白亮亮,沙世名

(蘭州交通大學機電工程學院,甘肅蘭州 730070)

三自由度直線篩分機系統(tǒng)的動力學分析*

白亮亮,沙世名

(蘭州交通大學機電工程學院,甘肅蘭州 730070)

用半解析法推導出了一類直線篩分機系統(tǒng)的全響應及Poincaré映射在不動點處的線性化矩陣。基于Poincaré映射法和Floquet理論對系統(tǒng)的Flip分岔、環(huán)面倍化分岔進行了分析;用四階變步長龍格-庫塔法編程仿真了系統(tǒng)的運動規(guī)律。研究該系統(tǒng)有利于提高篩分機的篩分效率。

篩分機;Poincaré映射;分岔;混沌

0 引 言

機械設備由于配合不當或磨損將導致零部件之間出現間隙,而間隙的存在會引起零部件之間的碰撞,影響系統(tǒng)工作性能。如火車輪軌間的碰撞會影響列車的運行平穩(wěn)性;系統(tǒng)振動參數的優(yōu)劣會影響煤炭、礦石等篩分機械的篩分效率[1];齒輪、軸承的碰撞可能給機械設備的正常使用造成隱患,誘發(fā)事故。文獻[2]分析了一類多自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)周期碰撞的穩(wěn)定性、分岔及混沌的變遷規(guī)律。文獻[3]理論分析并且數值驗證了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)的周期分岔與叉式分岔。文獻[4]對一種在超諧參數激勵和非線性周期參數激勵下的機械系統(tǒng)進行了研究,發(fā)現了新的動力學現象。文獻[5]分析了一類四自由度系統(tǒng)不變環(huán)面失穩(wěn)與混沌的形成過程。文獻[6]采用六維龐加萊映射法研究了一類三自由度碰撞系統(tǒng)的Hopf-flip余維二分岔問題。文獻[7]討論了一類有彈性沖擊的弱阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻[8]運用理論分析與仿真結合的方式對一類沖擊系統(tǒng)的動力學行為進行了系統(tǒng)的研究。

筆者將工業(yè)設備中的一類直線篩分機簡化成一種三自由度垂向振動模型,運用變步長四階Runge-Kutta法對系統(tǒng)的二階微分方程組進行求解,用Poincaré映射理論和仿真模擬法對該系統(tǒng)在特定參數下的Flip分岔、Neimark-Sacker分岔與環(huán)面倍化分岔向混沌演化的過程進行研究,并且給出了系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)和發(fā)生不同分岔時的具體參數。

1 系統(tǒng)的周期運動及Poincaré映射

圖1為直線篩分機的簡化力學模型。

圖1 直線篩分機簡化模型

質量塊M1通過剛度系數為K1的線性彈簧和阻尼系數為C1的線性阻尼器交接于底部支撐平面,質量塊M3由剛度系數為K3的線性彈簧和阻尼系數為C3的線性阻尼器懸掛于上支撐平面,M2借助于彈簧K2、阻尼系器C2器懸掛在質量塊M1下。假設三個質量塊只沿著鉛垂方向振動,并分別受到簡諧激勵Pisin(ΩΤ+τ)(i=1、2、3)的驅動。彈簧處于平衡位置時建立如圖1所示坐標系,此時M1與M3之間的間距為D,當M1與M3的位移滿足條件:X1-X3=D時,M1與M3第一次發(fā)生碰撞。碰后瞬時,M1與M3改變速度方向,又以新值開始運動,然后又相撞,這樣重復運動。假定力學模型中阻尼器均是Rayleigh型比例阻尼,用恢復系數R確定碰撞過程。

圖1所示系統(tǒng)在隨意相鄰兩次碰撞間的無量綱微分方程為:

式中:x·i-,x·i+(i=1,3)表示質塊M1與M3碰撞前后的瞬時速度,R為恢復系數?！?”表示無量綱時間t的一階導數。式(1)中,無量綱量化過程如下:

令ψ表示方程式(1)的正則模態(tài)矩陣,ω1和ω2代表系統(tǒng)的固有頻率,取ψ為變頻矩陣,并且進行坐標變換:

在對該模型的分析過程中,采用Floquet理論來判斷系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性及分岔類型。

2 通向混沌的道路

2.1 由Flip分岔通向混沌的道路

選該系統(tǒng)的一組參數:μm2=2.55,μm3=5.65,μk2=0.05,μk3=3.64,ζ=0.002,f10=1.0,f20=0.0,f30=0. 0,R=0.47,d=0.6,并且令ω為系統(tǒng)的分岔參數,仿真結果表明當ω＜0.038 85時,系統(tǒng)具有一個穩(wěn)定的周期1,振子在相空間的運動軌跡為一條封閉的曲線,見圖2(a);當ω逐漸遞增至ω=0.038 85時,該系統(tǒng)突然發(fā)生Flip分岔,由周期1運動轉變成周期2的軌道,見圖2(b);當ω=0.03921時,系統(tǒng)發(fā)生周期倍化分岔,進行周期4運動,在相空間表現為4條閉軌跡,見圖2(c);當激振頻率增大到 ω=0.039 67時,系統(tǒng)的軌跡再次倍化,進行周期8運動;模擬發(fā)現系統(tǒng)會一直倍化下去,直到當 ω=0.041 21時,系統(tǒng)進入混沌狀態(tài),如圖2(d);圖2(f)為系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時的時間歷程圖,此時系統(tǒng)軌道看似雜亂無序,實則具有自相似性,即它們的運動趨勢是相似的。

