陳吉讀

摘 要：當(dāng)前學(xué)生解題遇到的困惑是：“看看容易，解解費(fèi)力，想想有趣，功夫還差一點(diǎn)點(diǎn)”.面對(duì)試題命制的背景源，提出了教師在進(jìn)行教材例習(xí)題教學(xué)要有反思提煉、穿越組合、探究開發(fā)三意識(shí)，充分挖掘教材中例習(xí)題的內(nèi)在“潛能”及教學(xué)價(jià)值.

關(guān)鍵詞：試題背景源；教材例習(xí)題；教學(xué)意識(shí)

我們都知道質(zhì)量高的練習(xí)題或高考題很多背景源都是來自教材例習(xí)題，可學(xué)生面對(duì)這樣的試題總是“解解費(fèi)力，想想有趣，解不出怨自己” ，造成這種局面的原因其實(shí)是在老師身上.首先，我們?cè)诟咭?、二年新課教學(xué)時(shí)為了趕進(jìn)度，能給高三年留下更多的總復(fù)習(xí)時(shí)間，對(duì)教材中的部分例習(xí)題，沒有真正地去挖掘其蘊(yùn)含的知識(shí)，總是一語帶過，甚至視而不見，干脆不講.可以說有部分老師備課時(shí)根本沒有真正地備教材習(xí)題，沒有真正發(fā)揮教材例習(xí)題應(yīng)有的功能，舍本求未，把經(jīng)過專家團(tuán)隊(duì)精選的教材中例習(xí)題，晾在一邊，或者對(duì)教材不理解或理解不透徹.盲目崇拜，迷戀課輔習(xí)題，大搞題海戰(zhàn)術(shù)！把自已的學(xué)生搞累搞暈，最后得到的卻是事倍功半的教學(xué)效果.其次，有些老師選題隨意，就題論題，缺乏規(guī)劃，缺乏一定的目標(biāo)意識(shí)和專業(yè)高度，題目是否精彩或自己是否喜愛，缺乏一種提煉意識(shí)和學(xué)科的深度，缺乏對(duì)問題的探究，缺乏對(duì)例習(xí)題講解后的反思與提煉.

教材中許多例題和習(xí)題是經(jīng)過專家團(tuán)隊(duì)精選的，都能反映相關(guān)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想和思維方法，具有典型的范例作用，極具“開采”價(jià)值.因此，教師必須具有反思提煉、穿越組合、探究開發(fā)靈活處理教材例習(xí)題的三意識(shí).

1 教材例習(xí)題教學(xué)要有反思提煉意識(shí)

教師在解題教學(xué)中，不應(yīng)局限于課本知識(shí)的狹窄領(lǐng)域里.應(yīng)該在學(xué)生初步理解與掌握基本知識(shí)和技能后，創(chuàng)設(shè)有利情景，常抓變式訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生類比遷移，歸納總結(jié)，促進(jìn)知識(shí)的系統(tǒng)化，提煉解決某一同類問題的基本方法.

例1 （2010福建高考理科17） 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與其的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

本題背景源是人教社高中A版《選修2-1》第47頁例7 ：已知橢圓，直線14x+5y+40=0，橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線的距離最??？最小距離是多少？

這兩題的解題要素相同：①平行直線； ②判別式； ③距離公式.教學(xué)時(shí)，我們?nèi)绻芡ㄟ^講解后的反思與提煉，將此類問題提煉成一個(gè)新概念——在數(shù)學(xué)上，可以定義曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為曲線到直線的距離； 并把解決此類問題的思路提煉成一般的方法：用切線法求曲線到直線的距離（或最大值）.那么學(xué)生遇到此類問題就能輕車熟路，迎刃而解了.

2 教材例習(xí)題教學(xué)要有穿越組合意識(shí)

要實(shí)現(xiàn)例習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)教師應(yīng)具有穿越組合意識(shí)：從學(xué)科的高度審視原問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法與思想的前后貫通，首尾呼應(yīng).

例2 （2014年龍巖市質(zhì)檢15）將函數(shù)y=的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后可得到雙曲線x2-y2=2.據(jù)此，類比推理得函數(shù)y=的圖象的焦距為 .

