曹輝

轉(zhuǎn)化的思想是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)、常用的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn).本人在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，同一道數(shù)學(xué)問(wèn)題不同的學(xué)生來(lái)思考或同一名學(xué)生以不同的角度用不同的方法來(lái)思考，可能會(huì)得到截然不同的結(jié)果.一部分原因是由于對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化不等價(jià)造成的.本文就針對(duì)轉(zhuǎn)化中的等價(jià)轉(zhuǎn)化中常見(jiàn)的問(wèn)題進(jìn)行研究.

一、三角函數(shù)及解三角形中的等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題

1.設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c成等比數(shù)列，則sinA+tanCcosAsinB+tanCcosB的取值范圍是

.

學(xué)生解法：原式=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sinBsinA=ba.

（1）

∵b2=ac，

∴（1）=ca，由構(gòu)成三角形的條件可知：a+b>c，a+c>b，b+c>a且b2=ac，不等式組轉(zhuǎn)化為a+ac>c，a+c>ac，ac+c>a，解得：5-12

問(wèn)題剖析：（1）式的得到實(shí)際上利用了轉(zhuǎn)化的思想，但在問(wèn)題的轉(zhuǎn)化中，（1）式與原式并不等價(jià).原因是：原式中要求C≠π2，而（1）式中，C可以等于π2，這就造成了在化歸中（1）式和原式不等價(jià)性，即滿足的是充分不必要條件，范圍被擴(kuò)大了.原式須等價(jià)轉(zhuǎn)化為（1）式和條件c2≠a2+b2，正解為5-12，5-12∪5-12，5+12.

二、函數(shù)中的等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題

2.設(shè)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）.若|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，則b2+c2的最大值與最小值的和為

.

學(xué)生解法：∵f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，易知f（3）=1，即9+3b+c=1，∴c=-8-3b.

（1）

f（x）=x2+bx-3b-8，|x|≥2，f（x）≥0|x|≥2，b（3-x）≤x2-82≤x<3或x≤-2時(shí)，b≤x2-83-x.

x>3時(shí)，b≥x2-83-x;x=3時(shí)，b∈R.解得：-8≤b≤-4.

（2），

由（1）（2）可知：b2+c2=10b2+48b+64，

∴（b2+c2）min=32，（b2+c2）max=320.

問(wèn)題剖析： ∵f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，只滿足f（3）=1（c=-8-3b）不能說(shuō)明f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，需加條件-b2≤52，即b的范圍為[-5，-4].

三、不等式中的等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題

3.已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c（c>b>a），其圖像過(guò)點(diǎn)（1，0），且與直線y=-a有公共點(diǎn)，則

ba的取值范圍

.

學(xué)生解法：由題設(shè)：a+2b+c=0，c>b>a得：a<0，c>0c=-a-2b>0，解得ba>-12.

又y=-a有公共點(diǎn)得：方程ax2+2bx+c+a=0有實(shí)根， 即：Δ=4b2-4a（c+a）=b2+2ab≥0，解得ba≥0或ba≤-2，綜上：ba≥0.

問(wèn)題剖析：上述解法的范圍被擴(kuò)大了，滿足的條件應(yīng)為：-a-2b>b

-a-2b>a

b>a

b2+2ab≥0，解得0≤ba<1.

四、解析幾何中的等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題

4.F1，F(xiàn)2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn)，P，F(xiàn)1，F(xiàn)2為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則P到x軸的距離為

.

學(xué)生解法：（1）若 P為直角頂點(diǎn)，設(shè)P （x，y）.焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是（-3，0），（3，0）.由PF1⊥PF2可得PF1·PF2=0，∴x2-9+y2=0，將該式代入橢圓方程得|y|=163.

（2）若F1為直角頂點(diǎn)，設(shè)P （x，y），將x=-3代入橢圓方程得，|y|=165.

問(wèn)題剖析：通過(guò)上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，在第一類(lèi)討論中將|y|=163代入x2=9-y2會(huì)發(fā)現(xiàn)x2<0，這樣的x值不存在，也就是說(shuō)P不可能是ΔPF1F2的直角頂點(diǎn).因此|y|=163是錯(cuò)解.已知兩個(gè)二次曲線方程，判斷它們的位置關(guān)系，不能使用判別式了，因聯(lián)立方程后所得方程中變量的取值范圍發(fā)生了變化，即方程的轉(zhuǎn)化不等價(jià).解答時(shí)要看方程組解的情況.

在高中的學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法進(jìn)行理解、深化，即等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新問(wèn)題與原問(wèn)題實(shí)質(zhì)是一樣的，等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后所得結(jié)果為原題的結(jié)果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]朱紅霖.中學(xué)數(shù)學(xué)思維隱形錯(cuò)誤探源.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012年第二期.

[2]靈東.這種解法怎么少了一個(gè)值.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013年第4期（上旬）.