查 翔，倪世宏，謝 川，張 鵬

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038）

基于不確定性描述的云化Markov鏈狀態(tài)預(yù)測方法

查 翔，倪世宏，謝 川，張 鵬

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038）

針對Markov鏈在預(yù)測概率發(fā)生跳變時無法有效地衡量樣本歸屬程度的問題，提出一種云化Markov鏈的狀態(tài)預(yù)測方法，通過云模型描述和處理樣本的不確定性。該方法將劃分的狀態(tài)區(qū)間視作一種概念，利用云模型對其進(jìn)行云化表示，據(jù)此計算樣本對各概念的確定度，得到概念之間的概率轉(zhuǎn)移矩陣，從而實現(xiàn)帶有隨機(jī)特性的狀態(tài)預(yù)測。概念轉(zhuǎn)移概率作為關(guān)鍵隨機(jī)變量，對其進(jìn)行了核密度估計。最后以多次隨機(jī)實驗的概率和提取代表性轉(zhuǎn)移概率分別給出了仿真實驗結(jié)果，表明該不確定性描述的預(yù)測方法在解決Markov鏈預(yù)測概率跳變現(xiàn)象的同時，可通過確定度的分配有效地表述樣本的歸屬程度，具有較好的實用性。

不確定性；Markov鏈；云模型；預(yù)測

0 引 言

時間序列的衍變過程蘊(yùn)含著多種不確定性，通常運(yùn)用隨機(jī)過程來模擬、分析和處理這一類問題。針對隨時間變化的動態(tài)變量預(yù)測，基于Markov鏈模型的狀態(tài)預(yù)測是一個較好的選擇［1］。與點預(yù)測［23］不同，Markov鏈模型實現(xiàn)的是定性預(yù)測，通過將樣本劃分多個狀態(tài)區(qū)間，對每個區(qū)間賦予帶有自然含義的概念，預(yù)測結(jié)果屬于狀態(tài)區(qū)間的范疇，從而可將該模型得到的結(jié)果歸結(jié)為一種定性結(jié)論。

然而，這種定性預(yù)測方法在定量數(shù)據(jù)發(fā)生微小波動時可能會引起預(yù)測狀態(tài)概率的跳變，即由某一狀態(tài)變換到另一狀態(tài)時，概率變化幅度過大，狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過程不穩(wěn)定。一般而言，事物發(fā)展若是平穩(wěn)的，相應(yīng)的隸屬狀態(tài)的概率也應(yīng)是漸進(jìn)變化的。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的本質(zhì)原因在于狀態(tài)區(qū)間的劃分過于明確，屬于一種確定性的分析方法。文獻(xiàn)［4］根據(jù)輸入樣本的激活強(qiáng)度決定是否采取硬或軟劃分，從而建立不同情形的Markov鏈狀態(tài)空間，但該方法對每種情形下的Markov狀態(tài)空間單獨進(jìn)行討論，未實現(xiàn)真正意義上的軟化。文獻(xiàn)［5］提出了一種加權(quán)Markov模型，將明確狀態(tài)下的劃分矩陣拓展為模糊劃分矩陣，但需事先確定樣本對模糊狀態(tài)的隸屬度分配（即確定隸屬度函數(shù)的形式）。文獻(xiàn)［6］通過引入Dempster-Shafer（DS）證據(jù)理論建立了一種信度Markov模型，由基本概率指派函數(shù)（basic probability assignment，BPA）所指定的基概率數(shù)可類比模糊隸屬度，但仍屬于一次精確性的方法；它需根據(jù)應(yīng)用背景設(shè)計相應(yīng)的BPA，雖然存在較大的靈活性，但未提及可參考設(shè)計的理論和方法，實現(xiàn)起來較為困難。

以上方法在解決預(yù)測概率的跳變現(xiàn)象時，均需要通過為已知樣本指定精確的隸屬度來衡量和表述樣本的歸屬程度，但這一方式缺乏可參考的依據(jù)，預(yù)測結(jié)果的不可預(yù)知性成為難以回避的問題。為此，本文考慮引入不確定性人工智能中的云理論，提出一種基于不確定性描述的云化Markov鏈狀態(tài)預(yù)測方法，以云理論中的確定度類比隸屬度，利用區(qū)間云化以及概念確定度的分配描述和處理對象的不確定性，并使這種不確定性能貫穿方法的始終。該方法既能彌補(bǔ)Markov鏈的預(yù)測概率發(fā)生跳變這一缺陷，又避免了隸屬度函數(shù)或BPA的設(shè)計問題，并且可獲得隨機(jī)描述的預(yù)測概率。它在繼承模糊理論和信度Markov鏈優(yōu)點的同時，將不確定性融入Markov鏈中進(jìn)行研究，取得了較理想的實驗結(jié)果。