圖2 相圖和時間歷程圖

2.2 由環(huán)面倍化分岔通向混沌的道路

如圖3為Poincaré映射投影圖。

圖3 Poincaré映射投影圖

另取系統(tǒng)的一組參數:μm2=0.55,μm3=0.65,μk2=0.65,μk3=0.343 5,ζ=0.02,f10=1.0,f20=0.0,f30= 0.0,R=0.470 8,d=0.3,當ω＜0.053 729時,系統(tǒng)具有周期4點軌道,見圖3(a);當ω=0.053 729時,周期4運動發(fā)生Neimark-Sacker分岔,系統(tǒng)做擬周期運動,存在4×Τ1環(huán)面,見圖3(b);當ω繼續(xù)增大,不變圈逐漸失去光滑性,系統(tǒng)的擬周期運動受到干擾,如圖3(c);當ω=0.054 045時,擬周期運動突然發(fā)生環(huán)面倍化分岔,形成4×2Τ1環(huán),如圖3(d);隨后當ω繼續(xù)增大,環(huán)面會持續(xù)發(fā)生倍化。當ω=0.054 048時環(huán)面倍化成4×4Τ1環(huán)面,如圖3(e);當分岔參數增大到ω=0.058 093時,Poincaré截面上的環(huán)面將繼續(xù)發(fā)生環(huán)面倍化分岔,最后演變?yōu)榛煦鐮顟B(tài),如圖3(f)所示。(上述表達式中Τ1表示吸引不變圈,p×qΤ1表示環(huán)面數為p,環(huán)面倍化次數為q)。

3 結 論

在恰當的系統(tǒng)參數下,直線振動篩系統(tǒng)存在周期倍化分岔和環(huán)面倍化分岔通向混沌的道路。

由于直線振動篩分離效率的強弱與它的振幅、頻率和激振力有密切的關系。選取較大的振幅和激振力會提高篩面和物料的碰撞力,從而增大物料跳動的速度,導致物料與物料之間的撞擊、磨損加劇,減小物料的顆粒度,可大大降低振動篩的堵塞率;當振動篩選用較大的振動頻率時,可以提高物料單位時間內在篩面上的跳動次數,使得物料穿過篩孔的概率增大,也可以提高分離效率;當振動篩與物料具有相同的振動頻率時,物料的分離效果最佳。因此,通過對此類系統(tǒng)在不同參數下的動力學特性進行分析,獲得不同頻率段系統(tǒng)的運動狀態(tài),可在一定程度上幫助人們選擇更加恰當的振動特性參數(頻率、振幅和振動方向角等),避免振動篩分機運動在混沌狀態(tài),比如,在對篩分機進行結構設計時盡量選擇周期運動時的系統(tǒng)參數,以提高振動篩的分離效率,使該類設備運行在最佳狀態(tài),更好地服務于生產。

[1] 張路霞,李云峰.振動篩篩分效率的影響因素分析[J].煤礦機械,2008,29(11):74-76.

[2] 羅冠煒,俞建寧,堯曉明,等.含間隙振動系統(tǒng)的周期運動和分岔[J].機械工程學報,2006,42(2):87-95.

[3] 張永艷.一類三自由度含間隙系統(tǒng)的動力學分析[J].機械研究與應用,2012,6(1):1-3.

[4] Zhou Liangqiang,Chen Faqi,Chen Yushu.Bifurcations and Chaotic Motions of a Class of Mechanical System with Parametric Excitations [J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,2015(10): 502-510.

[5] 李萬祥,張永艷.一類四自由度系統(tǒng)碰撞問題[J].機械強度, 2013,30(9):11-14.

[6] 成 龍,李萬祥.高維復雜碰撞振動系統(tǒng)的概周期環(huán)面分岔與混沌[J].機械強度,2013,35(5):594-598.

[7] Knudsen J,Massih A R.Dynamic Stability of Weakly Damped Oscillators with Elastic Impacts and Wear[J].Journal of Sound and Vibration,2003(263):175-204.

[8] Luo Guanwei,Xie Jianhua.Bifurcation and Chaos in a System with Impact[J].Physica D,2001(148):183-200.

Dynamics Analysis of Three-Degree-of-Freedom Shaker Screening System

BAI Liang-liang,SHA Shi-ming
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou Gansu 730070,China)

In this paper,the mathematical expression of full response and linearization matrix of the Poincaré mapping at the fixed point are deduced by using the semi-analytical method.Based on the Poincare mapping method and the Floquet theory, flip bifurcation and torus doubling bifurcation are analyzed.The law of motion is simulated by the forth order variable step Runge-Kutta method.It is helpful to improve the sieving efficiency of the screening machine by studying this system.

screening machine;Poincaré map;bifurcation;chaos

TH113.1

A

1007-4414(2015)05-0011-03

10.16576/j.cnki.1007-4414.2015.05.004

2015-08-23

白亮亮(1990-),男,甘肅天水人,在讀碩士,研究方向:車輛工程、非線性振動。