韋云校

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的。數(shù)形結(jié)合思想主要解決方程的根的個(gè)數(shù)、求參數(shù)取值范圍和解決幾何問(wèn)題。

一、數(shù)形結(jié)合思想在解決方程的根的個(gè)數(shù)、不等式解集的問(wèn)題中的應(yīng)用

例1（1）已知：函數(shù)f（x）滿足下面關(guān)系.

①f（x+1）=f（x-1）；

②當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x2.

則方程f（x）=lgx解的個(gè)數(shù)是（ ）

A.5 B.7 C.9 D.10

（2）設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式f（x）-f（-x）x<0的解集為（ ）

A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，-1）∪（0，1）

C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）

分析：（1）在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y=f（x）和y=lgx的圖象，由它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程的解的個(gè)數(shù)；（2）f（x）-f（-x）=2f（x），畫(huà)出y=2f（x）的大致圖象，f（x）與x異號(hào)的區(qū)間，即為不等式的解集.

（1）由題意可知，f（x）是以2為周期，值域?yàn)閇0，1]的函數(shù).

又f（x）=lgx，則x∈（0，10]，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，

則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù).又∵lg10=1，故當(dāng)x>10時(shí)，無(wú)交點(diǎn).∴由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn).

（2）∵f（x）為奇函數(shù)，

∴f（x）-f（-x）=2f（x）

畫(huà)出y=2f（x）的大致圖象.

如圖，則f（x）與x異號(hào)的區(qū)間

如圖陰影所示，

∴解集為（-1，0）∪（0，1），故選D.

評(píng)析：（1）用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式（不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù).

（2）解不等式問(wèn)題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)（或多個(gè)）函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來(lái)解決不等式的解的問(wèn)題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答.

（3）函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).

二、 數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)、代數(shù)式的取值范圍、最值問(wèn)題中的應(yīng)用

例二：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2a|x|+2x-a，若方程

f（x）=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

__________________.

解析 易知a≠0，f（x）=0，即2a|x|+2x-a=0，

變形得|x|-12=-1ax，

分別畫(huà)出函數(shù)y1=|x|-12，y2=-1ax的圖象（如圖所示），由圖易知：

當(dāng)0<-1a<1或-1<-1a<0時(shí)，y1和y2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴當(dāng)a<-1或a>1時(shí)，方程f（x）=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）.

評(píng)析：解決方程的根的問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.在解決函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合，以“形”助“數(shù)”，直觀簡(jiǎn)潔.

規(guī)律方法總結(jié)

1.利用數(shù)形結(jié)合解題，只需把圖象大致形狀畫(huà)出即可，不需要精確圖象.

2.數(shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法

與技巧，特別在解選擇題、填空題時(shí)更方便，可以提高解題速度.

3.數(shù)形結(jié)合思想常用模型：

一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式（或向量的模、復(fù)數(shù)的模），點(diǎn)到直線的距離公式等。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張立娟.巧用數(shù)形結(jié)合法解題[J].今日科苑.2007（12）