1 基于Markov鏈理論的狀態(tài)預(yù)測

Markov鏈?zhǔn)且活愄厥獾臅r間和狀態(tài)均離散的隨機(jī)過程，主要特征在于它的無后效性（即馬氏性）［79］。確切地說，已知隨機(jī)過程在“當(dāng)前”時刻所處狀態(tài)的前提下，可以確定其“未來”時刻的狀態(tài)概率分布，而這一概率分布與“歷史”狀態(tài)無關(guān)。Markov鏈的嚴(yán)格定義由條件概率分布函數(shù)給出。

定義1 對于一離散隨機(jī)過程｛Z（t）｝以及離散時間集T＝｛0，1，2，…｝，t∈T，設(shè)｛Z（t）｝定義在概率空間（Ω，Γ，P）上且具有可數(shù)狀態(tài)空間E，滿足?t∈N＋以及i1，i2，…，in∈E，有

則稱滿足式（1）條件分布函數(shù)的離散隨機(jī)過程為Markov鏈，這一性質(zhì)也被稱作馬氏性。Markov鏈簡化的表達(dá)形式為

在式（2）中，Pij（t，t＋k）表示隨機(jī)過程在t時刻處于狀態(tài)i的條件下，在t＋k時刻轉(zhuǎn)移至狀態(tài)j的概率。若k＝1，則構(gòu)造一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P＝（pij）m×m，其中，m為劃分的狀態(tài)數(shù)，pij由狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣確定，滿足1，2，…，k）。當(dāng)k＞1時，可類似構(gòu)造多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P，通過Chapman-Kolmogorov方程計算得到。本文主要利用一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣建立Markov鏈預(yù)測模型。

應(yīng)用Markov鏈分析和解決問題的首要前提是隨機(jī)過程必須符合馬爾可夫性，需要作馬氏性檢驗，具體過程可參考文獻(xiàn)［10］。另外，Markov鏈預(yù)測方法中一個關(guān)鍵問題是如何實現(xiàn)區(qū)間的劃分，每個區(qū)間對應(yīng)一個Markov狀態(tài)，常用的劃分方法有經(jīng)驗法、均值-方差法、平行曲線法以及聚類分析法等，需根據(jù)具體應(yīng)用合理選取。

2 面向預(yù)測的不確定性云化Markov鏈預(yù)測方法

2.1 實現(xiàn)思路

不確定性建模方法主要從兩個方面體現(xiàn)：一是模糊性，從概念的區(qū)分程度來反映；二是隨機(jī)性，可體現(xiàn)在結(jié)果的表達(dá)形式上?，F(xiàn)有的模糊集［45］、DS證據(jù)理論［6］等建模方法仍然集中在精確的隸屬度（或概率指派）上，不論樣本屬于一種或多種狀態(tài)，其隸屬程度在整個建模過程保持不變，這與模糊的思想是相悖的，為對象分配的隸屬度應(yīng)圍繞某一中心值做微小波動，直接表現(xiàn)為具有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)；并且模糊性與隨機(jī)性之間常具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，這一規(guī)律不能被簡單忽略。文獻(xiàn)［11］提出的云模型可有效地描述和處理概念的這種不確定性，能夠表達(dá)兼有模糊性和隨機(jī)性的定性概念，在群智能優(yōu)化［12］、模式識別［13］以及綜合評價［14］等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

本文首先根據(jù)所獲得的定量數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)間劃分，將每個區(qū)間視為一種狀態(tài)概念，把精確的數(shù)值合理轉(zhuǎn)換成有限個定性語言值；通過融合云模型對區(qū)間進(jìn)行描述并建立云劃分，用以表達(dá)每個特定區(qū)間內(nèi)數(shù)值本身的不確定性，并在此基礎(chǔ)上求解概念之間的概率轉(zhuǎn)移矩陣，進(jìn)一步實現(xiàn)Markov鏈的狀態(tài)預(yù)測。

