張愛琴

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃在現(xiàn)實(shí)生活中有一定的應(yīng)用價(jià)值，一是改進(jìn)技術(shù)，改善生產(chǎn)工藝；二是改進(jìn)計(jì)劃與生產(chǎn)組織，在一定條件下合理安排人力物力等資源，使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好.而高中數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問(wèn)題，一般是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，它是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要內(nèi)容之一，它不但能解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題而且常在高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)、數(shù)列、解幾及向量等知識(shí)交匯處出現(xiàn)，具有應(yīng)用的多樣性，下面對(duì)平時(shí)教學(xué)中在各知識(shí)塊中出現(xiàn)的線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行分類和剖析，這不但能掌握一些應(yīng)用線性規(guī)劃解決數(shù)學(xué)中問(wèn)題的方法與技巧，而且能拓展我們的數(shù)學(xué)思維.

一、線性規(guī)劃在函數(shù)中的應(yīng)用

例1設(shè)實(shí)數(shù)n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0對(duì)任意x∈[-4，2]都成立，則m4-n4m3n的最小值為.

分析由題中條件可得關(guān)于m，n的不等式組，由此聯(lián)想到線性規(guī)劃知識(shí)求得nm的范圍，再求m4-n4m3n的最小值.

圖1

解設(shè)函數(shù)f（x）=2xm+（2-x）n-8=（2m-n）x+2n-8，由題意知f（-4）≥0，f（2）≥0，即4m-3n+4≤0，m≥2，n≤6.

作出關(guān)于m，n的平面可行域如圖1所示.可求B72，6，C（2，6），nm表示平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍，又kOB=127，kOC=3，所以nm的范圍為127，3.m4-n4m3n=mn-nm3，令nm=t，通過(guò)求函數(shù)g（t）=1t-t3127≤t≤3的導(dǎo)數(shù)可知此函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)t=3時(shí)函數(shù)g（t）=1t-t3的最小值為-803.

二、線性規(guī)劃在解析幾何中的應(yīng)用

例2若方程x2a2+y2b2=1，a∈[1，5]，b∈[2，4]表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率不大于32的橢圓，則z=a+b的最小值為.

分析本題是與橢圓相結(jié)合求最值的問(wèn)題，由于變量a，b有二個(gè)直接條件，二個(gè)間接條件，因此此條件可以看作是關(guān)于a，b的線性約束條件.

圖2

解因?yàn)殡x心率小于32，所以ba=a2-c2a2=1-e2≥12.由此可得1≤a≤5，2≤b≤5，ba≥12，a>b.作出可行域可得z=a+b的最小值為4.

當(dāng)然在解析幾何中除了在橢圓中的應(yīng)用外更多的是用斜率模型和距離模型等幾何意義去求最值.

三、線性規(guī)劃在數(shù)列中的應(yīng)用

例3等比數(shù)列{an}中的各項(xiàng)均為正數(shù)，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，則a4的取值范圍為.

分析根據(jù)題中的條件，由等比數(shù)列定義將條件化為關(guān)于a1與q的不等式組，由此聯(lián)想到運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)解決問(wèn)題.因此，將所得的不等式組中的每一個(gè)不等式兩邊都取常用對(duì)數(shù)，得到關(guān)于lga1和lgq的一次不等式組，換元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到關(guān)于x、y的二次一次不等式組，作出可行域，即可得到a4的取值范圍.

圖3

解設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意，得a1≥1，a1q≤2，a1q2≥3.∴各不等式的兩邊取常用對(duì)數(shù)，得lga1≥0，lga1+lgq≤lg2，lga1+2lgq≥lg3.令lga1=x，lgq=y，lga4=t.

將不等式組化為x≥0，x+y≤lg2，x+2y≥lg3，作出以上不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖3的△ABC及其內(nèi)部其中A（0，lg2），B（2lg2-lg3，lg3-lg2），直線l：t=x+3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，t=3lg2取得最大值；當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，t=-lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈-lg2+2lg3，3lg2，即lga4∈lg92，lg8，由此可得a4的取值范圍是92，8.

例4數(shù)列{an}為等差數(shù)列，已知首項(xiàng)a1>0，公差d>0，若a1+a2≤60，a2+a3≤100，則5a1+a5的最大值為.

分析由等差數(shù)列的定義將題中的不等式化為關(guān)于a1和d的不等式組，由此聯(lián)想到運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)來(lái)解決此問(wèn)題.

圖4

解將題中的不等式轉(zhuǎn)化為2a1+d≤60，2a1+3d≤100，a1>0，d>0，令z=5a1+a5=6a1+4d，作出關(guān)于a1和d的可行域，直線l：6a1+4d=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)可求出其最大值，5a1+a5的最大值為200.

四、線性規(guī)劃在向量中的應(yīng)用

圖5

例5如圖5所示，正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為2，動(dòng)圓Q的圓心在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)圓Q的半徑為1，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量AP=mAB+nAF（m，n為實(shí)數(shù)），則m+n的取值范圍為.

分析點(diǎn)P在動(dòng)圓Q區(qū)域內(nèi)移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在直線BF上時(shí)，由于點(diǎn)B、P、F共線，所以m+n=1，平移直線BF與點(diǎn)P所在區(qū)域相交可得最大值和最小值.

解連接BF，當(dāng)點(diǎn)P在直線BF上時(shí)m+n=1，平移直線BF與圓C相切于G，由圖形知G為BC中點(diǎn)，此時(shí)直線GH經(jīng)過(guò)中心O，向量AO=AF+AB，所以m+n=2，再平移直線BF與圓D相切于T，由圖可知點(diǎn)T在直線AD上，向量AT=52AO，此時(shí)m+n=5，所以m+n的取值范圍為[2，5].

與向量有關(guān)的線性規(guī)劃問(wèn)題，一般情況要與向量的數(shù)量積綜合出題，這屬于一種新題型，有一定的綜合性，解決這類問(wèn)題需要對(duì)向量的知識(shí)十分熟悉.

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題在高考中常有出現(xiàn)，不但有一定的實(shí)用價(jià)值，而且因?yàn)樗芸疾橹R(shí)點(diǎn)，尤其是在近幾年課改區(qū)的高考試題中年年必考，隨著新課標(biāo)理念的深入，線性規(guī)劃不僅僅是考查簡(jiǎn)單的求目標(biāo)函數(shù)最值的問(wèn)題，它能和高中數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)結(jié)合起來(lái)一同考查，當(dāng)線性規(guī)劃的知識(shí)和其他知識(shí)結(jié)合時(shí)它將更加靈活、新穎、實(shí)用性更強(qiáng).無(wú)論怎樣我們主要把握住以下三點(diǎn)：1.解線性規(guī)劃問(wèn)題關(guān)鍵根據(jù)約束條件作出可行域，所以作圖應(yīng)該盡可能準(zhǔn)確，圖上操作應(yīng)該盡可能規(guī)范；2.要對(duì)數(shù)學(xué)模塊知識(shí)理解深刻且了解模塊與模塊之間的深層聯(lián)系才能準(zhǔn)確地應(yīng)用線性規(guī)劃知識(shí)解決；3.要在平時(shí)學(xué)習(xí)中不斷總結(jié)、歸納和積累.