林君煥，陳月芬

(1．臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電學(xué)院，浙江臺(tái)州318000;2．臺(tái)州學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州318000)

1 引 言

PAD情感模型可以對(duì)情感進(jìn)行有效的描述。它可以將人類(lèi)的抽象情感映射到由P，A，D三個(gè)維度構(gòu)成的空間里，并通過(guò)三個(gè)維度坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)特定情感的量化表達(dá)，其中三個(gè)維度的具體涵義為:愉悅度(Pleasure)代表個(gè)體情感狀態(tài)的正負(fù)特性，激活度(Arousal)代表個(gè)體的神經(jīng)生理激活水平，優(yōu)勢(shì)度(Dominance)代表個(gè)體對(duì)情景和他人的控制狀態(tài)。PAD三維情感模型作為情感與計(jì)算之間的橋梁，具有很強(qiáng)的可操作性，便于計(jì)算機(jī)的處理。

原有PAD情感模型存在幾個(gè)問(wèn)題:① 人類(lèi)情感豐富細(xì)膩，復(fù)雜情感可能由2個(gè)以上基本情感合成。②人在認(rèn)知情感時(shí)，可能會(huì)從不同層面上去獲取有關(guān)情感知識(shí)，如宏觀層面上來(lái)說(shuō)，情感總的可以分成消極情感和積極情感，往下一層可以進(jìn)一步將積極情感分成高興、輕松等，消極情感可以分為害怕、發(fā)怒等。如何在PAD情感空間里對(duì)情感進(jìn)行不同層面的描述，是情感計(jì)算的關(guān)鍵之一。

基于此，本文通過(guò)基于商空間理論的粒模型與方法來(lái)描述PAD情感模型，并最終能夠在一定程度上解決如上所述的一系列情感計(jì)算問(wèn)題。

2 粒的基本概念

定義1 設(shè)U是非空有限集合，稱(chēng)之為論域。P(U)為論域U的冪集，U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R:U→P(U)。由R在U上產(chǎn)生一個(gè)劃分U/R={［u］R/u∈U}={U1，U2，Ui，…，Um}，稱(chēng)為 R 的等價(jià)類(lèi)或基本集，U1，U2，Ui，…，Um稱(chēng)為 R 的粒［1］。且滿足:

(1)UiU，Ui≠φ

(2)Ui∩Uj=φ，i≠j，i，j=1，2，3，…，m

定義2 定義R的粒度［2］為

式中:當(dāng)定義1中U為離散論域時(shí)，A 表示A的基數(shù)，當(dāng)U為連續(xù)論域時(shí)，A =∫Ad x，下同。

定理1 設(shè)R在U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，其產(chǎn)生的劃分 U/R={U1，U2，…，Um}，則有

證明略。

性質(zhì)1 設(shè)R是U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則有

證明 當(dāng)R是相等關(guān)系時(shí)，即R=ω時(shí)，R的粒度最小論域關(guān)系，即R=σ時(shí)，R的粒度最大，G(R)=

定義3 設(shè)R是論域U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系族，且 R1，R2∈R，若對(duì) x，y∈U，xR1yxR2y，則稱(chēng)R1比 R2細(xì)，記為 R1R2。

性質(zhì)2 設(shè)R1，R2是論域U的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系，且 R1R2，則 G(R1)＜G(R2)。

定義4 設(shè)R是U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，R在U上產(chǎn)生一個(gè)劃分U/R={U1，U2，…，Um}，則 R 在 U的子集構(gòu)成的σ－代數(shù)上定義的概率分布為［3］

定義5 設(shè)R是U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，U/R={［u］R/u∈U}={U1，U2，Ui，…，Um}，定義 R 的信息熵H(R)為

信息熵也是R對(duì)論域U進(jìn)行劃分的粗細(xì)程度的衡量。

性質(zhì)3 當(dāng)R由最粗的論域關(guān)系到最細(xì)的相等關(guān)系時(shí)，H(R)由0增大到log2U。

證畢。

3 基于商空間的粒

3.1 商空間模型

定義6 設(shè)U為所要研究的論域，在U上有屬性函數(shù)f:U→W，其中W可以是多維的，各維既可以是實(shí)數(shù)域，也可以是其他的集合。拓?fù)銽用來(lái)描述U中各元素之間的關(guān)系，則稱(chēng)三元組(U，f，T)為所要研究的對(duì)象［4］。