2.2 基于云的區(qū)間概念描述

云是某個定性概念與其定量表示之間的一種不確定性轉(zhuǎn)換模型，構(gòu)成了定性與定量之間的相互映射，其定義如下［11］：

定義2 設(shè)U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C為U上的一個定性概念，若U中的定量值x為定性概念C的一次隨機(jī)實現(xiàn)，那么x對C的確定度y＝μC（x）∈［0，1］是具有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，則稱在論域U上（x，y）的分布為云，（x，y）為其中的一個云滴。

云的數(shù)字特征反映了定性概念的整體定量特性，即期望Ex、熵En和超熵He，其中，Ex表示云滴在論域空間分布的期望值，代表了定性概念的重心位置；En是定性概念隨機(jī)性以及亦此亦彼性的度量，En越大，可被概念接受的論域范圍越大，概念也就更為模糊；He為熵不確定性的度量，即熵的熵，體現(xiàn)了論域值隸屬于概念程度的凝聚性，其值間接反映在云的厚度上。根據(jù)這3個數(shù)字特征，語言集中各定性概念Ci的云模型可表示成Ci（Exi，Eni，Hei），實際中常使用正態(tài)云模型［1517］，本文也用來表示對應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間。

傳統(tǒng)Markov鏈所涉及的可數(shù)個狀態(tài)區(qū)間是確定的，即各區(qū)間邊界是精確不變的值，它們所代表的概念比較明確和獨立，但實際上人對概念區(qū)間的理解通常是較為模糊的，概念之間并沒有明確的界限，相鄰概念之間存在著過渡區(qū)域。例如將航空發(fā)動機(jī)的健康狀態(tài)劃分為5個：健康、亞健康、合格、異常以及故障，它們均是用定性語言表示的狀態(tài)或區(qū)間概念，對處于相鄰狀態(tài)邊緣的發(fā)動機(jī)不能確切指定所屬哪一個狀態(tài)，這也是符合實際的，以上狀態(tài)的劃分只是便于后續(xù)的評估。因此，本文考慮首先根據(jù)序列樣本的取值范圍進(jìn)行狀態(tài)區(qū)間的硬劃分，對得到的每一區(qū)間用云模型進(jìn)行概念描述，實現(xiàn)狀態(tài)區(qū)間的軟化與云化。與建立隸屬度函數(shù)的模糊集方法的區(qū)別在于，區(qū)間云模型的描述只需3個參數(shù)，可根據(jù)每一區(qū)間內(nèi)的樣本分布規(guī)律靈活調(diào)整參數(shù)值；由于云模型本身的特點，采用正向正態(tài)云發(fā)生器［18-19］獲得的定量值對某一概念的確定度（隸屬度）具有隨機(jī)性而非常數(shù)，從而使Markov鏈的預(yù)測結(jié)果帶有不確定性。

假設(shè)已經(jīng)對序列樣本｛X（t）｝進(jìn)行了區(qū)間劃分，得到m個狀態(tài)區(qū)間的集合S＝｛Si｝，（i＝1，2，…，m）。根據(jù)云化方法的思想，將S視為一概念集C，對其中的每個概念利用云模型來刻畫，這樣共得到m個概念云，它們共同組成連續(xù)語言值上的云標(biāo)尺，這樣就完成了由定量到定性的轉(zhuǎn)換過程。云標(biāo)尺用來計算每個樣本相對于其上各云模型的確定度，其中各云的數(shù)字特征根據(jù)不同情形確定：

（1）若區(qū)間Si為雙邊有界（包括半開半閉、全閉以及全開區(qū)間情形），上、下確界分別為sup（Si）、inf（Si）。此時為Si建立正態(tài)云Ci＝（Exi，Eni，Hei），Exi自然地用區(qū)間的中值表示，即Exi＝［sup（Si）＋inf（Si）］／2；根據(jù)正態(tài)云的“3En規(guī)則”［13］，對定性概念Ti有貢獻(xiàn)的云滴主要集中在區(qū)間［Exi－3Eni，Exi＋3Eni］內(nèi)，那么近似有

即Eni≈［sup（Si）－inf（Si）］／6，并以此作為Eni的計算式；Hei＝ci，其中，ci為一常數(shù)，根據(jù)變量本身的模糊度和隨機(jī)度經(jīng)驗調(diào)整。ci越大，云滴離散程度越大，概念越模糊，算法會失去穩(wěn)定性；ci越小，一定程度上會失去隨機(jī)性；當(dāng)ci＝0時，云將退化為基本的正態(tài)分布。

