杭毅 張 揚(yáng)

【摘要】以一元二次方程章節(jié)復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)為例，介紹“點(diǎn)線式”復(fù)習(xí)課教學(xué).“點(diǎn)線式”教學(xué)即抓住某個(gè)知識(shí)要點(diǎn)，設(shè)計(jì)出典型的問(wèn)題線，把分散在各處的點(diǎn)狀知識(shí)，按某一知識(shí)線，將其整合成一個(gè)關(guān)聯(lián)的有機(jī)面，讓知識(shí)“內(nèi)熔”化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.通過(guò)系列問(wèn)題的解決，重在重新建構(gòu)知識(shí)體系，做到在教學(xué)中“提供情境，提出問(wèn)題，提取方法，提煉思想，從而達(dá)到提升能力”這一要求.

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)線教學(xué)；體系重構(gòu)

近期，與幾位專(zhuān)家參與了一次江蘇省教研室舉辦的“教學(xué)新時(shí)空·名師課堂”的教學(xué)研討活動(dòng)，對(duì)復(fù)習(xí)課的課堂教學(xué)模式進(jìn)行深入的研討，研討中筆者針對(duì)一元二次方程章節(jié)復(fù)習(xí)（第一課時(shí)）交流了自己的教學(xué)流程與設(shè)計(jì)思路，現(xiàn)整理后與同仁們分享.

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)系列問(wèn)題的解決，復(fù)習(xí)一元二次方程的定義、解法、根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系等相關(guān)知識(shí).

2.在問(wèn)題解決中，引導(dǎo)學(xué)生重構(gòu)知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過(guò)k值的不同位置的變化，引導(dǎo)學(xué)生重新構(gòu)建一元二次方程的知識(shí)體系.

難點(diǎn)：針對(duì)k值的位置變化，學(xué)習(xí)分類(lèi)討論解決問(wèn)題的方法.

三、教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)一元二次方程的解法

問(wèn)題1：當(dāng)k為何值時(shí)，方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？

生1：要使一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，必須滿足根的判別式Δ=0，即k2-4×1×4=0，解得k=±4.

師：求k值的過(guò)程中，你是采用什么方法求k的值？

生1：采用直接開(kāi)平方法解一元二次方程.

變式：當(dāng)k為何值時(shí)，方程x2-（k-1）x+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？

生2：Δ=0，即（k-1）2-16=0，解得k1=5，k2=-3.

師：采用什么方法求k的值？

生2：采用直接開(kāi)平方法.

師：你還能使用什么方法解這個(gè)方程？

生2：我還可以換個(gè)角度思考問(wèn)題，用因式分解法解這個(gè)方程，利用平方差公式解之.

師：方程（k-1）2-16=0的一般形式是什么？

生3：方程的一般形式為k2-2k-15=0.

師：對(duì)于一元二次方程k2-2k-15=0，你們還可以用什么方法來(lái)解？

生3：還可以用配方法和公式法來(lái)解這個(gè)方程.

師：下面請(qǐng)兩位同學(xué)分別在黑板上用配方法和公式法來(lái)解這個(gè)方程，其他同學(xué)在座位上完成.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)“當(dāng)k為何值時(shí)，方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？”引出研究話題，入口淺，起步低，此時(shí)字母k在一次項(xiàng)系數(shù)的位置上.以（k-1）2-16=0為例復(fù)習(xí)一元二次方程的四種不同的解法，在復(fù)習(xí)中讓學(xué)生體驗(yàn)到四種解法既有區(qū)別又有聯(lián)系，根據(jù)方程的特征靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒?，可以使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)便.明確解一元二次方程的基本思路是把它轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是“降次”.

環(huán)節(jié)2：復(fù)習(xí)根的判別式，方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系

問(wèn)題2：當(dāng)k為何值時(shí)，方程x2-4x+k=0.

（1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（3）有一個(gè)根為3；

（4）有一個(gè)根為2+3；

（5）兩根之比為1：2.

生4：有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，須滿足Δ=0，即42-4×1×k=0，解得k=4.

生5：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，須滿足Δ>0，即42-4×1×k>0，解得k<4.

生6：有一根為3，說(shuō)明x=3是方程的解，只需把x=3代入原方程即可，解得k=3.

生7：有一根為2+3，可以將x=2+3代入原方程，解得k=1.

