李敏瓊

【摘 要】分類討論思想可將復(fù)雜問題分成幾個(gè)簡(jiǎn)單問題，應(yīng)用時(shí)應(yīng)遵循同一性、互斥性、層次性原則，找出題中分類的概念、不唯一的題設(shè)或結(jié)論、取值范圍不同的參數(shù)、不確定的圖形等進(jìn)行分類討論，教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)此題型的訓(xùn)練，避免漏解丟分。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 分類討論 原則

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，初中階段常見的數(shù)學(xué)思想包括類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等。其中分類討論思想貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)，它已經(jīng)成為各地近年來中考命題的熱點(diǎn)。

一、分類討論的定義和意義

把所研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把有關(guān)問題分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱為分類討論思想。分類討論既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是數(shù)學(xué)的一種基本解題策略。一方面它可將復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問題，另一方面恰當(dāng)?shù)胤诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、分類討論的原則

1.同一性原則。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類根據(jù)，否則在解題時(shí)會(huì)出現(xiàn)漏解的情況。

例如：化簡(jiǎn)：|X-3|-|5-X|

此題根據(jù)題意，把X的取值分為三段，都在同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。

解：當(dāng)X<3時(shí)，原式=（3-X）-（5-X）=-2；

當(dāng)3≤X<5時(shí)，原式=（X-3）-（5-X）=2X-8；

當(dāng)X≥5時(shí)，原式=（X-3）-（X-5）=2.

2.互斥性原則。分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不兼容，即做到各子項(xiàng)相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)，否則在解題時(shí)會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的情況。

例如：解不等式（a-1）x>a2-1

此題x的系數(shù)（a-1）應(yīng)分成三種情況： a-1>0， a-1=0， a-1<0.這三種情況互相排斥。

解：（1）當(dāng)a-1>0 即a>1時(shí)，則x>a+1；（2）當(dāng)a-1=0即a=1時(shí)，原不等式為0·x>0，不等式無解；（3）當(dāng)a-1<0 即a<1時(shí)，則 x1時(shí)，x>a+1；當(dāng)a=1時(shí)，不等式無解；當(dāng)a<1時(shí)，x

3.層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對(duì)被討論對(duì)象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類，直至滿足需要為止。有些對(duì)象的分類情況比較復(fù)雜，這時(shí)常采用“二分法”來分類，就是按對(duì)象有無某性質(zhì)來進(jìn)行分類。按“二分法”作分類，就是把討論對(duì)象的外延一直分為兩個(gè)互相矛盾的概念，一直分到不必再分為止。

例如：已知在△ABC中，∠A=50°，當(dāng)∠B=_____度時(shí)，△ABC是等腰三角形？

此題中的∠A有兩種情況：∠A是頂角或底角。當(dāng)∠A是頂角時(shí)，∠B必為底角；當(dāng)∠A是底角時(shí)，∠B又有兩種可能：頂角或底角，故又需進(jìn)行分類討論。

解：當(dāng)∠A是頂角時(shí)，∠B必為底角，得65°；當(dāng)∠A是底角時(shí)，∠B又有可能為頂角或底角，當(dāng)∠B為頂角時(shí)，得80°，當(dāng)∠B為底角時(shí)，得50°，故答案為50°、65°或80°。

三、分類討論的常見情況

掌握用分類討論思想解題的關(guān)鍵在于搞清楚哪些情況下會(huì)引起分類討論。下面筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐舉例說明引起分類討論的一些常見情況。

1.由于分類概念或定義而需要分類討論

有些數(shù)學(xué)概念是分類定義的。如實(shí)數(shù)的絕對(duì)值（正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值），兩圓相離（外離、內(nèi)含） ，兩圓相切（外切、內(nèi)切）等，所以應(yīng)用這些概念解題時(shí)，就需進(jìn)行分類討論。

例如：已知|x+1|=3，y2=4，xy<0，求2x+y的值。

本題中的絕對(duì)值和偶次冪是分類定義的，x+1可能為正數(shù)或負(fù)數(shù)，y也可能為正數(shù)或負(fù)數(shù)，因此要進(jìn)行分類討論。

解：由題意得x+1=±3，y=±2，所以x=2或-4；y=2或-2。又因?yàn)閤y<0，即x、y異號(hào)，所以有兩種情況：（1）當(dāng)x=2，y=-2時(shí)，2x+y=2 ；（2）當(dāng)x=-4，y=2時(shí)，2x+y=-6.