（2）若區(qū)間Si為單邊有界，即上、下確界只存其一，這種情況下Si只可能位于云標(biāo)尺的兩端。此時為Si建立半梯形云Ci＝（Exi1，Exi2，Eni，Hei），它屬于一種綜合云，與正態(tài)云相比多出一個期望參數(shù)。首先根據(jù)已有的序列樣本或先驗知識大致給出另一未知的確界值，作為Exi2，然后按照情形（1）中雙邊有界區(qū)間的參數(shù)計算方式，由兩確界值分別計算Exi和Eni，則Exi1＝Exi，Hei仍取經(jīng)驗常數(shù)ci。

2.3 云化Markov鏈預(yù)測方法的實現(xiàn)

云化方法將原劃分區(qū)間理解為狀態(tài)概念，要建立云Markov鏈預(yù)測模型，關(guān)鍵在于計算概念到概念之間的一步轉(zhuǎn)移概率，繼而得到一步概念轉(zhuǎn)移概率矩陣，仍然用P進(jìn)行表示。為得到P，首先需要計算序列樣本相對于各概念云的確定度，用X條件云發(fā)生器［11］實現(xiàn)。對于不同的云類型，計算方法也有所區(qū)別。

2.3.1 多序列樣本多概念的確定度計算

設(shè)序列樣本x1，x2，…，xn∈｛X（t）｝，云標(biāo)尺上各概念正態(tài)云Cj對應(yīng)的數(shù)字特征為（Exj，Enj，Hej），將序列樣本xt看作Cj的一次隨機(jī)實現(xiàn)（t＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m），那么xt對Cj的確定度μj（xt）計算方法為：

（1）對概念Cj，生成一個正態(tài)隨機(jī)數(shù)En′jt＝norm（Enj，He2j），其中，norm（·，·）為正態(tài)隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)，以Enj為期望和Hej為標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）將xt視為特定取值，得到其對概念Cj的確定度為

（3）對所有序列樣本以及每一概念云，重復(fù)上述過程，共得到m·n個確定度變量。

若概念對應(yīng)的云為半梯形云，是一種組合云，數(shù)字特征與正態(tài)云相比有所不同，此時需要增加對xt所處位置的判別，不同位置得到的確定度不同。假設(shè)半梯形云Cj為左半升的，其對應(yīng)的數(shù)字特征（Exj1，Exj2，Enj，Hej），那么xt對概念Cj的確定度μj（xt）分以下兩種情況計算：

（1）若xt≤Exj1，即xt位于Cj的上升部分，此時μj（xt）的計算方式同正態(tài)云；

（2）若Exj1＜xt≤Exj2，即xt位于Cj的平穩(wěn)部分。根據(jù)半梯形云的特點，這一部分是上升部分的延續(xù)，考慮到確定度的最大值為1，此時μj（xt）不具備隨機(jī)性，μj（xt）≡1。

對于右半降的半梯形云Cj，其下降部分是平穩(wěn)部分的延續(xù)，計算確定度的方法類似。

無論概念云為正態(tài)云或者半梯形云，根據(jù)計算步驟得到的所有確定度變量，共同構(gòu)成序列樣本與概念之間的確定度矩陣V?（μj（xt））m×n。由于中間變量En′jt或y′是隨機(jī)的，因此μj（xt）并不是固定值，V構(gòu)成一個隨機(jī)矩陣，這一現(xiàn)象體現(xiàn)了序列樣本與概念之間的不確定性轉(zhuǎn)換關(guān)系，這也是本文云化方法的一個特點。確定度矩陣V具的性質(zhì)如下：

性質(zhì)1 對固定的j和t，V中的元素μj（xt）并不為常數(shù)，服從某一特定分布；

前3條性質(zhì)容易理解。對于任何一個定義在已有m個概念云范圍內(nèi)的序列樣本，可同時屬于其中一個或多個概念云，但所有概念云下的確定度之和應(yīng)該等于1，這也符合人的認(rèn)知。然而由性質(zhì)4可知，確定度矩陣V并不符合這一條件。為此，以單個序列樣本為對象，將該樣本下所有可能的確定度進(jìn)行歸一化處理，即

