周新偉 吳利華

解析幾何大題是高考的必考內(nèi)容，更是學(xué)生難以突破的一大瓶頸。歷年來(lái)關(guān)于解析幾何大題的研究論文可謂汗牛充棟，解析幾何大題的研究趨勢(shì)也從宏觀走向微觀，粗放走向集約。但在這轉(zhuǎn)變過(guò)程中也出現(xiàn)了過(guò)于追求枝節(jié)或過(guò)于程式化的傾向，忽視了解析幾何學(xué)科思想的滲透，降低了解析幾何研究應(yīng)有的高度。筆者以常見(jiàn)于報(bào)端的“設(shè)而不求”與“設(shè)而求之”為例加以說(shuō)明。

一、載體

本文選擇2011年江蘇高考第18題作為研究載體，她結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而內(nèi)蘊(yùn)豐富，選擇多樣而繁簡(jiǎn)有別，被譽(yù)為最具解析幾何味道的試題，曾連續(xù)三年（2012、2013、2014）入選《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）說(shuō)明》之典型題示例，指引著江蘇高考解析幾何大題的考查方向。

題目：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓—+—=1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k。

（1）當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值;

（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d;

（3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB。

二、殊途

1.途徑一——“設(shè)而求之”

解析幾何中，坐標(biāo)系的建立，實(shí)現(xiàn)了作為幾何圖形的基本元素點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即建立了點(diǎn)用數(shù)表示的規(guī)則，找到了將所有的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的“主導(dǎo)參數(shù)”（即點(diǎn)的坐標(biāo)），因此，就提供了把所有的幾何問(wèn)題無(wú)一例外地轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的可能。

所以將點(diǎn)的坐標(biāo)用“主導(dǎo)參數(shù)” 以“顯性”的方式加以表達(dá)是突破解析幾何大題最常用的策略，“求交點(diǎn)”成為整個(gè)解題過(guò)程的主旋律。

解：（1）（2）答案從略。

（3）將直線PA的方程y=kx代入—+—=1，解得x=±—。

記μ=—，則P（μ，kμ），A（-μ，-μk）。

于是C（μ，0），從而直線AB的方程為y=—（x-μ）。

代入橢圓方程得（2+k2）x2-2μk2x-μ2（3k2+2）=0，

解得x=—或x=-μ，故B（—，—）。

于是直線PB的斜率

k1=—=—

=-—，

得k1k=-1。

故PA⊥PB。

2.途徑二——“設(shè)而不求”

“設(shè)而求之”固然是突破解析幾何大題的基本思路，但有時(shí)“求交點(diǎn)”比較繁瑣甚至不可操作，此時(shí)應(yīng)考慮先將該點(diǎn)（如點(diǎn)）坐標(biāo)“隱性”地設(shè)出來(lái)，再用“結(jié)合關(guān)系”列出約束條件，將圖形條件化為代數(shù)條件，另在目標(biāo)的引導(dǎo)下合理處理方程（組），以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的。

解：（1）（2）答案從略。

（3）由題意設(shè)P（x0，y0），A（-x0，-y0），B（x1，y1）則C（x0，0）。

∵A、C、B三點(diǎn)共線，∴—= —=—……①

又因?yàn)辄c(diǎn)P、B在橢圓上，

∴—+—=1，……②

—+—=1，……③

②-③得：kPB=—=-—。

∴kPA·kPB=—[-—]=-—·—=-1。

∴PA⊥PB。

三、同歸

上述兩種解題策略表面上看相距迢迢，其實(shí)它們形異質(zhì)同、殊途同歸。

考察①②③三個(gè)方程，若設(shè)k=—，將方程①③聯(lián)列即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（—，—），進(jìn)而得到kPB·kPA=-1，故有PA⊥PB，這一證明過(guò)程即為“設(shè)而求之”，需要學(xué)生對(duì)運(yùn)算有鍥而不舍的精神。“設(shè)而不求”則是將方程②③聯(lián)列，得到目標(biāo)中kPB的表達(dá)式，再結(jié)合方程①整體消去x0，y0，x1，x1。這一過(guò)程的實(shí)現(xiàn)往往需要目標(biāo)的引導(dǎo)，需要一定的代數(shù)變形技巧和強(qiáng)大的運(yùn)算自信。

由此可見(jiàn)，“設(shè)而求之”與“設(shè)而不求”并無(wú)本質(zhì)上的差別，兩者僅是方程（組）處理的順序和消元的方式不同，前者相當(dāng)于代入消元，后者相當(dāng)于整體消元。

解析幾何給幾何研究提供了一個(gè)新方法，其方法論價(jià)值遠(yuǎn)高于其本身，“這個(gè)方法的實(shí)質(zhì)，在于用某種標(biāo)準(zhǔn)的方式把方程（方程組）同幾何對(duì)象（即圖形）相對(duì)應(yīng)，使得圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來(lái)?！币虼?，滲透解析幾何學(xué)科思想乃是學(xué)科教學(xué)之道。在日常教學(xué)研究中應(yīng)避免發(fā)生因?yàn)檠芯繉?duì)象復(fù)雜，抑或過(guò)分追求程式化，引起很多枝節(jié)，從而淹沒(méi)了基本方法的現(xiàn)象，這也正是笛卡爾留給我們的一個(gè)教訓(xùn)。 （他就是因?yàn)橹v了很多復(fù)雜的作圖題，把他的關(guān)于解析幾何的基本思想淹沒(méi)了。）

參考文獻(xiàn)：

[1]（美）莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（二）[M].朱學(xué)遠(yuǎn)，等譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2007.

[2]李鐵安，宋乃慶.高中解析幾何教學(xué)策略——數(shù)學(xué)史的視角[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（02）：90—94.

（作者單位：江蘇省天一中學(xué)）