趙曉暉，李曉燕

（吉林大學 通信工程學院，長春130012）

0 引 言

隨著無線通信技術的飛速發(fā)展，頻譜資源短缺問題日益凸顯，嚴重制約現代無線通信技術的發(fā)展和應用。為了解決這一問題，1999 年，Mitola等［1－2］提出了認知無線電的思想。認知無線電技術通過動態(tài)利用空閑的頻譜資源，可以有效地提高頻譜的利用效率。而頻譜感知技術在認知無線電技術中扮演著重要角色。正確的頻譜感知是實現頻譜動態(tài)利用的前提。

隨機共振是在研究古氣象冰川融化問題時提出的概念［3－5］。隨機共振系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)。當固定輸入有用信號的幅值時，隨著輸入噪聲信號強度的增加，隨機共振系統(tǒng)的輸出信噪比先增加后減小，即當噪聲強度取合適值時，隨機共振系統(tǒng)的輸出信噪比最大。隨機共振系統(tǒng)輸出信噪比最大時，隨機共振系統(tǒng)、輸入有用信號強度和噪聲信號強度達到匹配，噪聲能量會向有用信號能量轉移，從而使隨機共振系統(tǒng)的輸出信噪比增加。由于隨機共振的這個優(yōu)點，隨機共振理論被應用于微弱信號檢測問題中，并取得了很好的效果。鑒于隨機共振可以檢測微弱信號，一些學者將隨機共振理論引入到認知無線電頻譜感知問題中，以實現低信噪比條件下可靠的頻譜感知［6－9］。

當信號使用MIMO 天線進行傳輸時，該信號會通過多條路徑傳送到接收端，而該信號在每條路徑上都受到很大衰減的可能性很小，接收端總能獲得相對滿意的信號［10］。因此，MIMO 技術可以提供空間分集，使接收端獲得更多的信號副本，有效抵抗信道衰落對通信造成的影響。因此將MIMO 技術應用到頻譜感知技術中，在衰落信道條件下，該頻譜感知算法仍然能取得很好的檢測性能［11－12］。

由于能量頻譜感知需要知道噪聲的方差，而隨機共振是很復雜的非線性系統(tǒng)，噪聲通過隨機共振系統(tǒng)后，很難計算出輸出噪聲的方差。為解決這一難題，文獻［7］采用最大化檢測概率的方法來確定隨機共振系統(tǒng)輸出噪聲的方差。但是采用這種方法得到的噪聲方差與隨機共振系統(tǒng)輸出噪聲方差的真實值有偏差，這種偏差會影響到頻譜感知的檢測性能?；趨f(xié)方差矩陣的頻譜感知算法不需要任何主用戶信號和噪聲信號的先驗信息［13］，而且還可以克服噪聲不確定性帶來的影響，因此，本文將隨機共振理論和MIMO 技術應用到協(xié)方差矩陣頻譜感知中，提出基于隨機共振和MIMO 技術的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法。

1 系統(tǒng)模型

假設主用戶具有M 根發(fā)射天線，認知用戶具有N 根接收天線，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 System model

值得注意的是在隨機共振系統(tǒng)中，要求輸入信號s（t）的頻率足夠?。?］，而認知無線電中的信號不直接滿足這一要求。但是，可先將高頻信號變換為低頻信號，然后再將此低頻信號輸入到隨機共振系統(tǒng)中；或者對隨機共振系統(tǒng)參數進行改進，使改造后的隨機共振系統(tǒng)可以用于高頻信號。有很多方法可以解決上述問題［14－16］。例如文獻［14］通過尺度變換將高頻信號轉換為低頻信號；文獻［15］將隨機共振系統(tǒng)的非微分項乘以某系數，使隨機共振系統(tǒng)能夠應用于高頻信號；文獻［16］則用二次采樣的方法，將高頻信號轉換為低頻信號。本論文的研究重點是將隨機共振理論和MIMO 技術結合在一起來進行頻譜感知，因此不再贅述將高頻信號轉換為低頻信號的過程，直接令輸入信號為：