定義7 設(shè)R是U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則由R產(chǎn)生的劃分構(gòu)成U的一個(gè)商集［U］。在［U］上定義的商拓?fù)洌跿］為［T］={u/p－1(u)∈T，u∈［U］}，其中，p:U→［U］是自然投影;p－1是 p的逆變換。在［U］上構(gòu)造出屬性函數(shù)［f］，則稱(chēng)三元組(［U］，［f］，［T］)為(U，f，T)的商空間［4］。

3.2 模糊商空間理論

定義8 設(shè)U是論域，U上的一個(gè)模糊集A是指u∈U，有-μA∈［0，1］，稱(chēng)為 u對(duì) A 的隸屬程度，映射 μA:U→［0，1］，u→μA(u)稱(chēng)為 A 的隸屬函數(shù)［5］。

令F(U)表示U的模糊子集的冪集，則F(U)實(shí)際上是由 μAi:U→［0，1］，Ai∈F(U)，i=1，2，3，…組成的函數(shù)族。

定義 9 設(shè) R∈F(U×U)，若滿足［5］:

(1) u∈U，R(u，．u)=1

(2) u，v∈U，R(u，．v)=R(v，．u)

(3) u，v，w∈U，R(v，．w)≥

supu(min(R(v，．u)，R(u，．w)))

則稱(chēng)R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系。

命題1 設(shè)R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，若u，v∈U，R(u，v)=1，則稱(chēng)是 U 上的一個(gè)普通等價(jià)關(guān)系，可令由構(gòu)造的對(duì)應(yīng)商空間為［U］［5］。

命題2 設(shè)R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，令 Rλ={(u，v)/R(u，v)≥λ}，0≤λ≤1，則 Rλ是U上的一個(gè)普通等價(jià)關(guān)系，稱(chēng)Rλ為R的截關(guān)系，令由 Rλ構(gòu)造的對(duì)應(yīng)商空間為 U(λ)［5］。

定義10 設(shè)R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，Rλ構(gòu)造的對(duì)應(yīng)商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則稱(chēng)U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)為 Rλ的粒。

定義11 根據(jù)定義2和定義10，Rλ的粒度定義為

式中:當(dāng)定義9中U為離散論域時(shí)，A 表示A的基數(shù)，當(dāng)U為連續(xù)論域時(shí)，A =∫Ad x，下同。

定理2 設(shè)R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，且由Rλ構(gòu)造的對(duì)應(yīng)商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則有

證明 由定理1同理可得。

性質(zhì)4 設(shè)R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，Rλ是 R 的截關(guān)系，則有 0≤λ2≤λ1≤1Rλ1＜Rλ2U(λ2)是 U(λ1)的商集。于是商空間族{U(λ)/0≤λ≤1}按照商集的包含關(guān)系構(gòu)成一個(gè)有序鏈，稱(chēng){U(λ)/0≤λ≤1}為U上的一個(gè)分層遞階結(jié)構(gòu)［5］。

性質(zhì)5 設(shè)R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，Rλ1，Rλ2是 R 的截關(guān)系，且有 Rλ2＞Rλ1，則有 G(Rλ1)＜G(Rλ2)。

命題3 給定一個(gè)U上的模糊等價(jià)關(guān)系，則對(duì)應(yīng)一個(gè)U上的分層遞階結(jié)構(gòu)［5］。

定義12 設(shè)R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，可得到一個(gè)與它等價(jià)的U的商空間［U］上的歸一化等腰距離d。對(duì)a∈［U］，定義μa(b)=1－d(a，b)，b∈［U］。那么每個(gè) μa就定義了［U］上一個(gè)模糊集。由這些模糊集構(gòu)成的空間就對(duì)應(yīng)于模糊等價(jià)關(guān)系R的模糊商空間{μa/a∈［U］}，或稱(chēng)其為U上的一個(gè)模糊知識(shí)基。注:U的商空間［U］上的歸一化等腰距離的相關(guān)概念見(jiàn)文獻(xiàn)［5］。

定義13 設(shè)R1，R2是U上的兩個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，若對(duì)(u，v)∈(U×U)，有 R1(u，v)≤R2(u，v)，則稱(chēng) R2比 R1細(xì)，記為 R1≤R2。

