楊雯靖

【摘要】針對(duì)第二類曲面積分這一高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的難點(diǎn)，研究了利用分面投影法、高斯公式以及兩類曲面積分的聯(lián)系等方法來計(jì)算第二類曲面積分，為高等數(shù)學(xué)課程中關(guān)于曲面積分概念的教學(xué)研究與改革提供一些參考.

【關(guān)鍵詞】第二類曲面積分；投影；高斯公式

第二類曲面積分也稱為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，它的計(jì)算問題是一個(gè)綜合性的微積分問題，涉及有向曲面的側(cè)與法向量、有向曲面的投影、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、二重積分、三重積分、第一類曲面積分以及高斯公式等內(nèi)容，在計(jì)算時(shí)既要考慮被積函數(shù)的特征、積分曲面及其投影區(qū)域的形狀，又要注意曲面的側(cè)，一直是高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的難點(diǎn).本文討論第二類曲面積分的計(jì)算方法，并舉例說明使用不同方法的特點(diǎn)，從而為高等數(shù)學(xué)課程中關(guān)于曲面積分概念的教學(xué)研究與改革提供一些參考.

一、分面投影法

分面投影法即直接將積分曲面分別投影到不同的坐標(biāo)面上，從而把曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)

利用高斯公式計(jì)算曲面積分，必須滿足高斯公式的條件.要注意有向曲面的側(cè)，當(dāng)積分曲面∑不封閉時(shí)，需補(bǔ)充使之成為封閉曲面.如果在Ω內(nèi)有使P，Q，R的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的奇點(diǎn)，一般應(yīng)先補(bǔ)充輔助曲面挖去奇點(diǎn)，然后再用高斯公式.此方法適用于組合型的曲面積分，積分曲面∑封閉，且被積函數(shù)Px+Qy+Rz的形式比較簡單的情形.

三、利用兩類曲面積分的聯(lián)系

對(duì)于組合型的曲面積分，還可以考慮利用兩類曲面積分的聯(lián)系，將第二類曲面積分化為第一類曲面積分來計(jì)算，這時(shí)要注意有向曲面∑在點(diǎn)（x，y，z）處的法向量的方向余弦與曲面的側(cè)的關(guān)系.如果函數(shù)P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在有向光滑曲面∑上連續(xù)，則

∑Pdydz+Qdzdz+Rdxdy=∑（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS，

其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面∑在點(diǎn)（x，y，z）處的法向量的方向余弦.

解法3上例中，積分曲面∑：x2+y2+z2=R2，x≥0，y≥0，z≥0，且取外側(cè)，所以

四、結(jié)語

理解并掌握有向曲面的法向量、投影等概念是計(jì)算第二類曲面積分的關(guān)鍵.在計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)和積分曲面的特點(diǎn)選擇合適的方法.對(duì)于組合型的曲面積分，一般先考慮能否用高斯公式，或者判斷能否利用兩類曲面積分的聯(lián)系，然后再考慮直接的投影法，這樣才能掌握第二類曲面積分的計(jì)算方法.

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