薛堯

【摘要】二分法悖論是將事物或者形成一分為二，永遠取中間的一種做法或說法.這種說法從理論上來說是成立的，但是從事情的本身結果來說又是站不住腳跟的，就是一件事物或者路程，按這種說法永遠沒有結果或者終點，但是事實是相悖的.

【關鍵詞】二分發(fā)；數學；悖論

二分法悖論是古希臘哲學家芝諾提出的著名悖論，這個悖論說，一個人從A地出發(fā)去往B地，他要先到達AB的中點，然后到達剩余路程的中點，接著再到達剩余路程的中點……依次下去無窮無盡，所以這個人永遠無法到達B地.這是一個典型的悖論，在實際生活中肯定不存在，但是芝諾的推理似乎又是如此的雄辯有力，無任何的理論可駁.那么我們該如何去看待呢？

一、不同的角度呈現不同的真實

愛因斯坦曾經說過，“真理可能不只是一種形態(tài)，不同的角度呈現不同的真實”，就像在人嘴里十分好吃的水果，在小狗的嘴中可能并非如此.所以角度不同，事物呈現不同的真實，不應該肯定一方完全否定另一方.

數學中我們學過分類討論的思想，這個方法可以解決“這個水果是否好吃”這個問題，同樣，我們也用分類討論思想思考二分法悖論.

二、考察二分法悖論

一個人從A地出發(fā)去往B地，他要先到達AB的中點，然后到達剩余路程的中點，接著再到達剩余路程的中點……，那么這個人是否可以到達B地？

這里我們默認時間是均勻變化的，假設AB兩地的距離為1.

1.如果這個人是勻速運動，且速度為1，那么他從A到B所需要的總時間是12+122+123+...它等于1，所以他可以到達B地.

2.如果這個人不是勻速的，假設他從起點到達第一個中點所需要的時間，等于第一個中點到第二個中點所需要的時間，等于第二個中點到第四個中點等等，依次類推都等于1.我們知道，第n-1個中點到第n個中點的速度為vn=1n，所以當n趨于無窮大時，速度為0，則這個人到不了B地.

從以上兩個例子可以看出，二分法悖論也并不是一概的都不能應用于現實生活當中，在一定的條件下它是可以應用的，只不過它對于條件的要求非常的苛刻.所以說不管是任何事物他都會呈現多面性，在不同的角度用不同的方法去做，那么結果就有很大的差別性.

三、舉例再分析

通過以上的對比我們可以看出二分法悖論的特殊性，那么為了更清楚這兩個分類方式意義，我們再進行一些討論.

1.第一種方式說明有些無窮問題是可以用有限值進行度量的.

比如在幾何概型中，雖然基本事件是無限多個，但我們仍可以用測度來計算事件發(fā)生的概率.同樣，點P從數軸0點移動到3點，雖然經過了無數個實數，但點P的運動長度仍可以計算，因為運動長度是單位長度的3倍，所以我們稱P的運動長度為3.那么也就是說，點P的運動軌跡和長度都是一定的，無論你怎么去分，最后的結果都是一樣的.

結合這個例子，我們可以說，一個人從A地出發(fā)去往B地，在不減速的情況下，他是可以到達B地的，這件事情的完成，不論你是如何分步的.

2.第二種方式說明如果我們只考慮如何分步操作，有限事件也可以永遠完成不了.

在幾何概型中，如果向正方形內隨機投點，則點落在一條對角線上的概率為0，這里會有人覺得比較奇怪，覺得不是0.這個錯覺出現的主要原因是將數學上的抽象推理與生活中的實際狀況混為一談，數學是生產生活的抽象提升，不等同于生產生活的真實狀況，這種差別有時候不被放大，有時候會被放大，這時常會產生悖論，也就是說我們在現實生活的操控中，一個物體或者一件事物是允許出現單一性的，就像我剛才舉的例子投點的錯覺，那么在現實的操作中會不會出現所有的點都落在一條對角線上呢，其實答案應該是肯定的，只不過概率較低罷了，但是通過大家的想象力去想想大家會認為這種情況不會出現，所以感覺他的概率為0，所以說這就是產生悖論的根由所在.

例如，在用自然數計數時，數學和實際是完全吻合的，沒有差別.當我們計算長度，面積，體積時，數學和實際常有誤差，不過人們都能接受，不會引起悖論.也就是說，人們所能接受的誤差程度和計算結果和事實之間的誤差能夠得到大家的認可，大家不去追究.那么當誤差大的時候人們就不能夠接受了，但是計算的結果又是正確的，這個時候就會出現悖論.所以二分悖論在現在的數學領域還是能夠有所應用的.

但是數學的發(fā)展已超出人們的想象，在很多數學領域中，人們的實際生活體驗和數學體驗混合在一起，出現悖論也是常有的事情了.

四、如何看待悖論

悖論經常是在條件不明的情況下出現的，所以如果正確取舍條件，在特定的視角下，所謂的悖論就可以判斷真假了.

另外悖論經常是混淆理論和實際而產生的，畢達哥拉斯學派否認無理數存在，羅素質疑集合論基礎，近代人質疑微積分基礎都是因此而產生.