單澤彪，石要武，單澤濤，石屹然，史紅偉

（1.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，長春130022；2.諾博橡膠制品有限公司，河北 保定072550；3.長春理工大學(xué)電子信息工程學(xué)院，長春130012）

0 引 言

橡膠壩充排水控制系統(tǒng)的恒定流量充排水控制對橡膠壩工程設(shè)施具有重要的意義。工業(yè)過程控制中流量控制的方式一般都是采用交流變頻調(diào)速器調(diào)節(jié)水泵電機(jī)的轉(zhuǎn)速，繼而實(shí)現(xiàn)輸出流量的平滑無級調(diào)節(jié)。當(dāng)需要對這類由通用變頻器加感應(yīng)電機(jī)構(gòu)成的變頻調(diào)速系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，采用常規(guī)PID 往往難以達(dá)到預(yù)定的控制效果［1－2］，針對這類問題，杜欣慧等［1］提出了一種基于參數(shù)自調(diào)整模糊PID 控制的交流閉環(huán)變頻調(diào)速系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法；戴先中等［2］采用了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆控制的方法，使得這種變頻調(diào)速系統(tǒng)獲得了更加優(yōu)良的運(yùn)行性能。然而上述研究都是基于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化時(shí)的情況。

由于運(yùn)行環(huán)境的復(fù)雜性和充排水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)，橡膠壩充排水系統(tǒng)不僅表現(xiàn)出強(qiáng)非線性和大滯后性，而且還屬于一種變結(jié)構(gòu)、變參數(shù)的控制系統(tǒng)。針對此問題，本文提出采用能滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性要求的分?jǐn)?shù)階PIλDμ對其進(jìn)行充排水恒流控制。分?jǐn)?shù)階PIλDμ是把傳統(tǒng)整數(shù)階PID 的階次推廣到分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域，它不僅僅是比整數(shù)階PID 控制器多了兩個(gè)自由度——積分階次和微分階次，使其具有更大的調(diào)節(jié)范圍，更重要的是它具有比整數(shù)階PID 更好的控制品質(zhì)及更強(qiáng)的魯棒性［3］。目前已提出的幾種重要的分?jǐn)?shù)階控制器有TID 控制器［4］、CRONE控制器［5］、P（ID）μ控制器［6］以 及PIλDμ控 制 器［7］等。其 中 分 數(shù) 階PIλDμ控制器在一定范圍內(nèi)對本身和被控對象的參數(shù)變化不敏感，在穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能方面具有整數(shù)階PID 控制器不可比擬的優(yōu)勢。

在分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器應(yīng)用研究方面，人們也做了不少的工作，如文獻(xiàn)［8］針對二階慣性系統(tǒng)的速度控制設(shè)計(jì)了一個(gè)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器、文獻(xiàn)［9］在一般時(shí)滯系統(tǒng)方面進(jìn)行了分?jǐn)?shù)階魯棒控制研究、文獻(xiàn)［10］針對車輛方向控制進(jìn)行了分?jǐn)?shù)階PDμ控制器的研究。然而，學(xué)者們的研究大多都是針對不同系統(tǒng)模型做的理論仿真研究，在實(shí)際系統(tǒng)中真實(shí)運(yùn)用卻鮮見報(bào)道。

作者基于松花江壅水壩實(shí)際工程項(xiàng)目，首先把實(shí)際系統(tǒng)中的通用變頻器及其直接驅(qū)動(dòng)的水泵電機(jī)看作一個(gè)整體——變頻調(diào)速控流系統(tǒng)，給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并從理論上證明了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器對于該充排水系統(tǒng)具有較好的魯棒特性；然后把該分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器數(shù)字實(shí)現(xiàn)化后應(yīng)用于充排水實(shí)際系統(tǒng)中進(jìn)行恒流量控制與調(diào)節(jié)；最后給出了恒流量充排水的實(shí)際控制運(yùn)行曲線，結(jié)果證明了本文方法的有效性。

