徐瑾

致力于培養(yǎng)全體學生合乎邏輯的主動的積極向上的思維能力是高中數(shù)學課堂教學的重要目的之一，也是教師本著“學生為主體”的思想，提高課堂的整體教學質(zhì)量，發(fā)展全體學生智能的重要手段。

直覺猜想是創(chuàng)造性思維的一種形式，是用已掌握的知識作為基礎(chǔ)，溝通具體事物和抽象思維，從而揭示問題的本質(zhì)，使“直觀感覺”向“抽象思維”躍進，找到解題路徑。所謂直覺猜想是指：在解決問題時，根據(jù)題目的條件、結(jié)論、類型，人憑借直觀感覺而產(chǎn)生的一系列想法，如：該問題能否用這種方法解決？該問題與我解過的某問題很相似，能否用解決那個問題的方法來解決？該問題屬于某種類型的問題，能否用其基本性質(zhì)或特定解法來解決？……

在日常教學活動中，按其培養(yǎng)鍛煉學生目的或教學目的的不同可以分為三類：

①多向性猜想（一題多解）；

②溝通性猜想（等價轉(zhuǎn)化思想）；

③多題同解的猜想。

下面通過一些具體實例加以說明。

①多向性猜想

要培養(yǎng)學生直覺思維能力，教師應具備敏捷的思維、全面的知識、豐富的經(jīng)驗，本身不滿足于一條解題思路，善于鼓勵學生從各個方面、各個角度大膽猜想，開拓思路，促使學生將知識真正學活。教師長期堅持不懈的進行這種訓練，可使學生提高解題能力，從而進一步提高自身分析問題、解決問題的能力，真正適應社會發(fā)展的需要。

例1、如圖：橢圓 + =1（ ）的切線與兩坐標軸交于A、B兩點，求△OAB面積的最小值。

分析1：

此題屬于最值問題，而我們熟悉的最值問題中二次函數(shù)的最值是最常見問題，能否用二次函數(shù)的最值加以解決？

解：設(shè)切點P（x0，y0），由橢圓的對稱性不妨設(shè)x0，y0 R+，

則切線方程為 ，

故A（ ，0），B（0， ），

S△OAB= = ※

由于點P在橢圓上則有： ，得：y0=

代入※式得到：S△OAB=

令 =t （0

則欲使S△OAB最小，只要 最大，即 最大。

設(shè)f（t）= （0

分析2：

該問題能否用求函數(shù)最值的其它方法解？如：特殊不等式。

解：由分析1：S△OAB= = 且 ，

欲使S△OAB最小，只要 最大

由： ≤ ，

得： ≤ɑb（當且僅當 時取等號），

所以：S△OAB≥ɑb。

分析3：

此題能否用三角函數(shù)的有界性解？

解：設(shè) （θ∈（0， ）），

S△OAB= = ，（當且僅當 時取等號）。

分析4：

此題是直線與橢圓位置關(guān)系問題（直線為動直線），能否用直線的斜率作為參數(shù)來解？

解：設(shè)∠OAB=θ，直線的斜率為：k=tg（π-θ）

切線AB方程為：y= ，

即：S△OAB= ，下略。

通過該問題的解決，可以使學生對數(shù)學問題具有較全面細致的了解，同時對已學過的基本解題方法進一步加深認識，從而開拓了學生的視野，對分析解決問題能力的提高也是一種難得的鍛煉。

②溝通性猜想

溝通性猜想是從已知事物聯(lián)想另一未知事物的心理過程，該猜想具備橋梁作用，它能把許多形式相似，內(nèi)容相近的問題互相溝通：數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化……都是很好的例子。

例2：已知△ABC中，求證：對任意實數(shù)m，不等式：msinA+（1-m）sinB>m（1-m）sinC恒成立。

分析：若從三角函數(shù)入手，此題很難處理，但仔細觀察不等式，實際上它是關(guān)于m的二次不等式。

解：原式等價于：m2sinC+m（sinA-sinB-sinC）+sinB>0對任意m恒成立。

設(shè)f（m）=m2sinC+m（sinA-sinB-sinC）+sinB ※，

由△ABC知：A、B、C∈（0，π），且A+B+C=π

所以：sinC>0；sinB>0；sinA>0；sinA+sinB>sinC；sinA+sinC>sinB；sinB+sinC>sinA

Δ=（sinA-sinB-sinC）2-4sinBsinC

=（sinA-sinB）2-2sinC（sinA-sinB）+（sinC）2-4sinBsinC

=（sinA-sinB）2+sinC[-2（sinA-sinB）+sinC-4sinB]

=（sinA-sinB）2+sinC[sinC-2（sinA+sinB）]

<（sinA-sinB）2+sinC（sinC-2sinC）

=（sinA-sinB）2-（sinC）2

=（sinA-sinB+simC）（sinA-sinB-simC）<0

③多題同解的猜想

數(shù)學問題千變?nèi)f化，但萬變不離其宗：基本概念、基本方法。教師要想幫助學生脫離“題海”，要想減輕學生負擔，要想提高教學質(zhì)量，就必須在講解數(shù)學中的基本概念、基本方法、基本性質(zhì)、基本公式時善于將知識在深度和廣度上加以拓展，深入挖掘，舉一反三，觸類旁通。特別是在復習階段更要運用類比的方法，對具有相同特征的題形或盡管屬性不同，但可互相轉(zhuǎn)化的問題加以系統(tǒng)歸納、整理，從而培養(yǎng)學生的直觀思維能力，提高分析問題，解決問題的能力。

如代數(shù)中的系列問題：

⑴、若A、B為銳角，且（1+tgA）（1+tgB）=2，求證：A+B=450；

⑵、求證：tg200+tg400+ tg200tg400=

⑶、求證：tg3 -tg2 -tg =tg3 ·tg2 ·tg ；

⑷、在△ABC中，求證：tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC

⑸、在△ABC中，求證：tg ·tg +tg ·tg +tg ·tg =1；

⑹、設(shè)xy+yz+zx=1，求證：

上述問題從表面上看各不相同，但它們具備共同的特征：使用公式：tg（A+B）= ，或者其變形式加以解決，形成了典型的多題同解現(xiàn)象。

總之，直覺猜想對學生解題能力的提高，學習習慣的養(yǎng)成，學習興趣的提升都有十分重要的意義。教師應善于鼓勵學生進行科學的大膽猜想，努力提升學生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力，從而提高教學質(zhì)量，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，實現(xiàn)“素質(zhì)教育”的遠大目標。