孟艷

【摘要】波動(dòng)方程是波動(dòng)傳播過(guò)程中，介質(zhì)中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)物理特性的數(shù)學(xué)描述。非線性作用是介質(zhì)的一種固有屬性，與衰減作用類似，在波動(dòng)傳播的過(guò)程中改變波源的振動(dòng)波形。通過(guò)對(duì)波動(dòng)方程的非線性仿真，為進(jìn)一步的研究波的非線性特性提供了基礎(chǔ)

【關(guān)鍵詞】波動(dòng)方程 非線性 仿真

一、引言

非線性現(xiàn)象是指波在傳播過(guò)程中，產(chǎn)生波源整數(shù)倍的高次頻率，非線性是傳播介質(zhì)的基本特性。 本文以三維Westervelt波動(dòng)方程為基礎(chǔ)， 利用其時(shí)間域有限微分解， 通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真的方式，完成對(duì)波動(dòng)場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)的波動(dòng)仿真， 為仿真研究非線性特性提供基礎(chǔ)。

二、非線性波動(dòng)方程的數(shù)值解

常見波動(dòng)方程都是非常復(fù)雜的偏微分方程，其中聲場(chǎng)描述參數(shù)聲壓p是一個(gè)與時(shí)空都有關(guān)系的物理量，在笛卡爾坐標(biāo)系下可以表示為：P（x，y，z，t）。時(shí)域有限微分法的基本思想是使用微分替換方程中的導(dǎo)數(shù)，將未知的時(shí)間空間變量用已知時(shí)間或者空間變量表達(dá)。通過(guò)不斷的重復(fù)，計(jì)算時(shí)間和空間上未來(lái)的結(jié)果。

為了研究方便，我們首先將Westervelt方程在一維坐標(biāo)下展開化簡(jiǎn)為僅含對(duì)p的偏導(dǎo)數(shù)，其中拉普拉斯算子定義為空間的偏導(dǎo)數(shù)：

對(duì)于 的導(dǎo)數(shù)，代入Westervelt方程得到：

上式中包含壓強(qiáng)P在時(shí)間和空間上的偏導(dǎo)數(shù)，在時(shí)間t區(qū)間內(nèi)，振動(dòng)的函數(shù)。每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn) 代表了t時(shí)刻，x軸上的坐標(biāo)點(diǎn)i的壓強(qiáng)。 的一階導(dǎo)數(shù)表示為：

使用上面的微分形式替換導(dǎo)數(shù)形式，可以獲得 的精度，其中h為時(shí)間或空間的步長(zhǎng)。上面兩個(gè)公式中時(shí)間和空間步長(zhǎng)都為1。從上面的兩個(gè)公式可以化解出：

從上面兩個(gè)公式可以看出，空間上點(diǎn)i+1在時(shí)間t的值可以通過(guò)上一空間點(diǎn)（i-1）以及點(diǎn)i處的導(dǎo)數(shù)獲得。在給定初始條件 條件下，使用前一個(gè)公式在x軸方向上計(jì)算下一個(gè)坐標(biāo)位置的值，使用后一個(gè)公式計(jì)算t+1時(shí)刻的坐標(biāo)值，這樣在x-t平面延伸，最后獲得x軸方向上，t時(shí)間區(qū)間內(nèi)，所有的點(diǎn)的壓強(qiáng)。

三、仿真結(jié)果

從公式可以看出，非線性系數(shù)和液體黏滯系數(shù)分別作用到不同的壓強(qiáng)分量上，我們可以將β與η分別設(shè)置為0來(lái)研究衰減和非線性對(duì)波動(dòng)傳播的影響。

首先我們以人體組織介質(zhì)的物理參數(shù)值作為模擬的基礎(chǔ)，假設(shè)x方向的長(zhǎng)度為200 ，在100 處放置一個(gè)振源，振源的激勵(lì)波為：

我們首先假設(shè)介質(zhì)黏滯系數(shù)η及非線性系數(shù)β都為0，使用FDTD計(jì)算波動(dòng)在x軸方向傳播。經(jīng)過(guò)400 時(shí)刻后，x軸方向上質(zhì)點(diǎn)的振幅如圖4.1所示：

對(duì)比圖4.1中波形可以看出，在線性介質(zhì)中，波動(dòng)波形能夠保持振源振動(dòng)波形的光滑特性，但是，在非線性介質(zhì)中，質(zhì)點(diǎn)壓縮周期的斜率高于線性作用下的傳播。下面，我們對(duì)比非線性介質(zhì)與線性介質(zhì)中，距離振源長(zhǎng)度為10 和20 處，質(zhì)點(diǎn)在[0，400 ]時(shí)間周期內(nèi)，振動(dòng)的波形曲線和頻譜曲線。

線性介質(zhì)中傳播的質(zhì)點(diǎn)先到達(dá)最大距離。由于距離的導(dǎo)數(shù)是速度，那么，從振動(dòng)曲線的斜率可以看出質(zhì)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)時(shí)間區(qū)間內(nèi)振動(dòng)的速度。也就是說(shuō)，在非線性介質(zhì)中，時(shí)間區(qū)域[100，150]，[250，350]內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度大于線性介質(zhì)。這與非線性產(chǎn)生的物理解釋完全吻合。

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