1 橡膠壩充排水控制系統(tǒng)

1.1 充排水系統(tǒng)

橡膠壩主要由橡膠壩袋、土建工程及充排水系統(tǒng)三部分組成，其中充排水系統(tǒng)主要由遠(yuǎn)程監(jiān)控系統(tǒng)、充排水泵、輸水管路、變頻器、電氣控制裝置、水位監(jiān)測設(shè)備、壩袋高度及內(nèi)壓檢測裝置等組成。根據(jù)壩袋高度、壩袋內(nèi)壓以及上下游水位，通過變頻設(shè)備對水泵電機(jī)的啟停／調(diào)速控制以及輸水管路上的電動(dòng)閥的開關(guān)控制等進(jìn)行壩袋充排水自動(dòng)控制，圖1為實(shí)際充排水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

圖1 橡膠壩充排水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System of filling and draining off water of rubber dam

上述充排水系統(tǒng)主要由5臺(tái)水泵電機(jī)及各管路進(jìn)出水閥門構(gòu)成，其中每臺(tái)水泵電機(jī)又由一臺(tái)變頻器進(jìn)行變頻調(diào)速控制。充水過程：打開閥門1、閥門3及閥門5，使之形成相應(yīng)的充水通路（圖1中箭頭表示方向），然后再啟動(dòng)相應(yīng)數(shù)量的水泵進(jìn)行充水，各水泵出水先匯至同一管道，最后通過閥門5后再流至橡膠壩袋方向。排水過程與之正好相反，即打開閥門1、閥門2與閥門4及相應(yīng)的進(jìn)出口閥門，形成相應(yīng)排水通路，然后再啟動(dòng)相應(yīng)數(shù)量的水泵對壩袋進(jìn)行排水調(diào)節(jié)。

此充排水系統(tǒng)的主要控制問題就是根據(jù)橡膠壩控制運(yùn)行要求，在橡膠壩總充排水量允許范圍內(nèi)，啟動(dòng)相應(yīng)數(shù)量的水泵對壩袋進(jìn)行充排水，并在此過程中通過變頻器變頻調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)橡膠壩袋的總進(jìn)、出水流量恒定，即設(shè)計(jì)一個(gè)控制器通過變頻器去調(diào)節(jié)水泵轉(zhuǎn)速，在因系統(tǒng)設(shè)定值改變導(dǎo)致泵啟動(dòng)數(shù)量和出水閥門開度的變化或受到其他干擾情況下使壩袋的總進(jìn)、出水流量在較短的時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的狀態(tài)，并滿足一定的動(dòng)態(tài)性能和允許的靜態(tài)誤差要求。同時(shí)還需滿足各運(yùn)行水泵出口壓力均衡，以防止某出口壓力偏小造成其逆止閥關(guān)閉的情況發(fā)生。

1.2 系統(tǒng)模型的建立

橡膠壩充排水系統(tǒng)中每臺(tái)水泵電機(jī)都由一臺(tái)通用型變頻器進(jìn)行變頻調(diào)速控制，把每臺(tái)變頻器及其驅(qū)動(dòng)的水泵電機(jī)看成一個(gè)整體，稱之為變頻調(diào)速控流系統(tǒng)。如果忽略各水泵在整個(gè)充排水系統(tǒng)中的位置結(jié)構(gòu)差異，那么此充排水系統(tǒng)可以看成由5個(gè)相對獨(dú)立且特性相同的變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)構(gòu)成，對于每個(gè)變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)來說，給定變頻器一個(gè)頻率信號輸入就能得到水泵的一個(gè)流量輸出。

由充排水系統(tǒng)的特性可知，水泵由初始狀態(tài)向管道充排水的恒流狀態(tài)過渡時(shí)，可分為流量上升過程與恒流過程，其中流量上升過程，可近似為一個(gè)時(shí)間常數(shù)T1比較大的慣性環(huán)節(jié)；恒流過程中，流量可認(rèn)為基本不變，是一個(gè)純滯后過程，則供水系統(tǒng)的模型可表示為：