進(jìn)一步地可推知

2.3.2 概念轉(zhuǎn)移概率矩陣的求解

概念轉(zhuǎn)移概率矩陣可視為云方法下Markov鏈概率轉(zhuǎn)移矩陣的一種擴(kuò)展，可依據(jù)更新后的確定度矩陣V對其求解。設(shè)概念轉(zhuǎn)移概率矩陣P＝（pij）m×m，其中，pij為云Markov鏈模型中由概念Ci轉(zhuǎn)移到概念Cj的轉(zhuǎn)移概率，類比狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的定義，有

式中，μi（xt）（或μj（xt））代表序列樣本xt對概念Ci（或Cj）的確定度；n為樣本長度；m為概念總數(shù)。pij的含義是：“所有序列樣本由概念Ci轉(zhuǎn)移到Cj的確定度之和”與“所有序列樣本由概念Ci轉(zhuǎn)移到所有概念的確定度之和”的比值，滿足：pij≥0且

由式（11）可知，V中任意μi（xt）均是隨機(jī)的，以致pij在每次計算時都會變化，pij仍然構(gòu)成隨機(jī)變量，有自己的統(tǒng)計性質(zhì)。為簡單起見，假設(shè)所有概念云為正態(tài)云，聯(lián)立式（4）和式（11），得

式中，En′it，En″it～N（Eni，He2i），En′jt，En″jt～N（Enj，He2j）（t＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）；對于每個xt，均存在不同的隨機(jī)變量En′it、En″it、En′jt和En″it，這樣分子和分母各包含2（n－1）個以及2m（n－1）個獨立的隨機(jī)變量，它們組成多維隨機(jī)矢量Q。將式（12）中出現(xiàn)的各xt、xt＋1、Exi、Exj均視為常量，那么復(fù)合隨機(jī)變量pij為Q的函數(shù)，記為

若不同的xt對應(yīng)著同一個概念Ci（或Ci），那么此時En′it（或En′jt）服從同一參數(shù)下的正態(tài)分布。

要深入考察某一隨機(jī)變量的統(tǒng)計性質(zhì)，常需要求解其概率密度函數(shù)，繼而得到各項數(shù)字特征（如期望、方差或各階距等）。以pij作為目標(biāo)隨機(jī)變量，若將En′it或En′jt的正態(tài)概率密度函數(shù)代入式（12）中，易知pij的計算式含有嵌套的指數(shù)函數(shù)，很難得到具有解析形式的概率密度函數(shù)。對于這種情況，可利用Parzen窗方法對pij進(jìn)行非參數(shù)的核密度估計［20-21］。該方法不需事先假定分布函數(shù)的形式，而是直接根據(jù)已知的樣本進(jìn)行概率密度估計。核密度估計的函數(shù)＾f（x）可表示為

式中，n為樣本長度；h為窗的寬度；d為樣本維數(shù)；K（·）為核函數(shù)，本文采用Guass核函數(shù)另外，h的選擇采用式（15）固定形式［22］。

式中，δ為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.3.3 目標(biāo)概率分布向量的預(yù)測

在已知初始狀態(tài)概率分布的情況下，對未來時刻系統(tǒng)歸屬各概念的概率分布作出預(yù)測，進(jìn)而根據(jù)各概念的預(yù)測概率值大小作出決策分析。設(shè)t時刻樣本xt對各概念的歸一化確定度為μ′j（xt）（j＝1，2，…，m），對應(yīng)確定度矩陣V的第t列，將其轉(zhuǎn)置得到初始概率分布矢量π（t）＝（π1（t），π2（t），…，πm（t））。在求得概念轉(zhuǎn)移概率矩陣P之后，根據(jù)Markov鏈一步預(yù)測思想，計算t＋1時刻各概念的概率分布矢量π（t＋1）為

對于π（t＋1），依據(jù)最大概率原則取最大概率對應(yīng)的概念作為最終的預(yù)測結(jié)果。由于矩陣P的隨機(jī)性，π（t＋1）相應(yīng)地表現(xiàn)為隨機(jī)矢量，這體現(xiàn)出預(yù)測結(jié)果的不確定性，可進(jìn)行多次試驗對結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析。對于新獲得的樣本，可將其加入到原始樣本序列中，按前述方法對概念轉(zhuǎn)移概率矩陣實現(xiàn)更新。

