王錦根

【摘要】通過相鄰關(guān)系存在區(qū)域多少，證明四色猜想成立.

【關(guān)鍵詞】四色猜想；圖論

一、概念

地圖四色定理（Fourcolortheorem）最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英國大學生提出來的.四色問題的內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色.”用數(shù)學語言表示即“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1234這四個數(shù)字之一來標記而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字.”這里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的.如果兩個區(qū)域只相遇于一點或有限多點就不叫相鄰的.也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行

區(qū)域顏色

A色1

B色2

C色3

D色4

…………

二、初探及證明

在平面或地圖中，至少需要幾種顏色（簡稱“幾色”）標注具有共同邊界的區(qū)域或國家.如果數(shù)個區(qū)域任意兩個均不相鄰，則依舊可用單色（一色）標識，如在地圖中，我們?nèi)芜x一種顏色，當我們將其他顏色抹去后，將會發(fā)現(xiàn)它們互不相鄰.所以，相互相鄰的區(qū)域多少，決定了顏色的多少.我們可以從最少數(shù)量拓展.

定理1在平面中，相互相鄰區(qū)域的多少，決定了顏色的多少.

性質(zhì)1數(shù)個互不相鄰的區(qū)域，可以采用單色標記.

注：A，B，C，D，…，表示區(qū)域名稱，此時A，B，C，D可以同色.

性質(zhì)2如果兩個區(qū)域相鄰，則可以兩色標記.

性質(zhì)3如果三個區(qū)域相互相鄰（即任兩個區(qū)域相鄰），則可以用三色標記.

由于A，B，C三個區(qū)域相互相鄰，則A，B，C三個區(qū)域按照平面上的點來計，則形成封閉的三角形，那么第4塊區(qū)域怎么與A，B，C相鄰呢？

設(shè)第四塊區(qū)域D.

1.如果D不能同時與A，B，C相鄰，則色數(shù)不增加.假如D不能與C相鄰，則D，C可采用同一色.

2.如果D同時與A，B，C相鄰，在平面（地圖）中，則D必處A，B，C相鄰圖的中心或外圍.

（1）當D處于A，B，C相鄰中心時，則D被A，B，C包圍（與外界隔離），似乎增加D區(qū)域，標記為色4，但A，B，C，D區(qū)域外的區(qū)域仍可以利用色4標記，色4成了其他（向外擴展）區(qū)域的機動色（即：可以再次使用或標記），無需增加色5.形象地說，當一色被隔離（“死亡”）后，它可以在隨后的其他地方“復活”.四色定理從這點理解應該是“3+1”色，這個“1”表示為可再次使用的顏色，即在四色中，向外拓展時，有一種顏色可以再次使用，那就是這個“1”色.

（2）當D與相鄰的A，B，C外圍相鄰時，雖然用色4標記，這是至少有一色被D區(qū)域“與世隔絕”，當E區(qū)域標記時，被隔離的一色可以與區(qū)域E同色.同樣，四色定理可以理解為“3+1”定理，無需增加色5.

定理2在平面中，相互相鄰區(qū)域的最多為4.

所以在地圖（平面圖）顏色標記中，當三個區(qū)域相鄰時，每增加1個區(qū)域（顏色）與三個區(qū)域相鄰時，雖然增加1個顏色，達到四色，但同時必有“1”或以上被“隔離”而被再次使用，“3+‘1-1+1-……”如此循環(huán)不斷下去，始終不會超過四種顏色.

綜上所證，在平面或地圖中，各區(qū)域顏色標記可以用“3+‘1-1+1…”或“3+1”顏色標記，即四色猜想（定理）成立.

【參考文獻】

[1]張文忠.數(shù)園擷英[J].科學普及出版社，1983.