式中：K1為供水系統(tǒng)的增益；τ為供水系統(tǒng)的時(shí)滯常數(shù)。

變頻器和水泵電機(jī)可近似等效為時(shí)間常數(shù)為T2的一階慣性環(huán)節(jié)［11］，表示為：

式中：K2為調(diào)速系統(tǒng)的增益。

系統(tǒng)中的其他控制或檢查環(huán)節(jié)，如繼電器控制轉(zhuǎn)換、流量測量轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)的慣性時(shí)間及延遲時(shí)間與供水系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)相比都可以忽略，均可等效為比例環(huán)節(jié)，故整個(gè)變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)的模型可表示為帶滯后的兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，如下式表示：

式中：K 為系統(tǒng)的總增益。

1.3 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)及其結(jié)構(gòu)分析

根據(jù)橡膠壩充排水系統(tǒng)實(shí)際控制要求，設(shè)計(jì)了如下雙閉環(huán)控制方案，其中外環(huán)采用的是流量反饋控制，控制器應(yīng)用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制；內(nèi)環(huán)采用的是壓力反饋控制，控制器應(yīng)用PI控制，由于該系統(tǒng)中含有5個(gè)相對獨(dú)立的變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)，故設(shè)計(jì)了5個(gè)并級形式的內(nèi)環(huán)控制環(huán)節(jié)。主回路（外環(huán)）用來進(jìn)行總進(jìn)、出水流量的控制，實(shí)現(xiàn)恒流量充排水；副回路（內(nèi)環(huán)）用來進(jìn)行各水泵出口壓力的調(diào)節(jié)，保證各出口壓力均衡。當(dāng)總進(jìn)、出水流量高于或低于給定值時(shí)，流量控制器發(fā)出校正信號，修正水泵控制系統(tǒng)的給定值，使水泵減少或增加進(jìn)、出水量，經(jīng)過校正過的進(jìn)、出水量將等于給定值?？刂葡到y(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 橡膠壩充排水雙閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Two closed loop control system of filling and draining off water of rubber dam

圖2 中，壓力PI控制器傳遞函數(shù)為Cp（s）＝Knp＋Kni／s，結(jié)合式（3）變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可知整個(gè)內(nèi)環(huán)部分的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

再設(shè)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為Cf（）s，可得整個(gè)充排水系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：N 為實(shí)際水泵啟動(dòng)的數(shù)量，可見，當(dāng)N 取不同值時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是變化的。

2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ 控制器

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分

一般的分?jǐn)?shù)階微積分算子可用下式來表達(dá)：

從不同角度去考察分?jǐn)?shù)階微積分可以得到不同的定義，其中最著名的是Riemann－Liouville（RL）定義，其定義如下：

式中：n－1≤α≤n，n∈N；Γ（·）為Gamma函數(shù)。

Laplace變換不僅適用于整數(shù)階系統(tǒng)，同樣也適用于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。根據(jù)RL 定義，分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換為：

分?jǐn)?shù)階積分的Laplace變換為：

2.2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ 控制器及其數(shù)字實(shí)現(xiàn)

整數(shù)階PID 控制器的傳遞函數(shù)描述為：

式中：U （）s 為控制器的輸出；E （）s 為控制器的誤差輸入。

把上式中的微分與積分項(xiàng)的階次推廣到實(shí)數(shù)，便可以得到分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)，即：

式中：積分階次λ 和微分階次μ 可以是任意正實(shí)數(shù)，而且積分項(xiàng)是sλ，也就是說在對數(shù)相頻曲線圖中，它的斜率不再是－20dB／dec，而是－20λ dB／dec。式（11）所對應(yīng)的時(shí)間域方程可以表示為：

與傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制器相比，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器除了具有KP、KI、KD三個(gè)可以用來調(diào)整系統(tǒng)性能的參數(shù)外，還增加了一個(gè)積分階次λ和一個(gè)微分階次μ 兩個(gè)參數(shù)。通過合理的參數(shù)選擇，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器在提高系統(tǒng)靈活性、魯棒性以及總體控制性能等方面將起到很大的積極作用，從而取得更好的控制效果。

分?jǐn)?shù)階控制器是無限階次，通過計(jì)算機(jī)具體實(shí)現(xiàn)時(shí)需要對微積分算子進(jìn)行離散化。在此采用Tustin＋CFE 直接離散化方法［12］對其進(jìn)行數(shù)字實(shí)現(xiàn)，把分?jǐn)?shù)階微積分sα用Tustin算子來表示得到階次為α的生成函數(shù)為：

式中：T 表示采樣時(shí)間。

然后用連分式將式（CFE）近似展開，形式如下：

式中：Pp（z－1）、Qq（z－1）均 為 變 量z－1多 項(xiàng) 式；CFE（· ） 表示進(jìn)行連分式展開。一般為計(jì)算方便取p ＝q＝n，n為數(shù)字實(shí)現(xiàn)的近似階次。

2.3 基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ 的系統(tǒng)魯棒性分析

使用離散的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器對前面所述的充排水系統(tǒng)進(jìn)行魯棒性分析，其中變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)參數(shù)K＝1.25，T1＝35s，T2＝6s，τ＝65s是由現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)辨識(shí)而來，并經(jīng)現(xiàn)場調(diào)試整定確定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)為KP＝0.42，KI＝0.002，KD＝10.5，λ＝0.81，μ＝0.92；內(nèi)環(huán)壓力PI控制器參數(shù)KnP＝0.24，KnI＝0.05，用Tustin＋CFE直接離散方法，采樣周期T＝1s，逼近階次為3，并取N ＝2，即有兩臺(tái)水泵在運(yùn)行工作狀態(tài)時(shí)，得到基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的充排水系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖如圖3所示。由圖3可知，該控制器對于在有兩臺(tái)水泵工作時(shí)的該系統(tǒng)具有較好的頻域特性，即在截止頻率ωc處幅頻特性比較平坦，說明其閉環(huán)系統(tǒng)具有較好的魯棒穩(wěn)定性，而且在截止頻率ωc附近其相頻特性曲線亦比較平滑且相對平坦，說明系統(tǒng)具有較好的增益魯棒性。

圖3 基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ 的充排水系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖Fig.3 Bode diagram with fractional order PIλDμ controller

3 現(xiàn)場實(shí)際控制及運(yùn)行效果分析

在松花江壅水壩工程項(xiàng)目中進(jìn)行橡膠壩恒定流量充排水控制實(shí)驗(yàn)，其中數(shù)據(jù)采集周期Tc＝0.5s，其他控制器參數(shù)如同2.3節(jié)所述。該系統(tǒng)中硬件主要有ABB／ACS510－01型號變頻器，研華工業(yè)控制計(jì)算機(jī)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)傳輸功能的西門子系列S7－300PLC，75kW、Y315L2－10型三相異步電動(dòng)機(jī)，900ZLB－4型臥式離心泵，壓力及流量傳感器等，軟件主要是進(jìn)行監(jiān)視及控制功能的WinCC組態(tài)軟件，其中分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制率是在WinCC全局腳本編輯器中采用ANSI C實(shí)現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)1：開啟兩臺(tái)水泵，進(jìn)行開關(guān)閥實(shí)驗(yàn)；實(shí)際運(yùn)行曲線如圖4所示。

