蔡芝明，金家善，陳硯橋，倪 何，魏曙寰

（海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院，湖北武漢430033）

多約束下編隊(duì)隨船備件配置優(yōu)化方法

蔡芝明，金家善，陳硯橋，倪 何，魏曙寰

（海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院，湖北武漢430033）

針對艦艇編隊(duì)備件配置方案的確定需要綜合考慮多項(xiàng)約束指標(biāo)因素的特點(diǎn)，以編隊(duì)出海執(zhí)行任務(wù)準(zhǔn)備階段備件配置為研究背景，以艦船載荷、排水量及保障費(fèi)用為約束條件，構(gòu)建了以編隊(duì)備件保障概率為目標(biāo)函數(shù)的編隊(duì)隨艦備件庫存優(yōu)化模型，應(yīng)用拉格朗日乘子法及邊際效應(yīng)法原理給出了編隊(duì)隨船備件庫存模型計(jì)算及優(yōu)化流程，并運(yùn)用罰函數(shù)原理對保障資源約束因子進(jìn)行了確定及動態(tài)調(diào)整。最后，通過案例分析驗(yàn)證了本文提出的方法能夠?yàn)榻鉀Q多約束下編隊(duì)隨船備件配置優(yōu)化問題提供新的途徑。

編隊(duì)；多約束；備件；備件保障概率；配置優(yōu)化；邊際效應(yīng)法；拉格朗日乘子

0 引 言

備件資源是影響編隊(duì)系統(tǒng)備件保障概率的關(guān)鍵因素，平時影響裝備完好率，戰(zhàn)時影響編隊(duì)任務(wù)成功率，隨著裝備復(fù)雜程度的提高，備件數(shù)量、種類及費(fèi)用需求也隨之增加，在編隊(duì)出海執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)之前需要對編隊(duì)備件攜帶方案進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到在滿足多個約束指標(biāo)的前提下，尋求多約束下編隊(duì)最優(yōu)備件配置方案。

編隊(duì)隨船備件配置好壞與否對艦船海上自主保障能力有很大影響，合理規(guī)劃編隊(duì)隨船備件配置方案是提高艦船裝備海上自我保障能力的關(guān)鍵，在艦船出海執(zhí)行任務(wù)準(zhǔn)備階段，由于受保障費(fèi)用、艙室空間、排水量及載荷的限制，編隊(duì)艦船備件配置需要綜合考慮多項(xiàng)約束條件，如備件的費(fèi)用、質(zhì)量、體積等，在滿足多項(xiàng)約束的情況下，如何使編隊(duì)備件保障概率最大。自1968年Sherbrooke提出經(jīng)典的備件保障理論［1］以來，國內(nèi)外一些學(xué)者對備件保障理論進(jìn)行了大量的研究，文獻(xiàn)［2- 3］將METRIC模型理論應(yīng)用于海軍艦艇裝備，建立多級備件庫存模型；文獻(xiàn)［4- 5］在備件體積、質(zhì)量等約束下，對航空備件的配置優(yōu)化問題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［6- 7］建立了多約束下以艦載裝備維修級別優(yōu)化模型及費(fèi)效比為目標(biāo)的多約束優(yōu)化模型；文獻(xiàn)［8］建立了以備件體積、質(zhì)量為約束條件的備件庫存優(yōu)化模型及優(yōu)化算法；文獻(xiàn)［9］以備件體積及費(fèi)用為約束條件對艦艇隨船備件配置方案進(jìn)行了優(yōu)化；文獻(xiàn)［10］引入指標(biāo)權(quán)重，在優(yōu)化過程中對各指標(biāo)權(quán)重進(jìn)行反復(fù)調(diào)整，從而最終確定方案。從以上文獻(xiàn)可以看出，一方面，多約束下隨船備件配置優(yōu)化問題是研究的熱點(diǎn)，同時也是難點(diǎn)；另一方面，目前研究對象集中在單艦多約束備件配置優(yōu)化問題，而對艦艇編隊(duì)器材配置的研究比較少，艦艇編隊(duì)已經(jīng)成為目前海軍作戰(zhàn)艦艇的主要作戰(zhàn)形式，顯然編隊(duì)備件配置并不是單艦備件配置方案簡單的疊加，其備件配置的好壞與否將直接影響整個艦艇編隊(duì)任務(wù)成功率。