3 仿真實驗

這一部分的實驗仍然基于文獻(xiàn)［6］中澳大利亞Monash大學(xué)Hyndman教授公開的測試樣本，以驗證本文方法的效果。

3.1 區(qū)間概念的描述及可視化

測試樣本共包含20期的庫存需求情況統(tǒng)計，并滿足Markov性。為了能與信度Markov模型有更好的可比性，本文按照同一方式，將序列樣本硬劃分為3個連續(xù)的狀態(tài)區(qū)間：［0，150），［150，200］，（200，＋∞］，分別用概念L、M和H表示，易知前兩個均為雙邊約束區(qū)間，而第3個為單邊約束區(qū)間。按照第2.1節(jié)云化區(qū)間概念的方法，設(shè)超熵He＝2，則各概念云的參數(shù)為C1（75，25，2），C2（175，8.33，2），C3（215，229，0.5，2）。通過正向云（正態(tài)云和半梯形云）發(fā)生器算法計算云滴的確定度，生成各概念云組成的可視化云標(biāo)尺，如圖1所示。

圖1 各概念的云標(biāo)尺

云標(biāo)尺圖實現(xiàn)了由定性概念到定量表示的過程，圖1直觀地給出了各區(qū)間上庫存需求情況統(tǒng)計的確定度分布情況：越靠近區(qū)間中心的樣本，歸屬于該區(qū)間概念的確定度越大（最大可為1），概念也就越清楚；越靠近區(qū)間交集部分的樣本，不同交集區(qū)間的確定度相對較小，且差異不大，概念也就越模糊。另外，任意樣本的確定度也是不確定的，并不是固定值，這恰能反映系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律的動態(tài)性。因此，云化方法較好地體現(xiàn)出了建模的不確定性，能夠反映序列樣本的自身特點。

3.2 概念轉(zhuǎn)移概率的統(tǒng)計規(guī)律分析

概念之間的轉(zhuǎn)移概率屬于云化Markov鏈方法中關(guān)鍵隨機(jī)變量，但因其表達(dá)形式復(fù)雜，很難挖掘其變化規(guī)律。這里不妨以求解p12和p23為例進(jìn)行說明，即由概念L轉(zhuǎn)移到概念M、概念M轉(zhuǎn)移到概念H的轉(zhuǎn)移概率，其他轉(zhuǎn)移概率的分析方法類似。由樣本及概念描述，n＝20，m＝3，則Q的維數(shù)為152。根據(jù)pij的定義，每次仿真下均會得到152個隨機(jī)確定度，它們?nèi)匀粷M足性質(zhì)4，并由此計算pij的值。對核密度估計而言，樣本越多，估計出的概率密度越接近真實情況，為此仿真500次，共得到500個pij的隨機(jī)取值，然后按照第2.3.2節(jié)的方法，畫出p12和p23的核密度估計曲線，如圖2所示。

圖2 不同概念轉(zhuǎn)移概率的核密度估計曲線（He＝2）

圖2 說明了p12和p23的核密度估計曲線不同于正態(tài)分布的形式，而是呈現(xiàn)未知的特定分布，這與理論分析是一致的。由于各項確定度計算方法的差異，導(dǎo)致p12和p23的核密度估計曲線形式也有所區(qū)別，包括中心位置和對稱性等方面。

3.3 數(shù)據(jù)變動對結(jié)果的影響

隨機(jī)性為本文預(yù)測模型的特性之一，只進(jìn)行一次實驗無法對其充分描述；另外，為說明最后一期（即第20期）的不同數(shù)值對預(yù)測結(jié)果的影響，將最后一期的數(shù)值（記為d（20））由197逐漸增加到204，并在每一數(shù)值下重復(fù)20次仿真實驗，預(yù)測第21期（記為d（21））的概率分布，如圖3所示。