圖4中，F(xiàn)s表示充水流量設(shè)定值，F(xiàn)表示實(shí)際充水流量值，P 表示實(shí)際調(diào)節(jié)頻率值。打開兩個(gè)壩袋進(jìn)口閥門，并在t0時(shí)刻啟動(dòng)1#、2#兩臺(tái)水泵，從圖4中可以看出，經(jīng)過一段時(shí)間調(diào)節(jié)，實(shí)際流量穩(wěn)定在設(shè)定值附近并保持基本恒定，說明設(shè)計(jì)的控制器具有較好的控制性能；在t1時(shí)刻，調(diào)整其中一臺(tái)水泵出口閥門開度至30%，在t2時(shí)刻，又重新完全打開該閥門，可見，流量稍微有點(diǎn)下調(diào)（t1時(shí)刻）和超調(diào)（t2時(shí)刻），隨后又很快回復(fù)到原設(shè)定值狀態(tài)，說明設(shè)計(jì)的控制器具有較強(qiáng)的抗干擾能力。另外從圖4中可以看出，此時(shí)控制輸出（頻率）基本保持不變且略高于最初狀態(tài)時(shí)，說明隨著橡膠壩不斷地充水，壩袋中的壓力也在不斷變大，體現(xiàn)出了壩袋充水過程中的非線性。

圖4 充水過程的實(shí)際控制曲線（開關(guān)閥實(shí)驗(yàn)）Fig.4 Actual control curve of filling water process with open or close values

實(shí)驗(yàn)2：開啟3臺(tái)水泵，進(jìn)行加減泵實(shí)驗(yàn)。實(shí)際運(yùn)行曲線如圖5所示。

圖5 充水過程的實(shí)際控制曲線（加減泵實(shí)驗(yàn)）Fig.5 Actual control curve of filling water process with increase or decrease pumps

圖5 中，初始運(yùn)行狀態(tài)是3臺(tái)水泵（1#、2#與3#水泵）為三個(gè)壩袋進(jìn)行充水，即圖中t0～t1時(shí)段，此時(shí)段中流量實(shí)際值等于流量設(shè)定值4.5 km3／h且保持恒定；在t1時(shí)刻，在保持流量設(shè)定值不變的情況下，對其進(jìn)行減少一泵（如關(guān)閉1#泵）實(shí)驗(yàn)，從圖5可以看出，流量曲線經(jīng)過幾次振蕩后又達(dá)到設(shè)定值，可保持基本穩(wěn)定，而此時(shí)頻率輸出在45 Hz處基本保持不變；在t2時(shí)刻，重新啟動(dòng)剛才關(guān)閉的1#泵，流量又很快回到了原初始狀態(tài)，說明在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)設(shè)計(jì)的控制器仍具有較好的控制性能。

從上面實(shí)際運(yùn)行曲線可以看出，不僅是在初始啟泵過程中可以有效控制充水總流量達(dá)到橡膠壩恒流充水的目的，而且在加減泵（系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化）和開關(guān)閥（參數(shù)變化）情況下仍能有效達(dá)到流量調(diào)節(jié)的目的，且都具有較好的控制效果?？傮w說明分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法具有較好的控制性能和較強(qiáng)的魯棒性，采用該控制方法有效解決了該充排水系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)變化、時(shí)變性及非線性等問題，達(dá)到了在充水過程中的流量恒定的控制目的。另外經(jīng)過現(xiàn)場運(yùn)行試驗(yàn)，在橡膠壩排水過程中同樣可以達(dá)到流量恒定控制的設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié)束語

針對橡膠壩充排水這一復(fù)雜的實(shí)際控制系統(tǒng)，采用具有一定魯棒特性的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法，在對分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制率進(jìn)行數(shù)字實(shí)現(xiàn)后，把其應(yīng)用于該系統(tǒng)中進(jìn)行恒定流量充排水控制與調(diào)節(jié)，現(xiàn)場實(shí)際運(yùn)行效果表明該分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法具有較好的抗干擾性和較強(qiáng)的魯棒性，取得了良好的控制效果，達(dá)到了恒流量充排水控制的設(shè)計(jì)目標(biāo)及要求。

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