在隨船備件配置中一個非常重要的問題就是如何在艦船有效的載荷、排水量及保障費(fèi)用約束下確定備件攜帶方案，使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)，已經(jīng)有很多學(xué)者對此問題進(jìn)行了相關(guān)研究。在相關(guān)研究［1116］中給出了裝備在不同目標(biāo)函數(shù)下的備件配置最優(yōu)方案。然而通過對上述文獻(xiàn)分析可知，在絕大多數(shù)的備件庫存模型中，目標(biāo)函數(shù)要么是延期交貨量，要么是使用可用度，平均等待時間及費(fèi)效比，很少有模型是以裝備備件保障概率作為優(yōu)化目標(biāo)。上述目標(biāo)函數(shù)在應(yīng)用時出現(xiàn)如下問題：首先，在隨船備件庫存實(shí)際管理中無論是備件平均等待時間、費(fèi)效比還是延期交貨量都是管理部門難以把握和掌控的；其次，上述目標(biāo)函數(shù)影響因素很多，備件只是其中一個。同時，在國內(nèi)無論是裝備實(shí)際使用部門還是裝備的研制單位絕大部分都將備件保障概率作為確定備件種類及數(shù)量的指標(biāo)需要，然而現(xiàn)有多約束下編隊(duì)備件保障概率模型比較少，不能建立多約束下編隊(duì)備件品種及數(shù)量與編隊(duì)備件保障概率之間的權(quán)衡關(guān)系，很難使編隊(duì)備件保障概率具有較高的費(fèi)效比。因此，本文在參考上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，針對編隊(duì)隨船備件配置的特點(diǎn)，提出了多約束下的編隊(duì)備件保障概率模型，通過引入拉格朗日乘子法，將備件費(fèi)用、體積和質(zhì)量約束轉(zhuǎn)化為保障資源約束因子，提出了保障資源約束因子確定及動態(tài)調(diào)整的方法并通過案例分析驗(yàn)證了方法的有效性及模型的合理性，該方法的應(yīng)用能夠?yàn)榻鉀Q多約束條件下的隨船備件配置提供一種新的途徑。

1 多約束下編隊(duì)隨船備件庫存模型建立

1.1 目標(biāo)函數(shù)

備件保障概率是指在規(guī)定保障時間內(nèi)，現(xiàn)存量可以滿足需求的百分比，其值大小與備件的庫存量及備件故障率密切相關(guān)。船上電子器件，如電阻、晶體二極管、耦合器、放大器、保險絲等，這些都是壽命服從指數(shù)分布的電子器件，計(jì)算保障概率Psi的公式是一致的，即

式中，L為備件數(shù)量；Ni為備件i（i＝1，2，…，I）的單機(jī)安裝數(shù)；λi為某項(xiàng)零備件故障率；s為裝備中某備件的備件需求量；ti為備件供應(yīng)周期。

隨船攜帶的備件按其所屬的層次不同，可分為故障現(xiàn)場可更換單元（line-replaceable unit，LRU）和車間可更換單元（shop-replaceable unit，SRU）［17］。LRUi的年平均維修更換率［18］為式中，i為裝備所屬備件編號；DCi為占空比，表示備件i運(yùn)行時間占裝備運(yùn)行時間的百分比，代表了備件在所屬裝備上的工作強(qiáng)度；RIPi為故障備件原位維修率；L為裝備配置數(shù)量；MTBFi為備件i的平均故障間隔時間；RtOKi為備件i的重測完好率。根據(jù)裝備故障樹，裝備母體的故障率由其所屬分備件的故障率決定，設(shè)母體LRUi的發(fā)生故障是由SRUk故障導(dǎo)致的概率為Pik， 則SRUk的故障率λk