分析：本題背景源是人教社《高中A版必修4》第三章平面向量（第113頁）習(xí)題B組第3題 ：已知對(duì)任意平面向量=（x，y），繞著點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角后，得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把B點(diǎn)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P ，（1）已知平面內(nèi)一點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（1+，2-），把點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后得到點(diǎn)的軌跡是曲線x2-y2=1，求曲線C的方程.

本題數(shù)學(xué)本質(zhì)是解析幾何中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式；作用是讓學(xué)生除了會(huì)做些向量基本運(yùn)算外，還對(duì)選修系列4中的《矩陣與變換》中坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式有個(gè)初步印象.教學(xué)時(shí)，學(xué)生肯定會(huì)對(duì)這個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式怎么來產(chǎn)生疑問.這時(shí)作為老師在講解此題時(shí)就要用心多花些時(shí)間，揪住這樣難得的素材，用系統(tǒng)性和前瞻性，也就是穿越與組合意識(shí)，不但要利用三角函數(shù)的定義結(jié)合向量知識(shí)簡(jiǎn)單推導(dǎo)一下這個(gè)公式的由來，同時(shí)還可以設(shè)計(jì)如下的相應(yīng)問題：

問題1 初中學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)y=（k≠0），其圖象是雙曲線，在高中我們又學(xué)習(xí)過雙曲線的定義，方程為=1（a>0，b>0），那么這兩種雙曲線是否一致，如何證明你的判斷呢？

問題2 設(shè)反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后，得到的點(diǎn)的軌跡顯然是高中學(xué)過的等軸雙曲線，那么你能求出其方程（方程式）、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱軸、漸進(jìn)線方程等等嗎？

問題3 雙曲線的許多性質(zhì)應(yīng)該也一樣適用反比例函數(shù)，你能說出幾條？

通過這樣對(duì)教材例習(xí)題穿越組合，我們就真正實(shí)現(xiàn)了例習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法與思想的前后貫通，首尾呼應(yīng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的連續(xù)性.

3 教材例習(xí)題教學(xué)要有探究開發(fā)意識(shí)

教材中有許多極具開發(fā)價(jià)值的例習(xí)題，教師要根據(jù)教學(xué)的要求和學(xué)生的實(shí)際，將這些例習(xí)題進(jìn)一步探究開發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生多方位，多角度地思考，對(duì)新產(chǎn)生的問題探求答案，強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

例3 （2009高考北京卷理16） 如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.

（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的大?。?/p>

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由.

本題背景源（必修2第57頁習(xí)題1-2B第8題）： 如圖2所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點(diǎn).求證：BC⊥平面PAC.

教師教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比圖形，明確位置關(guān)系，可設(shè)計(jì)如下問題引導(dǎo)學(xué)生觀察：

（1）四面體P-ABC四個(gè)面的形狀；（2）有無線面垂直？（3）可否指出側(cè)面間及側(cè)面與底面間的二面角的平面角；（4）有無公垂線段？（5）四面體P-ABC可否補(bǔ)成一個(gè)熟知的幾何體？由此圖形引申出的部分習(xí)題歸納如下：設(shè)AC=a，BC=b，PA=c.

（1）求三棱錐P-ABC的全面積和體積；（2）求PA與BC的距離；（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離；（4）求AC與PB所成的角；（5）當(dāng)b=c時(shí)，求AC與PB兩直線間的距離；（6）求二面角C-PB-A的余弦值；（7）若∠CAB=α，二面角C-PA-B=β，∠PBA=30°，問點(diǎn)C位于何處時(shí)，三棱錐P-ABC的體積最大？

總之，教材中可以做類似處理的題目比比皆是，以上所列舉的試題背景都源自教材例習(xí)題.在全面推進(jìn)課程改革的今天，教學(xué)中教師應(yīng)增強(qiáng)上述對(duì)教材例習(xí)題合理處理的意識(shí)，善于捕捉課本中典型例習(xí)題的求解信息加以研究，挖掘好它的潛在功能，從而提高教材例習(xí)題教學(xué)的有效性.這樣不僅有利于減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，擺脫題海的困擾，同時(shí)也有利于提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.