摘要：本文對(duì)2012年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題進(jìn)行了改

編，并從實(shí)際情況出發(fā)進(jìn)行圖形數(shù)據(jù)處理、模型建立、模型求解。

關(guān)鍵詞：最短路徑 matlab 線圓模型 動(dòng)態(tài)規(guī)劃

1 機(jī)器人避障問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

2012年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題為一道機(jī)器人避障問題，即要求機(jī)器人在給定區(qū)域內(nèi)成功繞過障礙物并到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。這道題目考查了大學(xué)生的綜合分析能力和解決問題的能力，要求其靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的具體問題。本文試圖通過建立數(shù)學(xué)模型的方式分析和解決這一問題。首先，我們先設(shè)計(jì)一張平面場(chǎng)景示意圖，規(guī)定其為機(jī)器人的限定活動(dòng)區(qū)域。其中，場(chǎng)景圖的規(guī)格為800×800，設(shè)機(jī)器人的起點(diǎn)為原點(diǎn)，即（0，0）。假設(shè)我們?cè)?2個(gè)形狀不同的區(qū)域內(nèi)設(shè)置了障礙物。機(jī)器人在活動(dòng)時(shí)不得與障礙物發(fā)生碰撞，否則將無法正常行走。為進(jìn)一步明確機(jī)器人的行走狀況和障礙物的分布特征，我們制作了表格。（表1）

求解問題一：以下給出了O到各目標(biāo)點(diǎn)的可能路徑的最短路徑：

①如圖5，解決的就是O到目標(biāo)點(diǎn)A的最短路徑問題，共有兩種路徑走法。線路（1）走法的路徑長度為471.0327；線路（2）走法的路徑長度為490.8325。所以O(shè)A的最短路徑走法為路線（1），路徑為471.0327。

②如圖6，圖中給出了四條可能的最短避障路徑。我們可以一一計(jì)算，并進(jìn)行對(duì)比，最終得到O到B的最優(yōu)路徑。線路（1）的路徑為824.6960。線路（2）的路徑為852.7。線路（3）的路徑為945.3287。線路（4）的路徑為1050.2591。所以線路（1）為OB的最短路徑，OB路徑為824.6960。

③如圖7，圖中給出了O到C的四條可能最短路徑，取最小結(jié)果路徑為最優(yōu)路徑。計(jì)算線路（1）和線路（2）時(shí)由于有特殊的圓形障礙物所以建立了線圓結(jié)構(gòu)模型五，結(jié)合模型一二三四可以求出各個(gè)路徑的長度。由計(jì)算結(jié)果可知道：路線（1）的路徑為1035.1；路線（2）的路徑為1026.33；路線（3）結(jié)合模型一二三可以求得的路徑為1090.1352；路線（4）結(jié)合模型一二三四可以求得路徑為1073.5。所以O(shè)C的最短路徑為線路（2）：1026.33。

④對(duì)于問題OABCO路徑的求解我們采用模型六的方法給出了兩種可能的最短路徑。

結(jié)合上述幾個(gè)模型可得出：線路（1）的路徑長度為2620.5；線路（2）的路徑長度為2714.5，所以O(shè)ABCO的最短路徑為線路（1）所求長度為2620.5。

求解問題二：我們首先可知，當(dāng)弧度越大時(shí)其速度就越快，但是當(dāng)弧度大到一定范圍時(shí)總長度L就會(huì)越長，此時(shí)就會(huì)影響最短時(shí)間。設(shè)O1（x，y）半徑為R，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)最小危險(xiǎn)距離為10，所以我們先設(shè)OO1=a、O1A=b、OA=c、∠OO1A=j1、∠OO1E=j2、∠AO1F=j3、∠EO1F=j4所以可知圓O1與外面一個(gè)小危險(xiǎn)區(qū)域組成的圓記作O2相內(nèi)切。并且為保證總長度L最短得出：最短時(shí)間 Tmin=94.2285。

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作者簡介：

陳楊林（1974-），男，江西九江人，研究生，教師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。