定理3 在上述定義的關(guān)系“＜”下，所有U上的模糊商空間全體構(gòu)成一個(gè)完備半序格R［5］。

證明略。

4 PAD情感空間的粒模型

PAD空間中的三個(gè)坐標(biāo)軸具體量值含義為:+P代表愉悅，－P代表不愉悅;+A代表激活，－A代表不激活;+D代表優(yōu)勢(shì)，－D代表沒(méi)有優(yōu)勢(shì)，每個(gè)維度上的數(shù)值范圍為［－1，+1］，－1表示該維度上的值比較低，相反+1表示該維度上的值比較高，例如希望的坐標(biāo)是(0．2，0．2，－0．1)。通過(guò)這種量化表示，OCC(由 Ortony，Clore，Collins三位學(xué)者提出的情感模型，稱(chēng)為OCC模型，在該模型中，他們根據(jù)不同的情感刺激提出了22類(lèi)情感)中的情感類(lèi)型與PAD三維情感模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系［6］如表1所示。

將PAD空間的情感狀態(tài)通過(guò)粒模型來(lái)描述，首先是將P，A，D三維坐標(biāo)構(gòu)成的空間作為所要研究的對(duì)象論域。該論域由表1中的24個(gè)離散情感狀態(tài)構(gòu)成。

定義14 設(shè)PAD情感空間論域?yàn)閁:P×A×D，在U:P×A×D 上有屬性函數(shù)f:P×A×D→E，E 為情感狀態(tài)空間。拓?fù)銽是U:P×A×D上各元素之間的關(guān)系。則(U，f，T)就是PAD情感空間上所要研究的對(duì)象。

定義15 設(shè)R是U:P×A×D上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則由R產(chǎn)生的劃分構(gòu)成U:P×A×D的一個(gè)商集［U］。在［U］上定義的商拓?fù)洌跿］為［T］={u/p－1(u)∈T，u∈［U］}，其中，p:U→［U］是自然投影;p－1是p的逆變換。在［U］上構(gòu)造出屬性函數(shù)［f］，則稱(chēng)三元組(［U］，［f］，［T］)為(U，f，T)的PAD情感商空間。

定義16 設(shè)R∈F(U×U)，若滿足:

(1) u∈U，R(u，．u)=1

(2) u，v∈U，R(u，．v)=R(v，．u)則稱(chēng)R是U上的一個(gè)模糊相似關(guān)系。

表1 OCC情感類(lèi)型與PAD三維情感模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab．1 Corresponding relationship between emotions of OCC and the 3-dimension emotional model of PAD

定理 4 令 R(x，y)=1－d(x，y)，其中 d(x，y)是U:P×A×D上歐氏歸一化距離，則R是U:P×A×D上的一個(gè)模糊相似關(guān)系。

證明 R(x，x)=1－d(x，x)=1滿足定義 16的條件(1);

R(x，y)=1－d(x，y)=1－d(y，x)=R(y，x)滿足定義16的條件(2)。證畢。

定理5 設(shè)模糊矩陣A，則A的傳遞閉包t(A)是

證明略。

定理6 模糊相似矩陣R的傳遞閉包是模糊等價(jià)矩陣，且

證明略。

定理7 設(shè)R是模糊相似矩陣，則存在一個(gè)最小自然數(shù) k(k≤n)，使得傳遞閉包 t(R)=于任何自然數(shù) b≥k，都有 Rb=Rk，此時(shí)t(R)=是模糊等價(jià)矩陣［7］。

證明略。

定理 8 令 R(x，y)=1－d(x，y)，其中 d(x，y)是 U:P×A×D 上歐氏歸一化距離，由 R(x，y)組成矩陣 R∈μ24×24，其中 μi×j=R(xi，yj)，則有模糊等價(jià)矩陣t(R)=，k(k≤n)。

證明:由定理4和定理7可證。

根據(jù)表1和定理4計(jì)算PAD情感空間論域U:P×A×D上的模糊相似關(guān)系矩陣。

根據(jù)定理8和式(7)求得R對(duì)應(yīng)的模糊等價(jià)矩陣。

定義17 R是由式(8)確定的模糊等價(jià)關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，Rλ構(gòu)造的對(duì)應(yīng)情感商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則稱(chēng) U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)為 Rλ的情感粒。

定義18 根據(jù)定義2和定義17，Rλ的情感粒度定義為

式中: A 表示A的基數(shù)。情感粒度是衡量PAD情感空間上的情感粒粗細(xì)度的尺度之一。

定理9 R是由式(8)確定的模糊等價(jià)關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，且由Rλ構(gòu)造的對(duì)應(yīng)情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則有