［19］為

其中

式中，Nk為分備件SRUk在其母體LRUi中的單機(jī)安裝數(shù)。把式（4）代入式（3），得

假設(shè)編號為i的備件保障概率為Psi，則某船備件保障概率Psj為

式中，psj為系統(tǒng)備件保障概率；psc為需求的備件存放在船上的概率；psd為假定在給定的條件下，要求的備件存放在船上且可以取到的概率。

式中，λT為系統(tǒng)總的故障率。

依據(jù)式（6）～式（8），計(jì)算得到單船系統(tǒng)備件保障概率公式，即

依據(jù)式（9），在不考慮串件拼修的情況下，將編隊(duì)各艦船看成一個大的系統(tǒng)，計(jì)算得到編隊(duì)備件保障概率為

式中，Nj為編隊(duì)第j種艦船的數(shù)量，其中

1.2 約束條件

考慮到艦船編隊(duì)攜帶能力、倉庫空間和保障經(jīng)費(fèi)的限制，編隊(duì)隨船備件保障概率問題可以表述為給定空間、質(zhì)量和費(fèi)用約束下，通過選擇不同品種及數(shù)量的備件，使得系統(tǒng)備件保障概率Ps最優(yōu)。編隊(duì)隨船攜帶備件所占用空間必須小于事先給定的編隊(duì)倉庫總空間指標(biāo)，即

式中，vij為第j個船備件i的體積；VT為事先給定的編隊(duì)倉庫空間指標(biāo)。

編隊(duì)隨船攜帶備件所需保障費(fèi)用的總和必須小于事先給定的編隊(duì)保障經(jīng)費(fèi)指標(biāo)，即

式中，cij為第j個船備件i的費(fèi)用；CT為事先給定的編隊(duì)保障經(jīng)費(fèi)指標(biāo)。

編隊(duì)隨船攜帶備件質(zhì)量的總和必須小于事先給定的編隊(duì)質(zhì)量指標(biāo)，即

式中，mij為第j個船備件i的質(zhì)量；MT為事先給定的編隊(duì)倉庫質(zhì)量指標(biāo)。

1.3 模型的建立

考慮到載荷、費(fèi)用及存儲空間的限制，將這些限制條件作為約束條件，建模的基本思想是把上述3個約束條件轉(zhuǎn)換為保障資源約束因子，通過引入拉格朗日約束因子及罰函數(shù)，動態(tài)更新保障資源約束因子，運(yùn)用邊際效應(yīng)分析法，在滿足所有約束指標(biāo)的基礎(chǔ)之上，求得編隊(duì)備件保障概率總和最優(yōu)的隨船備件配置方案。所建模型如下：

2 模型求解方法

步驟1 從式（9）、式（10）、式（11）及式（15）可以看出，編隊(duì)備件保障概率模型涉及的約束和變量較多，引入拉格朗日乘子松弛部分或全部約束，將備件質(zhì)量、體積和費(fèi)用約束統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為保障資源約束，即

式中，Zij為備件i的保障資源約束；λm為質(zhì)量因子；λv為體積因子；λc為費(fèi)用因子。

步驟2 將備件質(zhì)量、體積和費(fèi)用約束統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為備件保障資源約束Zij后，因隨船備件保障概率psi為保障資源約束因子zij的函數(shù)，則隨船備件保障概率可表示為

對式（16）兩邊取對數(shù)，得

步驟3 即使P屬于泊松分布，式（17）括號內(nèi)的累積概率分布也不是凸函數(shù)，不能用邊際效應(yīng)法進(jìn)行分析，但當(dāng)式（18）右邊概率分布服從二項(xiàng)分布、泊松分布或負(fù)二項(xiàng)分布時，上述累積的概率的對數(shù)屬于凸函數(shù)，于是就可以利用邊際效應(yīng)分析法求得最優(yōu)庫存量，當(dāng)前備件保障資源約束組合為

