章輝梁

【摘要】留數(shù)定理在積分的計(jì)算中，一直起著十分重要的作用.本文主要采用留數(shù)定理來計(jì)算歐拉積分，從而使歐拉積分的計(jì)算更加快捷簡便，起到化繁為簡的作用.

【關(guān)鍵詞】留數(shù)定理；留數(shù)；歐拉積分

一、預(yù)備知識

1.留數(shù)定理

為復(fù)平面上的有界區(qū)域，設(shè)函數(shù)在內(nèi)除了有孤立的奇點(diǎn)z1，z2，...，zn外，在每一點(diǎn)上面都解析，并且在在L上的每一點(diǎn)都解析上的每一點(diǎn)都解析，因此有∫cf（z）dz=2πi∑nk=1Res（f，zk），這里的沿的積分是由區(qū)域P的正向取的.

2.留數(shù)計(jì)算

首先考慮下一階極點(diǎn)的情況；設(shè)z0為函數(shù)h（z）的一個一階的極點(diǎn).即，在去掉中心點(diǎn)z0的圓盤內(nèi)（z≠z0），h（z）=1z-z0ψ（z），其ψ（z）該圓盤內(nèi)包括在z-z0上解析，它的泰勒展式為：ψ（z）=∑+∞n=0αn（z-z0）n，且α0=ψ（z0）≠0.于是，在函數(shù)h（z）的洛朗級數(shù)里，1z-z0的系數(shù)為ψ（z0）.因此可以得出Res（f，z0）=lim（z-z0）f（z）.

現(xiàn)在采用其他的方法求留數(shù).如果在上面所述的去掉中心z0的圓盤中（z≠z0），，其中P（z）和Q（z）在這個圓盤里面包括在z=z0上解析，P（z0）≠0，z0為函數(shù)Q（z）的一階零點(diǎn)，且Q（z）在該圓盤里面沒有其他的零點(diǎn)，那么z0是函數(shù)h（z）的一階的極點(diǎn)，由于

Res（h，z0）=limz→z0（z-z0）h（z）=limz→z0（z-z0）P（z）Q（z）-Q（z0）=P（z0）Q′（z0）.

接著繼續(xù)考慮高階極點(diǎn)的情況，設(shè)z0為函數(shù)h（z）的一個k階的極點(diǎn)（k>1）.即，在去掉的中心z0的圓盤上（z≠z0），h（z）=φ（z）（z-z0）k，φ（z）在該圓盤上面包括在z≠z0上解析，且φ（z）≠0.在該圓盤上，所以有Res（f，z0）=αz-1，因此可以把問題化成為求φ（z）的泰勒展式系數(shù).否則還需要用另一種方法求留數(shù).在此也可用公式計(jì)算Res（h，z0）：Res（h，z0）=1（k-1）！limz→z0dk-1[（z-z0）kh（z）]dzz-1.

二、計(jì)算歐拉積分

1.歐拉積分的轉(zhuǎn)化

函數(shù)由積分（歐拉）Γ（z）=∫∞0e-ttz-1dt來定義，這里積分沿著正半軸來取.該積分對于在右半平面Rez>0上的所有的點(diǎn)z都是絕對收斂，又e-ttz-1=e-ttx-1，且為一個解析的函數(shù)，再進(jìn)行積分路線的形變.

不放考慮函數(shù)F（z）=∫Ce-ζζ-1dζ，在此，可以將積分沿著周線C取值，C為正半軸上的割痕的兩岸和圓周ζ=r組成.接著再將ζ-1寫出函數(shù)e（z-1）lnζ，lnζ為對數(shù)上的一個分支，對此分支0

令其割痕上岸為ζ=t，且令其下岸為ζ=te2πi，因此可以將F（z）表示為：

F（z）=∫Ⅰ+∫Cr+∫Ⅱ=（e2πiz-1）∫∞r(nóng)e-ttz-1dt+∫CRe-ζζ-1dζ.

在cr上，有ζ=reiφ，e-ζζ-1=e-rcosφe（x-1）lnr-φy

由此可以推出：∫Cr0，而當(dāng)r→0時(shí)∫Cr→0.由此可得當(dāng)Rez>0時(shí)，可以取r→0時(shí)的極限.

根據(jù)定義可以得到：

F（z）=（e2πiz-1）∫∞0e-ttz-1dt=（e2πiz-1）Γ（z）（當(dāng)Rez≤0時(shí)，該極限過程是不合法的）.這樣，可以得到函數(shù)：

Γ（z）=1e2πiz-1∫Ce-ζζz-1dζ.

2.歐拉積分的計(jì)算舉例

例1計(jì)算I=∫+∞0xα-1（1+x）dx，其中0<α<1

解

考慮函數(shù)f（z）=zα-11+z，該函數(shù)為多值函數(shù)，其支點(diǎn)是0和∞，它由0沿著正實(shí)軸方向到∞點(diǎn)割破的z平面上的可以分成單值的分支，再選取由支割線上岸AB：z=x（r≤x≤R）.

經(jīng)過圓弧CR：z=Reiθ（0≤θ≤2π），沿著支割線下岸A′B′：z=xe2πi的反方向，再經(jīng)過圓弧Cr：z=reiθ（0≤θ≤2π）的反向回到A的積分路徑C圍成的區(qū)域內(nèi)只有一個一階極點(diǎn)z=-1，Resz=-1f（z）=-eαπi.

由留數(shù)定理得

結(jié)論

在計(jì)算歐拉積分的過程中，歐拉積分的一致收斂問題可能經(jīng)常要被檢驗(yàn)，還有時(shí)可能需要引入?yún)?shù)變量、要將歐拉積分在積分號下進(jìn)行求導(dǎo)等等.用這些方法計(jì)算過程顯得十分繁瑣.因此本文引進(jìn)留數(shù)定理，用留數(shù)定理來計(jì)算歐拉積分.這樣能夠大大簡化我們的計(jì)算.