潘晨

摘 要：提出基于全變差（TV）模型的圖像去噪算法，并給出針對(duì)該模型的Bregman迭代正則化算法，在此基礎(chǔ)上提出了快速迭代方法。實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明，該算法改善了全變差模型去噪中出現(xiàn)的收斂速度慢、塊效應(yīng)問(wèn)題，也較好的保留了圖像中的邊緣信息，該方法要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的全變差圖像去噪方法。

關(guān)鍵詞：全變差；圖像去噪；Bregman算法

圖像去噪是圖像處理的一個(gè)重要部分。由于物理?xiàng)l件的限制、實(shí)際設(shè)備的不完善以及人為因素，所獲得的圖像不可避免的存在各種噪聲，噪聲的存在將影響圖像處理后續(xù)工作的正常進(jìn)行。圖像去噪則是利用各種方法從獲得的含噪圖像中去除噪聲部分，并盡可能保留圖像邊緣等細(xì)節(jié)特征。圖像去噪的方法有很多，在頻域處理中，有小波去噪；在空間域處理中，有以高斯濾波為代表的線性濾波，也有以中值濾波為代表的非線性濾波。高斯濾波因其計(jì)算簡(jiǎn)單而成為一種用途非常廣泛的去噪方法，但由于其同時(shí)將噪聲與信號(hào)進(jìn)行了處理，使得其在去噪的同時(shí)也降低了圖像的對(duì)比度，同時(shí)還造成圖像邊緣的漂移。為了改進(jìn)這一問(wèn)題，提出許多非線性去噪方法，其中基于偏微分方程的圖像去噪是具有代表性的一類方法。該方法從一個(gè)新的角度來(lái)闡述圖像去噪過(guò)程，其中最具代表性是PM（Perona-Malik）方程和全變分算法（Total Variation，TV）。

本文討論的主要是TV算法。Rudin、Osher和Fatime在1992年提出的全變差正則化模型（TV模型）是迄今最為成功的圖像去噪模型之一，在圖像去噪領(lǐng)域得到廣泛的研究與運(yùn)用。TV模型的求解一直是學(xué)者的研究重點(diǎn)，Rudin等人提出的人工時(shí)間演化算法是目前使用最為廣泛的求解算法，即利用變分原理，求解TV模型對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange偏微分方程。由于該P(yáng)DEs存在非線性圖像數(shù)據(jù)量龐大的特點(diǎn)，受CFL影響，在圖像的平坦區(qū)域該算法收斂速度很慢。為消除CFL的影響，Vogel和Oman提出固定點(diǎn)迭代算法，直接求解穩(wěn)定的Euler-Lagrange偏微分方程，該方法只線性收斂，收斂速度慢的問(wèn)題仍然存在。Chan等使用TV模型的雙變量描述，得到具有魯棒性的求解方法。上述各種求解算法均存在收斂速度慢的問(wèn)題。本文將在研究Bregman迭代正則化的基礎(chǔ)上，建立求解TV模型的快速迭代算法。

1 全變差正則化模型

由于噪聲和圖像的細(xì)節(jié)特征主要集中于圖像高頻部分，因此在對(duì)圖像進(jìn)行去噪的過(guò)程中，常會(huì)使圖像的某些重要特征（如邊緣、細(xì)小紋理等遭到破壞）。對(duì)于加性噪聲模型，令u為清晰的原始信號(hào)，為含噪的觀測(cè)信號(hào)，即：

=u+n

其中n為具有零均值、標(biāo)準(zhǔn)差為的高斯白噪聲。

與圖像去噪的逆濾波方法、偽逆方法和最大熵方法相比，TV方法在保護(hù)圖像邊緣和平滑噪聲的問(wèn)題上更勝一籌。TV方法通過(guò)引入一定的約束將圖像去噪轉(zhuǎn)換成適定問(wèn)題，并能確保圖像去噪結(jié)果的存在性、唯一性，且具有受噪聲干擾較小的優(yōu)點(diǎn)。

RUDIN等研究發(fā)現(xiàn)，含噪聲圖像的總變差（如圖1）明顯比無(wú)噪圖像的總變差大，因此將總變分定義為梯度幅值的積分：

其中：分別為圖像u在x和y方向的梯度；為圖像u的定義域。降低總變差則能降低噪聲，因此，圖像去噪問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為以下最小化問(wèn)題