步驟4 對式（18）做一階差分，此時邊際增量為

步驟5 依據(jù)式（20），計(jì)算得到邊際效應(yīng)值（用Δ表示），即

在每一列中選擇Δ值最大的備件，去掉已選的Δ值，對剩下各Δ列的Δ值進(jìn)行比較，選擇其中Δ值最高的備件，依次類推，直到約束條件不滿足要求時停止。

步驟6 計(jì)算此時其他約束條件值，判斷是否超過事先給定的指標(biāo)，若沒超過，則該方案可行；反之，需要更新保障資源約束因子，依據(jù)式（16）計(jì)算得到新的保障資源約束因子為

步驟7 依據(jù)式（20）計(jì)算得到邊際效應(yīng)增量，即

步驟8 重復(fù)步驟6和步驟7，直到得到可行方案時停止。

3 保障資源約束的確定、動態(tài)調(diào)整及模型優(yōu)化

模型在計(jì)算之前，首先需要確定質(zhì)量因子λm、體積因子λv和費(fèi)用因子λc的初值，其中質(zhì)量、體積和費(fèi)用約束采用相對權(quán)重，即設(shè)定其中一個約束為1，求出另外兩個約束的相對權(quán)重，依據(jù)式（16）求出備件保障資源約束因子。

方案1 當(dāng)不考慮備件的體積及質(zhì)量約束時，令λv＝0，λm＝0，λc＝1。

步驟1 依據(jù)式（20）計(jì)算得到1組備件庫存方案，即

步驟2 依據(jù)方案sc0，計(jì)算該方案下的備件質(zhì)量、體積和費(fèi)用，分別記為M（sc0）、V（sc0）、C（sc0），依據(jù)M（sc0）、V（sc0）、C（sc0）來確定初始拉格朗日乘子λcv0、λcm0、zci0，即

步驟3 依據(jù)式（15）及式（24）計(jì)算得到保障資源約束因子為

步驟4 依據(jù)式（20），式（22）及式（23）重新計(jì)算得到一組備件保障方案為

步驟5 若該方案所對應(yīng)的備件庫存總體積超過了設(shè)定的指標(biāo)V時，需要增加λcv，以形成懲罰因子；同理，若對應(yīng)的備件庫存總質(zhì)量超過了設(shè)定的指標(biāo)M時，需要增加λcm，以形成懲罰因子，其增量具體計(jì)算方法為

步驟6 如果得到的備件庫存方案所對應(yīng)的體積或質(zhì)量仍然超過了設(shè)定的約束條件時，可在當(dāng)前約束因子的基礎(chǔ)之上，通過式（23）及式（25）對其進(jìn)行動態(tài)更新和調(diào)整。

在既定的多約束條件下，還有可能會出現(xiàn)一種情況，即無論怎么調(diào)整約束因子的數(shù)值，都不能找到一組滿足所有約束條件的備件庫存保障方案，在此情況下，需要重新設(shè)定約束條件，可適當(dāng)增加質(zhì)量指標(biāo)M、體積指標(biāo)V或者費(fèi)用指標(biāo)C。

方案2 當(dāng)不考慮備件費(fèi)用和質(zhì)量約束時，即λc＝0，λm＝0，λv＝1。

計(jì)算步驟同上。

方案3 當(dāng)不考慮備件體積和費(fèi)用約束時，即λv＝0，λc＝0，λm＝1。

計(jì)算步驟同上。

方案4 當(dāng)不考慮質(zhì)量和體積約束，僅考慮費(fèi)用約束，運(yùn)用邊際效應(yīng)法求僅在費(fèi)用約束下的最優(yōu)備件攜帶方案。

方案5 當(dāng)不考慮費(fèi)用和體積約束，僅考慮質(zhì)量約束，運(yùn)用邊際效應(yīng)法求僅在質(zhì)量約束下的最優(yōu)備件攜帶方案。

方案6 當(dāng)不考慮費(fèi)用和質(zhì)量約束，僅考慮體積約束，運(yùn)用邊際效應(yīng)法求僅在體積約束下的最優(yōu)備件攜帶方案。

