a1-a）]時(shí)，[f（x）<0];當(dāng)[x∈（a1-a，+∞）]時(shí)，[f（x）>0].

[f（x）]在[（1，a1-a）]上單調(diào)遞減，在[（a1-a，+∞）]上單調(diào)遞增.

所以存在[x0≥1]使得[f（x0）

而[f（a1-a）=alna1-a+a22（1-a）+aa-1>aa-1]，不符合題意.

（3）若[a>1]，存在[f（1）=1-a2-1=-a-12

綜上，[a]的取值范圍是[（-2-1，2-1）?（1，+∞）].

點(diǎn)撥 ?若[f（x）]在區(qū)間[I]上有最值，則[?x0∈I]，使得[f（x0）][≤a][?f（x）min≤a];[?x0∈I]，使得[f（x0）≥a][?f（x）max≤a].

4. 導(dǎo)數(shù)與相關(guān)知識交匯

例8 ? 函數(shù)[f（x）=ln（x+1）-axx+a（a>1）].討論[f（x）]的單調(diào)性.

解析 ?易知[f（x）]的定義域?yàn)閇（-1，+∞），][f（x）=][xx-（a2-2a）（x+1）（x+a）2].

（1）當(dāng)[1

若[x∈（-1，a2-2a）]，則[f（x）>0]，[f（x）]在[（-1，a2-2a）]上是增函數(shù).

若[x∈（a2-2a，0）]，則[f（x）<0]，[f（x）]在[（a2-2a，0）]上是減函數(shù).

若[x∈（0，+∞）]，則[f（x）>0]，所以[f（x）]在[（0，+∞）]上是增函數(shù).

（2）當(dāng)[a=2]時(shí)，[f（x）≥0]恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)[x]=0取等號），

所以[f（x）]在[（-1，+∞）]上是增函數(shù).

（3）當(dāng)[a>2]時(shí)，

若[x∈（-1，0）]，則[f（x）>0]，[f（x）]在[（-1，0）]上是增函數(shù).

若[x∈（0，a2-2a）]，則[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，a2-2a）]上是減函數(shù).

若[x∈（a2-2a，+∞）]，則[f（x）>0]，[f（x）]在[（a2-2a，+∞）]上是增函數(shù).

點(diǎn)撥 ?導(dǎo)數(shù)的工具性注定了高考命題者會(huì)在知識交匯處（如和函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列及歸納法等交匯）以壓軸題的形式進(jìn)行考查. 在平時(shí)學(xué)習(xí)中，我們既要抬頭看路（關(guān)注高考的動(dòng)向），又要埋頭拉車（重視基礎(chǔ)，腳踏實(shí)地），爭取達(dá)到最好的學(xué)習(xí)效果.