證明 由定理1同理可得。

定義19 R是由式(8)確定的模糊等價(jià)關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，且由Rλ構(gòu)造的對(duì)應(yīng)情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則Rλ在U的子集構(gòu)成的σ－代數(shù)上定義的概率分布為

定義20 R是由式(8)確定的模糊等價(jià)關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，且由Rλ構(gòu)造的對(duì)應(yīng)情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，定義Rλ的PAD情感空間上的情感熵H(R)為

情感熵也是衡量PAD情感空間上的情感粒粗細(xì)度的尺度之一。

例1 對(duì)于式(8)的模糊等價(jià)矩陣，求取該模糊等價(jià)矩陣的截關(guān)系矩陣Rλ，λ=0．87時(shí)的情感商空間、情感粒度、情感熵。

解:

由式(8)和 Rλ，λ=0．87 可得

由定義15得R0．87等價(jià)截關(guān)系下的一個(gè)情感商集［U］:P×A×D 為:

{{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛(ài)，傲慢，輕松，滿意}，{發(fā)怒，厭惡，憎恨，責(zé)備}，{失望，痛苦，害怕，恐懼，同情，懊悔，憤恨，羞愧}，{幸災(zāi)樂(lè)禍}}

上式中:{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛(ài)，傲慢，輕松，滿意}是原情感空間U:P×A×D上比較正性情感的集合，{發(fā)怒，厭惡，憎恨，責(zé)備}是原情感空間U:P×A×D上比較負(fù)性且直接作用于客體的情感的集合，{失望，痛苦，害怕，恐懼，同情，懊悔，憤恨，羞愧}是原情感空間U:P×A×D上比較負(fù)性且比較傾向于內(nèi)省的情感的集合，{幸災(zāi)樂(lè)禍}是原情感空間U:P×A×D上無(wú)利益沖突時(shí)表現(xiàn)出的負(fù)面情感的集合，該結(jié)果證明了通過(guò)R0．87等價(jià)截關(guān)系求得的商集，能夠有效地將原空間提升到更宏觀的層面進(jìn)行描述和總結(jié)。

情感商空間的情感粒度

情感熵

例2 對(duì)于式(8)的模糊等價(jià)矩陣，分別取該模糊等價(jià)矩陣的截關(guān)系矩陣 Rλ1，λ1=0．87 和 Rλ2，λ2=0．9，試比較兩者產(chǎn)生的情感商空間的情感粒粗細(xì)度。

解:

由式(8)和 Rλ，λ=0．9 可得

由定義15得R0．87等價(jià)關(guān)系下的一個(gè)情感商集［U］:P×A×D］為:

{{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛(ài)，傲慢}，{發(fā)怒，憎恨}，{厭惡}，{失望，痛苦，恐懼，同情，懊悔，羞愧}，{害怕}，{幸災(zāi)樂(lè)禍}，{輕松，滿意}，{責(zé)備}，{憤恨}}

由定義 3、性質(zhì) 2、性質(zhì) 3 和 G(R0．87) ＞G(R0．9)、H(R0．87)＜H(R0．9) 可得 R0．87的情感商空間比 R0．9的情感商空間粗。

比較 R0．87的情感商空間和 R0．9的情感商空間，可以發(fā)現(xiàn) R0．87的情感商空間是 R0．9的情感商空間集合的集合，也證明了R0．87的情感商空間是R0．9的情感商空間的商空間。

5 結(jié) 論

情感的可計(jì)算問(wèn)題一直是人工智能領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。情感計(jì)算的關(guān)鍵是將情感投影到特定空間上進(jìn)行量化，并建立起有效的數(shù)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，計(jì)算結(jié)果可以為后續(xù)的情感推理模型提供依據(jù)。本文以基于商空間理論的粒模型和粒計(jì)算為方法，對(duì)PAD情感模型進(jìn)行了粒的描述。從粒的角度，定性和定量地刻畫(huà)了PAD情感空間里的情感狀態(tài)。通過(guò)實(shí)例證明了基于商空間理論的粒模型在描述PAD情感狀態(tài)上具有一定的有效性和可行性。目前本文只是對(duì)PAD情感模型作了初步的粒描述。未來(lái)還將研究通過(guò)基于商空間理論的粒模型和粒計(jì)算的方法，定性和定量地描述情感在不同商空間上的拓?fù)潢P(guān)系以及情感在不同商空間上的運(yùn)算法則，從而實(shí)現(xiàn)情感在不同層面(商空間)上的遷移、合成和分解等。

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