師：將x=2+3代入原方程，比較麻煩.你們還有沒(méi)有其他的解法？

生8：可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.設(shè)方程的另一個(gè)根為x2，因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)為1，則有2+3+x2=4，x2=2-3，k=（2+3）（2-3）=1.

生9：對(duì)于兩根之比為1：2，不妨設(shè)這兩根分別為m、2m，因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)為1，利用根與系數(shù)的關(guān)系，則有m+2m=4，m=4[]3，k=4[]3×8[]3=32[]9.

【設(shè)計(jì)意圖】在這組問(wèn)題中，字母k的位置由一次項(xiàng)移到常數(shù)項(xiàng)上，通過(guò)這組問(wèn)題的復(fù)習(xí)，將與方程的根有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行整合，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度、不同的形式來(lái)研究方程的根.其中（4）采用兩種不同的解法，讓學(xué)生體驗(yàn)到利用根與系數(shù)關(guān)系求解較為簡(jiǎn)捷.

環(huán)節(jié)3：復(fù)習(xí)方程解的個(gè)數(shù)

問(wèn)題3：當(dāng)k為何值時(shí)，方程kx2-4x+1=0.

（1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（3）有實(shí)數(shù)根.

生10：有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，須滿足Δ=0，即42-4×k×1=0，解得k=4.

生11：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，須滿足Δ>0，即42-4×k×1>0，解得k<4.

師：其他同學(xué)有沒(méi)有不同意見(jiàn)？

生12：這道題目中字母k移為二次項(xiàng)系數(shù)，必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，否則它是一元一次方程，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.正確答案應(yīng)為k<4且k≠0.

生13：方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，k應(yīng)為k≤4且k≠0.

師：有實(shí)數(shù)根與有兩個(gè)實(shí)數(shù)根是同一概念嗎？

生13：噢，不一樣，當(dāng)k=0時(shí)，它是一元一次方程，也是有實(shí)數(shù)根，故答案應(yīng)為k≤4.

【設(shè)計(jì)意圖】仍然以“當(dāng)k為何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”為話題，但此時(shí)字母k由常數(shù)項(xiàng)移至二次項(xiàng)系數(shù)，通過(guò)辨析，要注意二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0的情況，同樣，“有實(shí)數(shù)根”與“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”也不是同一種情況，“有實(shí)數(shù)根”中的根可以有兩個(gè)也可以只有一個(gè)，即方程可以為一元二次方程，也可以為一元一次方程，這是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方.

環(huán)節(jié)4：討論方程根的情況

問(wèn)題4：討論：一元二次方程xk-4x+2=0的根的情況.

生14：因?yàn)榉匠虨橐辉畏匠蹋詋的值只能為2，當(dāng)k=2時(shí)，Δ=42-4×1×2=8>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

變式1：討論：一元二次方程xk-4x+2k=0的根的情況.

生15：因?yàn)榉匠虨橐辉畏匠蹋詋的值只能為2，當(dāng)k=2時(shí)，原方程為x2-4x+4=0，Δ=42-4×1×2×2=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

變式2：討論：一元二次方程xk-2x+4k=0的根的情況.

生16：因?yàn)榉匠虨橐辉畏匠?，所以k的值只能為2，當(dāng)k=2時(shí)，原方程為x2-2x+8=0，Δ=22-4×1×4×2=-28<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

【設(shè)計(jì)意圖】在這組問(wèn)題中，通過(guò)字母k的位置先是移到指數(shù)上，再添加到常數(shù)項(xiàng)上，同時(shí)數(shù)字系數(shù)的不同變化，增加了問(wèn)題的難度，由簡(jiǎn)單變復(fù)雜，由淺入深，思維量逐步加強(qiáng)，思考問(wèn)題的維度越來(lái)越多.