圖3 不同d（20）對結(jié)果的影響（重復(fù)20次實驗

在圖3中，預(yù)測第21期時對應(yīng)的概率分別記為πL（21）、πM（21）以及πH（21）。可以看出，任意一幅子圖中，每次仿真下得到的結(jié)果是隨機(jī)的；d（20）＝197時，其距離狀態(tài)邊界相對較遠(yuǎn)，歸屬狀態(tài)M的確定度與其他兩個概念的確定度差異較大（可從云標(biāo)尺中反映出），幾乎總有πH（21）＜πM（21），πL（21）＜πM（21），隨機(jī)性對確定度的影響不很明顯。隨著d（20）的增加，其逐漸逼近狀態(tài)M和H的交界部分，對應(yīng)著兩個概念比較明顯的混疊邊界，此時πM（21）整體下降，而πH（21）呈整體上升趨勢，兩者之間的差異逐漸縮小。如d（20）＝198以及d（20）＝199時，從圖3中已經(jīng)很難判斷歸屬狀態(tài)M和H的概率差異，這是模型不確定性的原因所致。當(dāng)d（20）進(jìn)一步增加時，其逐漸遠(yuǎn)離狀態(tài)M和H的交界部分，πH（21）繼續(xù)保持增加的趨勢，d（20）歸屬狀態(tài)H的程度更為明顯，如d（20）＝204時，概念H占主導(dǎo)地位，除了由于隨機(jī)性的原因少數(shù)情況出現(xiàn)πH（21）＜πM（21）。另外，最后一期的數(shù)值偏離概念L較遠(yuǎn)，因此在數(shù)值變動范圍內(nèi)πL（21）始終保持較小值。

為了更直觀地表明以上變化規(guī)律，將d（20）作為自變量，取值范圍為［195，204］，觀察第21期概率分布的變化情況，如圖4所示。對d（20）的每一取值，在確定概念轉(zhuǎn)移概率pij時，取其核密度估計曲線峰值對應(yīng)的橫坐標(biāo)值作為此概念轉(zhuǎn)移概率代表性的點，如根據(jù)圖2，可知p12＝0.589，p23＝0.239，以此進(jìn)一步計算d（21）的預(yù)測概率。由于估計核密度曲線時所用樣本有限，不同取值樣本下得到的曲線存在稍許差異。

可以看到，當(dāng)d（20）逐漸增加時，d（21）的各概念預(yù)測概率距呈現(xiàn)緩慢變化的趨勢，未出現(xiàn)概率跳變現(xiàn)象，達(dá)到了與信度Markov模型同樣的效果。根據(jù)極大概率判定的思想，當(dāng)d（20）＝200時，d（21）歸屬的概念發(fā)生變化，由概念M轉(zhuǎn)變成概念H；而信度Markov模型則是在d（20）＝197時出現(xiàn)這一變化，這是由各模型本身的特點決定的。然而，本文方法有其獨特之處：模型的不確定性使得圖4的結(jié)果不唯一，即使采用核密度曲線中具有代表性的概率點，每次仿真時預(yù)測概率曲線仍有些許變動；并且某一概念下的曲線走勢可能非單調(diào)，如概念M先增后減，相比之下，信度Markov模型得到的各預(yù)測概率是確定的并且單調(diào)變化。

圖4 基于代表性轉(zhuǎn)移概率的d（21）預(yù)測概率曲線

3.4 不同超熵對結(jié)果的影響

若樣本已知，按第3.1節(jié)描述云概念的方法，云模型的期望和熵可唯一確定，而超熵為可變參數(shù)，它對云化Markov鏈的影響直接反映在概念轉(zhuǎn)移概率的計算上。超熵越大，pij的隨機(jī)性越大，分布范圍也就越廣。為了說明這一問題，圖5給出了He＝5時的核密度估計曲線，并與圖2進(jìn)行對比。

根據(jù)圖5，p12和p23具有代表性的密度點分別為0.586和0.215，與He＝2時的取值（見圖2）相差不大，基于代表性轉(zhuǎn)移概率的d（21）預(yù)測概率曲線也不存在較大差異（He取其他值時情況類似）。雖然pij為未知解析形式的隨機(jī)變量，但云模型的超熵對其大體位置不會產(chǎn)生明顯影響，進(jìn)而基于代表性轉(zhuǎn)移概率的預(yù)測概率也不會有較大變動。由此可推斷，本文方法具有較好的穩(wěn)定性，對未知參數(shù)He不敏感。特別地，當(dāng)He＝0時，核密度估計曲線僅為平行于縱軸的直線，即pij為一固定量。

