●施哲明 (嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

對一道解析幾何常態(tài)題多重障礙的分析和思考

●施哲明 (嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

在求解解析幾何問題時，經(jīng)常會碰到沿題意之路走到一半遇到某個障礙而不能順利走下去的現(xiàn)象，這種障礙對學(xué)生來說往往是致命的.如何突破障礙，首要的是學(xué)會分析障礙成因，然后尋求相關(guān)對策.本文以一道模擬試題為例，分析其求解過程中可能遇到的障礙和求解策略.

例1已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比到x軸的距離多.

1)求點(diǎn)P的軌跡方程C;

2)過曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M任作2條相互垂直的直線，在x軸上方分別交曲線C于點(diǎn)A，B，求證:直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

(2015年浙江省金華市十校聯(lián)考試題)

說明對于第1)小題，學(xué)生熟悉背景，可以較容易地求出軌跡方程為x2=y或x=0(其中y＜0).下面筆者對第2)小題求解過程中可能產(chǎn)生的障礙進(jìn)行分析和思考.

1 第一重障礙——直線方程多樣性帶來的困惑

直線方程的形式多樣，有一般式、點(diǎn)斜式、斜截式、截距式、兩點(diǎn)式等，從方程的設(shè)法上看還有x= ky+b的形式.眾多形式雖然能給我們帶來許多方便，但是不同的選擇又能給我們帶來不同程度的障礙.本題涉及到3條直線MA，MB，AB，如果從條件來看，可以從直線MA，MB入手;如果從結(jié)論中來看，則可以將直線AB作為突破口.

1.1 從條件MA，MB入手

如圖1，可設(shè)直線MA的方程為y－1=k(x－1)(顯然其斜率存在)，聯(lián)立

圖1

障礙1對于點(diǎn)B的求解是否需要同樣的過程?

求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)之后，接著關(guān)注直線AB的方程.首先看其斜率

對于如此復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，帶著它來看直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)將會很困難，因此又產(chǎn)生了下面的障礙.

障礙2因式分解的能力.

如果不能夠?qū)AB通過因式分解進(jìn)行化簡，帶著這個式子來寫出直線AB的方程，那么無疑對定點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)又設(shè)置了一道新的障礙.而因式分解在初中教材中已經(jīng)不作要求，盡管各校在高中入學(xué)階段進(jìn)行了銜接教材的補(bǔ)充教學(xué)，但是熟練程度總是不夠.

若能對斜率的分子進(jìn)行如下的變形:

這樣得到直線AB的方程為

相對簡潔一些.

障礙3直線系經(jīng)過某定點(diǎn)的問題.

所謂經(jīng)過定點(diǎn)的問題是指在含參變量的直線系方程中，某個點(diǎn)不會隨參變量的變化而變化的問題.要在直線系中找到定點(diǎn)，必須明確一般的手段和方法.如對于直線y=kx+1來說，直線是隨著斜率k的變化而變化的，但是當(dāng)x=0時，不管k取何值，y=1恒成立，故直線y=kx+1恒過定點(diǎn)(0，1).一般地，對于直線λ(a1x+b1y+c1)+μ(a2x+ b2y+c2)=0(其中λ，μ為變量，ai，bi，ci，i=1，2為常量)，則直線恒過定點(diǎn)(m，n)，其中m，n由方程組確定.因此，對于例1第2)小題而言，k為變量，而我們需要尋找的是不會隨k的變化而變化的點(diǎn)，這恰恰構(gòu)成此題的又一個障礙.現(xiàn)在再回到原題，對

這樣，原問題轉(zhuǎn)化為“在b2－3b－k2－k+2=0的前提下，求直線y=kx+b所經(jīng)過的定點(diǎn)”，這又構(gòu)成一個求解過程中的障礙.

較為自然的途徑之一是用求根公式:

即b=k+2或b=1－k，代入直線y=kx+b，得

直線y=k(x－1)+1恒過點(diǎn)M(1，1)，直線y= k(x+1)+2恒過點(diǎn)(－1，2).若對因式分解具有較強(qiáng)的敏感意識，則可直接把b2－3b－k2－k+2=0進(jìn)行因式分解，即

b2－3b－k2－k+2=(b－k－2)(b+k－1)=0，這又遇到因式分解的障礙.

2 第二重障礙——知而難通的“設(shè)而不求”的思想所帶來的困惑

設(shè)而不求是解析幾何最重要的核心思想之一.它指的是利用題設(shè)條件，巧妙設(shè)元，通過整體替換，再通過消元或減元，從而達(dá)到運(yùn)算中以簡馭繁的目的.通過設(shè)而不求的策略，可以使復(fù)雜的問題簡單化，解題準(zhǔn)確、快捷.但是，對很多學(xué)生來說，這只是在教師指導(dǎo)下的一種機(jī)械的操作方法，根本不知其所以然，稍一變通，學(xué)生就難以通法，這又恰好構(gòu)成解題過程中的障礙之一.這就要求教師多以例題為載體，闡述這種“設(shè)而不求”的思想，讓它儲存在學(xué)生的腦海中，這也就有下面的思考和求解的過程.

分析注意到要求的是直線AB經(jīng)過定點(diǎn)的問題，因此可以通過設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，但又不必去求出它們具體的坐標(biāo)，然后再利用這2個點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系來獲得確定的關(guān)系，這就是所謂的“設(shè)而不求”的核心思想的體現(xiàn).

說明通過設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并用它們的坐標(biāo)來表示直線的形式來求得定點(diǎn)問題，過程簡潔，結(jié)論直觀，避免了上述求解過程中所遇到的多重障礙.直線定點(diǎn)問題既可以是關(guān)于斜率k的形式，也可以是關(guān)于截距b的形式，當(dāng)然也可以是關(guān)于變量x1+x2的形式，即我們需要關(guān)注的只是參變量而已，這對定點(diǎn)不會產(chǎn)生任何影響，這也恰好是“設(shè)而不求”的蘊(yùn)意所在.

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)問題，而沒有思維障礙的教學(xué)不是真正意義上的教學(xué)，沒有思維障礙的數(shù)學(xué)問題更不是真正的數(shù)學(xué)問題.因此，對數(shù)學(xué)問題的障礙的分析和思考必須引起足夠的重視，只有做好障礙分析，才能做到教學(xué)的有的放矢，才能做到對癥下藥，才能提高教學(xué)效果.