五、設(shè)計(jì)說(shuō)明

1.問(wèn)題提出

一般情況下，章節(jié)復(fù)習(xí)通常是先簡(jiǎn)單梳理一下本章的知識(shí)點(diǎn)，如本章主要學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的應(yīng)用，然后通過(guò)一些典型例題的講解，引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，查漏補(bǔ)缺.多數(shù)學(xué)生認(rèn)為都是自己學(xué)過(guò)的知識(shí)，學(xué)得缺乏激情，沒(méi)有挑戰(zhàn)性，像是“吃剩飯”，枯躁無(wú)味，流于應(yīng)付.學(xué)生學(xué)得很煩，老師上得也累，效果往往不理想.究其原因，我們想主要是多數(shù)教師把復(fù)習(xí)課定位在“鞏固知識(shí)、提高技能”上，很少關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解及內(nèi)在聯(lián)系的梳理，更不存在更新和重組.這樣定位體現(xiàn)不出數(shù)學(xué)教育的人文性和價(jià)值性，不利于學(xué)生整體能力的發(fā)展.

2.問(wèn)題解決

我們提倡“點(diǎn)線”教學(xué)方式來(lái)實(shí)踐數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)，以達(dá)到“辭舊迎新”的效果.即一節(jié)復(fù)習(xí)課可以抓住某個(gè)知識(shí)要點(diǎn)，設(shè)計(jì)出典型的問(wèn)題線，把分散在各處的點(diǎn)狀知識(shí)，按某一知識(shí)線，將其整合成一個(gè)關(guān)聯(lián)的有機(jī)面，讓知識(shí)“內(nèi)熔”化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.這里的“點(diǎn)”不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)，也是引出問(wèn)題的源點(diǎn)，展開(kāi)問(wèn)題的切入點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)的變化與延伸，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，在活動(dòng)中將知識(shí)點(diǎn)串成線，構(gòu)造成線狀的問(wèn)題鏈，其中以知識(shí)點(diǎn)的變化為教學(xué)中明線，數(shù)學(xué)思想方法的提煉為暗線，這里的“線”就是某一知識(shí)線、方法線、思想線，按照這樣的線索，將零散在各處的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)“線”的延伸變化，重新整合，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題及數(shù)學(xué)本質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)豐滿起來(lái).通過(guò)“點(diǎn)線”教學(xué)使學(xué)生明白了知識(shí)之間的聯(lián)系，橫向的，縱向的，學(xué)生所看到的不再是孤立的知識(shí)點(diǎn)，在新授課中看到只是一棵棵小樹(shù)苗，通過(guò)章節(jié)復(fù)習(xí)后則看到是一片片森林.“點(diǎn)線”教學(xué)通過(guò)系列問(wèn)題的解決，重在重新建構(gòu)知識(shí)體系，做到在教學(xué)中“提供情境，提出問(wèn)題，提取方法，提煉思想，從而達(dá)到提升能力”這一要求.

例如，在這節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，就是以“當(dāng)k為何值時(shí)？方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”為問(wèn)題的切入點(diǎn)，知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，將字母k分別置于一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，二次項(xiàng)，指數(shù)等不同位置，再由一個(gè)k值到兩個(gè)k值的變化，將一元二次方程這一章的教學(xué)內(nèi)容打亂重整，以k的位置與數(shù)量的變化為明線，以復(fù)習(xí)一元二次方程知識(shí)，提煉數(shù)學(xué)思想方法為暗線，重新梳理知識(shí)，重新建構(gòu)知識(shí)板塊，問(wèn)題設(shè)計(jì)也是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，思維量由少到多，以點(diǎn)代面，復(fù)習(xí)一元二次方程相關(guān)知識(shí)，在解題過(guò)程，注重?cái)?shù)學(xué)方法總結(jié)提取，數(shù)學(xué)思想的提煉，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力得以提升.

通過(guò)這種教學(xué)方法，復(fù)習(xí)課以某一個(gè)問(wèn)題、一道題目、一個(gè)圖形為切入點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上引伸、拓展，首先要求教師要能深入研究教材，整體把控初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重新梳理，重新整合，學(xué)會(huì)從不同的視角把握教材.而學(xué)生不再把復(fù)習(xí)課當(dāng)作“燙剩飯”，不再是一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)的回顧，一道道例題的講解，而是從一個(gè)新的話題談起，以全新的角度重新審視學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容形成新的知識(shí)建構(gòu)，極大地豐富了數(shù)學(xué)知識(shí)，形成了枝繁葉茂、姹紫嫣紅的知識(shí)樹(shù)，學(xué)會(huì)了從不同的角度思考問(wèn)題，不同的方法解決問(wèn)題，課堂不再枯躁無(wú)味，像新授課一樣充滿新鮮感，充滿好奇心，充滿探究的欲望.