4 案例分析

編隊(duì)三艘同類艦船出海執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)，出海執(zhí)行任務(wù)之前需要對編隊(duì)備件配置進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到在有限的費(fèi)用、載荷及空間約束下使編隊(duì)備件保障概率最優(yōu)，同時保證艦船在執(zhí)行任務(wù)的過程中有充足的備件可用于故障維修。該類艦船的備件清單及相關(guān)參數(shù)見表1所示，在實(shí)裝數(shù)據(jù)中，該類艦船備件清單包含400多項(xiàng)備件，出于對方法介紹的目的及篇幅限制，文中不能將所有備件全部列出，因此，表1只列舉了該類艦船的一些關(guān)鍵性設(shè)備，并對相關(guān)屬性值進(jìn)行了一些適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，但分析該類問題的方法是一致的。

表1 裝備備件清單及相關(guān)參數(shù)

依據(jù)表1給的備件清單及相關(guān)參數(shù)，按文中模型給定的步驟進(jìn)行計(jì)算，限于篇幅原因這里不再詳細(xì)敘述，同時編隊(duì)同類艦船之間攜帶有差異的備件數(shù)量和總的備件攜帶量相比可以忽略不計(jì)，計(jì)算得到不同約束條件下的備件配置最優(yōu)方案如表2所示。

根據(jù)表2的結(jié)果，依據(jù)式（9）及式（10）得到6個方案下所對應(yīng)保障概率如表3所示。裝備備件費(fèi)用指標(biāo)為41．25萬元，質(zhì)量指標(biāo)為410 kg，體積指標(biāo)為16．85 m3，在這6種方案中，方案4：備件質(zhì)量為420．97 kg，顯然超過了給定的約束值，不符合要求，方案不予以采用：方案5：備件費(fèi)用為42．7萬元，顯然超過了給定的約束值，不符合要求，方案不予以采用；方案6：備件費(fèi)用42．9萬元，質(zhì)量為443．1 kg，顯然都超過了給定的約束值，不符合要求，方案不予以采用；只有方案1、2和3滿足所有約束條件，在這滿足約束條件的3個方案中，方案1、2和3的備件保障概率都為88．01%。因此，方案1、2和3其中任何一個都可作為最優(yōu)方案。從表1～表3中可以看出。

（1）只考慮單個約束條件而不考慮其余兩個約束條件的方案4、5及6比考慮多個約束的方案1、2及3的系統(tǒng)備件保障概率值要大，但并不滿足約束指標(biāo)要求，這從另一個方面驗(yàn)證了研究多約束下編隊(duì)備件配件優(yōu)化的重要性；

表2 不同約束條件下的最優(yōu)備件攜帶方案

表3 不同約束條件下備件方案結(jié)果

（2）方案4、5及6備件保障概率和備件攜帶方案相同，但計(jì)算的過程并不相同，這只是一種“特殊”情況，經(jīng)計(jì)算證明當(dāng)約束指標(biāo)值改變時，方案4、5及6的備件攜帶方案都不相同；

（3）顯然，編隊(duì)備件配置最優(yōu)方案并不是單艦最優(yōu)配置方案的簡單的組合疊加，需要綜合權(quán)衡多種約束條件，依據(jù)文中模型計(jì)算得到。

不同約束條件下的備件最優(yōu)配置曲線如圖1～圖6所示。

圖1 費(fèi)用約束下的最優(yōu)保障概率曲線

從上述6個方案的備件保障概率曲線圖可以看出：

（1）備件保障概率關(guān)系曲線上的各個離散點(diǎn)是既定約束條件下的最優(yōu)備件保障概率，且等同于該保障概率條件下最低指標(biāo)值；

圖2 質(zhì)量約束下的最優(yōu)保障概率曲線

圖3 體積約束下的最優(yōu)保障概率曲線

圖4 多約束下的最優(yōu)保障概率曲線（方案1）

圖5 多約束下的最優(yōu)保障概率曲線（方案2）

圖6 多約束下的最優(yōu)保障概率曲線（方案3）

（2）依備件保障概率變化曲線，能夠?yàn)闆Q策者制定決策及設(shè)定各個指標(biāo)范圍提供依據(jù)。例如，以圖4為例，當(dāng)編隊(duì)備件保障概率達(dá)到80．18%時，備件總費(fèi)用為33．5萬元，因此設(shè)定的費(fèi)用約束必須滿足C≥33.5萬元，若給定的費(fèi)用小于33.5萬元時，必須相應(yīng)降低備件保障概率指標(biāo)Ps來滿足費(fèi)用約束要求。