又如：圓心距為5的兩圓相切，其中一個(gè)圓的半徑為2，則另一個(gè)圓的半徑為________。

本題中的兩圓相切是分類定義的，因此要進(jìn)行分類討論。

解：當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之和，即是3；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之差，即是7，故填7或3.

2.由于題設(shè)和結(jié)論有多種可能而需要分類討論

例如：一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為______。

本題的條件是不唯一的，這個(gè)等腰三角形腰為3還是7？問題中沒有說明，所以要分為兩種情況討論。

解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，三邊為3，3，7，3+3<7，三邊關(guān)系不成立；當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，三邊為3，7，7，三邊關(guān)系成立，周長(zhǎng)為3+7+7=17.故答案為17.

3.由于參數(shù)取值范圍不同而需要分類討論

對(duì)于具體問題，如求函數(shù)解析式、方程的解、不等式的解集等問題中隨著參數(shù)取值不同而變化，這時(shí)要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論。

例如：已知一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是-1≤x≤1，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是3≤y≤-1，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。

本題中的一次函數(shù)y=kx+b中的k有可能>0，也可能<0，兩種不同的取值范圍導(dǎo)致y隨x的變化不同，所以要分類討論。

解：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，把x=-1，y=-1；x=1，y=3代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b中，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式為y=2x+1；（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，把x=-1，y=3；x=1，y=-1代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b中，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式為y=-2x+1.

4.由于位置或形狀不確定而需要分類討論

對(duì)于條件中沒有明確圖形在什么位置或是什么形狀時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同位置或形狀進(jìn)行分類討論。

例如：在直角邊分別為3cm和4cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一個(gè)內(nèi)角恰好是三角形的一個(gè)角，其余頂點(diǎn)都在三角形的邊上，求所作菱形的邊長(zhǎng)。

本題中的菱形與三角形公共的內(nèi)角不確定，公共的內(nèi)角可能是直角，也可能是兩個(gè)銳角中的其中一個(gè)，所以要需要進(jìn)行分類討論。

解：（1）如圖1，當(dāng)公共的內(nèi)角是直角時(shí)，菱形是正方形， 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x，則上面的小三角形與原三角形相似，得到， 解得x=， 則菱形的邊長(zhǎng)是cm； （2）如圖2，當(dāng)公共的內(nèi)角是∠C時(shí)，△BDF∽△BAC，根據(jù)勾股定理求得AC=5， 設(shè)菱形的邊長(zhǎng)是x，得到，解得x=，則菱形的邊長(zhǎng)是cm.（3）當(dāng)公共的內(nèi)角是∠A時(shí)，△CEF∽△CAB， 設(shè)菱形的邊長(zhǎng)是x，得到，解得x=，即菱形的邊長(zhǎng)是cm.

由此可見，分類討論思想是解決數(shù)學(xué)問題常用的一種方法，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在解答此類問題時(shí)極易漏解。我們應(yīng)在教學(xué)中有目的、有計(jì)劃地對(duì)學(xué)生滲透和強(qiáng)調(diào)，加強(qiáng)這方面題型的訓(xùn)練、強(qiáng)化，鞏固知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生逐漸產(chǎn)生分類討論的意識(shí)，解題中仔細(xì)分析題意，挖掘題目中可能出現(xiàn)的不同情況，然后采用分類討論的思想加以解決，使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，解題思路變得清晰，提高分析、解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

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