圖1表明，全變差最小化可以降低噪聲，但不能對(duì)解進(jìn)行平滑作用，這樣將會(huì)造成在最小化全變差過(guò)程中，圖像邊緣被保存。如果將作為平滑性的度量，則對(duì)于圖1中的3個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，有：

即曲線3是最平滑的，曲線2次之，曲線1最不平滑。在最小化時(shí)，大的跳變將最先被平滑。在圖像去噪過(guò)程中，全變差具有保留圖像邊緣的作用。

由Lagrange乘子法則，全變差最小去噪問(wèn)題相當(dāng)于求解E（u）的最小化問(wèn)題：

式中，為正則化參數(shù)。

2 構(gòu)建快速迭代算法

為提高圖像去噪的效果，將全變差圖像去噪模型轉(zhuǎn)化成如下模型：

將輔助變量，引入到式中，那么上式等價(jià)于如下的有約束最優(yōu)化問(wèn)題：

將上式轉(zhuǎn)化為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，以方便對(duì)上式約束問(wèn)題進(jìn)行求解，即

其中，和是引入的輔助變量。在Goldstein和Osher提出的分裂Bregman迭代算法的基礎(chǔ)上，求解各向異性TV去噪模型。首先將上面的問(wèn)題分解成為以下幾個(gè)子問(wèn)題：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

Jia已證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)于給定的，子問(wèn)題（1）等價(jià)于

（6）

對(duì)（6）式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，可得

（7）

由于，那么（7）式可轉(zhuǎn)換成以下形式：

又由（4）、（5）兩式得到

與，

則

即

（8）

設(shè)去噪圖像的初始條件為：，那么根據(jù)（8）式可以得到（1）的最終求解格式

采用shrink算子來(lái)求解（2）、（3）兩子問(wèn)題，即

又因?yàn)椋敲词剑?—5）可簡(jiǎn)化為

，

對(duì)于，將算子cut定義如下

令，，可得快速迭代算法（Fast Iteration Algorithm， FIA）

（9）

（10）

（11）

Jia已證明：對(duì)于，且由迭代步驟（9），（10）與（11）可得，當(dāng)時(shí)，有。因此可以保證快速迭代算法收斂到全TV模型的最優(yōu)解，即。

3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了證明快速迭代算法的高效性，現(xiàn)在在Matlab 7.0的環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用峰值信噪比與平均結(jié)構(gòu)相似度來(lái)評(píng)價(jià)圖像去噪質(zhì)量。用Lena、Cameraman圖像為例，分別用分裂Bregman迭代算法與快速迭代算法來(lái)數(shù)值計(jì)算。實(shí)驗(yàn)仿真中，輸入圖像的大小都是256256，灰度級(jí)是256，加性噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差分別是20、30和40。迭代次數(shù)是10，參數(shù)分別是0.08，迭代過(guò)程滿足以下停機(jī)準(zhǔn)則：

10-4

圖2 去噪前后的Lena圖像（噪聲標(biāo)準(zhǔn)差δ=20）

圖2 去噪前后的Cameraman圖像（噪聲標(biāo)準(zhǔn)差δ=30）

表1 圖像去噪方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較（時(shí)間單位：s）

測(cè)試圖像 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 含噪圖像 分裂Bregman

算法 快速迭代

算法

Lena PSNR 21.446 29.019 30.082

MSSIM 0.4373 0.8301 0.8368

Cameraman PSNR 18.630 26.249 28.341

MSSIM 0.2962 0.6813 0.7633

MSSIM 0.6273 0.8811 0.9075

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文提出的基于Bregman迭代正則化方法的快速迭代求解算法不僅能快速去除噪聲，還能保留圖像邊緣等細(xì)節(jié)信息，所得去噪圖像在主觀視覺(jué)效果、峰值信噪比和平均結(jié)構(gòu)相似度等方面都有非常大的提高。

參考文獻(xiàn)

[1] 吳斌，吳亞?wèn)|，張紅英. 基于變分偏微分方程的圖像復(fù)原技術(shù)[M]. 北京： 北京大學(xué)出版社， 2008： 153-174.

[2] RUDIN L， OSHER S. FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J]. Physical D， 1992， 60（1/4）： 259-268.

[3] Rosenfeld A ， Kak A C. Digital Picture Processing. New York. USA： Academic Press， 1982.