邢道玉

數(shù)學(xué)之美，已有無(wú)數(shù)論述。大數(shù)學(xué)家如龐加萊等一再指出，數(shù)學(xué)有簡(jiǎn)約美、和諧美、奇異美、冷峻美等，顯示出冰冷的美麗。數(shù)學(xué)美學(xué)是關(guān)于數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)學(xué)審美活動(dòng)的科學(xué)。數(shù)學(xué)審美既存在于數(shù)學(xué)創(chuàng)造之中，又存在于數(shù)學(xué)教育之中，尤其是數(shù)學(xué)教育，其中充滿數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)。凡接受數(shù)學(xué)教育的人都不同程度地接受到數(shù)學(xué)美的熏陶。然而，讓數(shù)學(xué)美走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂并非僅僅靠專家學(xué)者的呼吁和論證就能做到，更重要的是依靠我們廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師使其落實(shí)。法國(guó)藝術(shù)家羅丹說(shuō)：“生活中不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)?！北救私Y(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)高中數(shù)學(xué)中的美及其價(jià)值做初步探討。

1 數(shù)學(xué)概念及定理中的“美”

1.三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，這部分知識(shí)往往給初學(xué)者以內(nèi)容繁雜，公式眾多，變幻莫測(cè)的感覺(jué)。如果用美學(xué)的眼光審視，三角函數(shù)幾乎處處都閃耀美的光彩。三角函數(shù)的概念中就隱藏?cái)?shù)學(xué)中的美。

設(shè)是一個(gè)任意大小的角，角的終邊上任意一點(diǎn)P（x，y），它與原點(diǎn)的距離為r（r>0）.則

這六種三角函數(shù)都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，這與高中階段學(xué)習(xí)的其它基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相比較，顯示了三角函數(shù)的特殊性——奇異美；這六種三角函數(shù)中有三對(duì)的比值成倒數(shù)關(guān)系，定義中包含了均衡美；三角函數(shù)值均可用單位圓中的有向線段表示出來(lái)，從而使人們能直觀形象的感覺(jué)到函數(shù)值隨自變量變化而變化的情況，這由說(shuō)明了三角函數(shù)的定義具有簡(jiǎn)潔美和形象美；三角函數(shù)是以角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，它是三角與代數(shù)，三角與幾何的內(nèi)容相互融合，定義本身隱含著和諧美；三角函數(shù)建立的理論基礎(chǔ)是和諧的相似三角形，從抽象的比值易于觀察的三角函數(shù)，應(yīng)用幾何中最美的圖形——圓。由此可見(jiàn)，三角函數(shù)的定義為三角的發(fā)展奠定了一個(gè)美得根基。

2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：

定理顯示了統(tǒng)一美；無(wú)論什么形狀的三角形它都成立，要解決三角形中邊角的關(guān)系就會(huì)想到余弦定理。定理的變形顯示了定理簡(jiǎn)捷美、和諧美、對(duì)稱美；三邊輪換公式總成立，對(duì)于初學(xué)者便于記憶。定理的變式變得很協(xié)調(diào)，對(duì)稱，一邊為角而公式的另一邊為邊。應(yīng)用中便于化簡(jiǎn)，一邊由角化邊一邊由邊化角。勾股定理也只不過(guò)是它的特例，它是勾股定理的一般形式。

2 勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美

勾股定理對(duì)它的欣賞含有四個(gè)維度：外表直觀之秀，內(nèi)涵深刻之慧，文化底蘊(yùn)之濃，理性思考之精。首先是直觀之美：趙爽之圖、與外星人作無(wú)文字交流之圖，簡(jiǎn)潔明快，賞心悅目。其次是內(nèi)涵之美；條件僅僅是直角三角形，卻有直角邊平方之和等于斜邊的平方。它還是幾何、代數(shù)、三角交匯之中心點(diǎn)，細(xì)細(xì)琢磨，體現(xiàn)了和諧之妙、智慧之美。第三是人文之美，勾股定理在數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中，依附于不同文化，進(jìn)行過(guò)大量的證明，顯示了人類文明的共同追求。2002年在北京舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)以趙爽作為會(huì)標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了古代和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)巧妙的對(duì)接。最后，則是理性之美。好的數(shù)學(xué)一定是具有拓展、變形、升華的發(fā)展通道。勾股定理的觸角伸向勾股數(shù)的研究，以至聯(lián)系到20世紀(jì)末才解決了費(fèi)馬大定理。

2 函數(shù)圖象中和幾何圖形的數(shù)學(xué)美。

1.圖象之美。

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，它們形似起伏的波浪，周而復(fù)始地伸向兩方；與的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們分別是由被互相平行的直線多支相同的曲線所組成。它們形狀似飛流的

瀑布上下立地頂天。

正弦性函數(shù)的圖象正弦曲線的發(fā)展，它內(nèi)含了一組組和諧有序的美麗的圖案，這些圖案不僅讓人賞心悅目，而且也使人浮想聯(lián)翩。因?yàn)橥ㄟ^(guò)圖象之間的觀察比較，可使人們從形的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到不同三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且也為弄清一般函數(shù)圖象的變換規(guī)律提供了依據(jù)。

2.數(shù)學(xué)欣賞，往往從欣賞幾何圖形外表的美觀開(kāi)始，然后一步步地欣賞數(shù)學(xué)內(nèi)涵的美妙。這需要?jiǎng)e具慧眼，用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行構(gòu)思。圓和球，是最美的幾何圖形。它有無(wú)限多的對(duì)稱軸；任意角度旋轉(zhuǎn)都對(duì)稱；任意直徑為軸的反射對(duì)稱。所以它既是軸對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。畢德哥拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形?！倍鴪A和球形正是幾何中對(duì)稱美的杰出體現(xiàn)。圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的，也是關(guān)于過(guò)圓心的任意一條直線對(duì)稱。球形既是點(diǎn)對(duì)稱，又是線對(duì)稱，還是面對(duì)稱。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才夠成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也給我們帶來(lái)豐富的自然美和多彩的生活美。中國(guó)古代有天圓地方一說(shuō)。太極圖就是“以圓象道體?！狈鸾?jīng)中更有“圓通”“圓覺(jué)”的說(shuō)法。

哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美。每一個(gè)公式就是一首詩(shī)，數(shù)學(xué)中的和諧、統(tǒng)一、對(duì)稱美、簡(jiǎn)單美及奇異美都是客觀世界美的特征在數(shù)學(xué)中的反映。數(shù)學(xué)美內(nèi)涵豐富，美學(xué)思想方法有助于數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的提高，有助于數(shù)學(xué)的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分挖掘美的因素。字母表示數(shù)字，文字語(yǔ)言簡(jiǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，黃金分割的美，圖形的對(duì)稱美，圓錐曲線的和諧統(tǒng)一美等不斷地提示展現(xiàn)給學(xué)生。以數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的美去感染學(xué)生，培養(yǎng)他們審美的意識(shí)，陶冶他們審美的情操，激發(fā)學(xué)生追求數(shù)學(xué)美的意愿，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。