圖5 不同概念轉(zhuǎn)移概率的核密度估計曲線（He＝5）

綜上所述，基于不確定性描述的云化Markov鏈方法能夠克服數(shù)據(jù)的微小波動帶來的狀態(tài)跳變現(xiàn)象，能夠使各概念的預(yù)測概率保持漸進(jìn)地穩(wěn)定地變化規(guī)律；并且該方法實現(xiàn)過程簡單，只需根據(jù)樣本確定模型參數(shù)，不需指定模糊隸屬度函數(shù)或復(fù)雜的基本概率指派函數(shù)；結(jié)果信息豐富，具有隨機(jī)性特點；對不同的可變參數(shù)（超熵），根據(jù)基于代表性轉(zhuǎn)移概率得出的預(yù)測結(jié)果穩(wěn)定性保持較好，預(yù)測概率受超熵影響不明顯。

4 結(jié) 論

在運(yùn)用Markov鏈實現(xiàn)隨機(jī)過程的預(yù)測時，未來時刻的預(yù)測概率可能會出現(xiàn)跳變，以分配隸屬度為解決這一問題的手段，現(xiàn)有方法常缺乏有效依據(jù)，隨意性較大。本文借助于云模型這一新的處理方法，將其引入Markov鏈預(yù)測模型中，提出了一種基于不確定性描述的云化Markov鏈預(yù)測方法，主要體現(xiàn)在對狀態(tài)概念隨機(jī)性和模糊性的處理上。它將Markov鏈狀態(tài)空間采用云概念來表達(dá)，通過X條件云發(fā)生器獲得樣本對每一概念的隨機(jī)確定度，作為樣本歸屬某個概念的程度標(biāo)量，以此為基礎(chǔ)求解概念轉(zhuǎn)移矩陣，進(jìn)而實現(xiàn)Markov鏈的狀態(tài)預(yù)測；樣本確定度、概念轉(zhuǎn)移概率以至未來時刻的預(yù)測概率，均為不同分布下的隨機(jī)變量，較好地保持了模型不確定性的傳遞。對實驗結(jié)果的分析表明，基于不確定性描述的云化Markov鏈預(yù)測能夠解決數(shù)據(jù)微小波動帶來的狀態(tài)跳變問題，既不需要如模糊方法一樣指定具體的隸屬度函數(shù)，也可避免信度Markov模型設(shè)計BPA函數(shù)的問題，只需根據(jù)已有樣本求解少量的云參數(shù)，方法簡單且易于實現(xiàn)，可視為基本Markov鏈的一種擴(kuò)展，具有較好的適應(yīng)性。由于直接的實驗結(jié)果表現(xiàn)為隨機(jī)形態(tài)，本文僅簡單考慮了核密度曲線峰值位置點的代表性概率，如何對其統(tǒng)計分析并有效利用需作進(jìn)一步地探究。

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Cloud-transforming method of Markov chain state prediction based on uncertainty description

ZHA Xiang，NI Shi-hong，XIE Chuan，ZHANG Peng
（College of Aeronautics and Astronautics Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China）

To deal with ownership degree of samples in Markov chain effectively facing with a skip of the predicted probability，a cloud-transforming method of Markov chain state prediction is proposed．Samples’uncertainty is described and processed by using the cloud model．Regarded as a kind of concept，the partitioned state intervals are expressed based on the cloud model，and further the certainty of each objective to all concepts is computed．Then to realize stochastic state prediction，the concept transfer matrix is calculated．The kernel density estimation of concept transfer probability is obtained considering its significance．Finally simulation results are given in form of probability of repeated tests and extracted representative transfer probability，and it shows that the uncertain method can both avoid a skip of the Markov chain predicted probability and measure ownership degree of samples effectively，and is more practical as well．

uncertainty；Markov chain；cloud model；prediction

O 211．62

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．34

查 翔（1988-），男，博士研究生，主要研究方向為飛機(jī)狀態(tài)監(jiān)控與故障診斷、人工智能及其應(yīng)用。E-mail：zha_xiang＠126．com

倪世宏（1963-），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向為飛行數(shù)據(jù)智能處理。E-mail：470474069＠qq．com

謝 川（1974-），男，副教授，博士，主要研究方向為飛行數(shù)據(jù)智能處理。E-mail：1830486912＠qq．com

張 鵬（1982 ），男，講師，博士，主要研究方向為飛機(jī)故障診斷、故障預(yù)測與健康管理。E-mail：zhangpeng25＠gmail．com

1001-506X（2015）04-0942-07

2014- 07- 15；

2014- 10- 16；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 11- 05。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141105．1633．016．html

國家自然科學(xué)基金（61372167）資助課題