5 結(jié) 論

本文針對編隊(duì)出海執(zhí)行任務(wù)準(zhǔn)備階段備件配置優(yōu)化問題進(jìn)行了研究，在備件質(zhì)量、費(fèi)用和體積約束下，通過引入拉格朗日資源約束因子，建立了多約束下編隊(duì)備件保障概率模型，并對模型進(jìn)行了優(yōu)化和驗(yàn)證。出于對方法介紹的目的，文中對備件的一些相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了調(diào)整，但分析該類問題的方法是一致的，本文模型不僅適用于海軍艦艇編隊(duì)備件配置優(yōu)化問題，而且對于空軍裝備、航空航天裝備、陸軍集群裝備等領(lǐng)域同樣具有一定的參考意義。

在實(shí)際工程運(yùn)用中，隨著編隊(duì)艦船數(shù)量的增加，系統(tǒng)復(fù)雜性、備件攜帶數(shù)量和種類也會隨之增加，采用邊際效應(yīng)法計(jì)算所用時間較長，對于價格較低但需求量較大的備件，可采用遺傳算法和免疫算法等進(jìn)行優(yōu)化；另外，編隊(duì)系統(tǒng)裝備備件保障概率不僅與備件攜帶量有關(guān)，還與任務(wù)強(qiáng)度以及備件的維修特性等相關(guān)，在今后的工作和學(xué)習(xí)中，還需針對上述問題進(jìn)行更進(jìn)一步的研究。

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Warship formation spare parts allotment optimization method under multi-constraints

CAI Zhi-ming，JIN Jia-shan，CHEN Yan-qiao，NI He，WEI Shu-huan
（College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

The multi-constraints index is synthetically considered to confirm the spare parts configuration optimization project for the warship formation．This paper takes the warship formation carrying out the spare parts configuration optimization at the mission preparation stage before sailing as a research background．The warship formation carrying ability，storage space and support cost adopted as multi-constraints，an optimized model of the warship formation spare support probability is built．Lagrange and marginal algorithm are applied to building the warship spare parts allotment optimization model and process optimization，and the resource factors are confirmed and dynamically updated．Finally，in the given example，the calculated result is analyzed，and the feasibility of the proposed method is verified．

warship formation；multi-constraints；spare parts；spare support probability；allotment optimization；marginal analysis；Lagrange

TJ 83；U 662．1

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．18

蔡芝明（1984-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)榕灤瑒恿盁崃ο到y(tǒng)的科學(xué)管理。E-mail：caizhiming1984＠163．com

金家善（1962-），男，教授，博導(dǎo)，主要研究方向?yàn)榕灤瑒恿盁崃ο到y(tǒng)的科學(xué)管理、裝備綜合保障和動力工程。E-mail：jinjiashan401＠163．com

陳硯橋（1978-），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)檠b備維修保障。E-mail：chen_yanqiao＠163．com

倪 何（1982 ），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)闊崃ο到y(tǒng)設(shè)計(jì)、優(yōu)化和仿真。E-mail：elegance＠sina．com

魏曙寰（1981 ），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)榕炌аb備綜合保障。E-mail：weishuhuan＠hotmail．com

1001-506X（2015）04-0838-07

2014- 05- 14；

2014- 07- 01；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 09- 28。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140928．1625．015．html

中國博士后科學(xué)基金（2013 T60921）；海軍工程大學(xué)自然科學(xué)基金（HGDQNEQJJ13006）資助課題