式中f 的值很小。

認知用戶第i根天線第n 時刻接收到的信號可以表示為：

式中：i＝1，2，…，N；xi（n）、sj（n）和ηi（n）分別為xi（nTs）、sj（nTs）和ηi（nTs）的簡化表示，Ts為采樣間隔；xi（n）為認知用戶第i根天線第nTs時刻接收到的信號；sj（n）是主用戶第j根天線發(fā)射、認知用戶在第nTs時刻接收到的信號；hji是主用戶第j 根天線和認知用戶第i 根天線之間的信道增益；ηi（n）是認知用戶第i根天線第nTs時刻接收到的噪聲信號；H0表示沒有主用戶信號存在的情況；H1表示主用戶信號存在的情況。假設sj（n）的均值為0；ηi（n）是均值為0、方差為的高斯白噪聲；hji服從均值為0、方差為1的高斯分布。此外，假設認知用戶不同天線接收的噪聲信號相互獨立，不同天線之間的信道相互獨立，主用戶信號和噪聲信號互不相關，即：

2 本文算法

2.1 算法基本原理

由圖1所示，首先將每根天線接收到的信號xi（n），i＝1，2，…，N，分別輸入到隨機共振系統(tǒng)中。以認知用戶第i根天線為例，所采用的離散隨機共振系統(tǒng)如下式［7，17］：

式中：隨機共振系統(tǒng)的初值xiSR（0）是（－1，1）區(qū)間內的隨機值；xi（n）為隨機共振系統(tǒng)輸入信號，它既包括主用戶信號又包括噪聲信號；xiSR（n）是隨機共振系統(tǒng)的輸出信號；a、b 和p 是常數；Δt為采樣間隔Ts。上節(jié)提到，xi（n）分別為xi（nTs）的簡化表示，因此，隨機共振系統(tǒng)輸出信號xiSR（n）相鄰點的時間間隔為Δt。調節(jié)p 的值可以調節(jié)隨機共振系統(tǒng)中主用戶信號和噪聲信號的信號強度。當p取合適的值時，隨機共振系統(tǒng)、主用戶信號強度和噪聲信號強度三者達到匹配，隨機共振系統(tǒng)的輸出信噪比最大，此時p 的值記為popt。a、b和popt選取方法將在后文中介紹。

將popt帶入式（4）可得：

在H1的情況下，主用戶信號和噪聲信號相互獨立，隨機共振系統(tǒng)的輸出信號xiSR可以被分為兩部分［7］，分別為siSR（n）和ηiSR（n），如下式：

式中：siSR（n）和ηiSR（n）分別為對應和ηi（n）的輸出。因此通過隨機共振系統(tǒng)后，頻譜感知的二元假設檢測模型為：

根據隨機共振的基本原理，當主用戶信號強度比較小時，E［xiSR］≠0。由于無法控制主用戶信號的輸入幅度，因此E［xiSR］≠0 的可能性很大。為了在任何情況下都有E［xiSR］＝0，對xiSR（n）做如下處理：

由于隨機共振系統(tǒng)的非線性，ηiSR0（n）不再是高斯白噪聲，即當τ0時Ri（τ）0。由于在確定頻譜感知判決門限γ 時需要計算Ri（τ）的值，而Ri（τ）的計算比較復雜，這使后文計算判決門限γ變得困難。但是，Ri（τ）隨τ 的增加按負指數形式減小［18］，當τ≥τ0時，Ri（τ）很小，可近似為0。上節(jié)提到隨機共振系統(tǒng)輸出信號xiSR（n）相鄰點的時間間隔為Δt，因此令隨機共振系統(tǒng)的步長Δt≥τ0，這樣隨機共振輸出噪聲ηiSR0（n）任意兩個不同點之間的相關函數很小，從而使輸出噪聲ηiSR0（n）近似為白噪聲。這使確定判決門限γ變得容易。Ri（τ）的計算方法如下：

式中：τ＝0，Δt，2Δt，…。

采用文獻［13］中介紹的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法進行頻譜感知，構造如下矩陣：

則接收信號的協(xié)方差矩陣表示為：

式中：σ2為隨機共振系統(tǒng)輸出噪聲ηiSR0（n）的方差，i＝1，2，…，N。

由式（10）可以看出，在H0情況下，協(xié)方差矩陣趨向于對角矩陣；而在H1情況下則不會趨向于對角矩陣。可以根據上述不同來判斷主用戶信號是否存在。根據中心極限定理，當Ns很大時中元素可近似服從高斯分布。

定義如下變量：

式中：rn，m（N s ）是矩陣第n行、第m 列的元素。

協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測統(tǒng)計量為：

判決表達式為：

由于不知道主用戶信號的先驗信息，故不能根據檢測概率Pd確定判決門限γ。通常情況下，利用虛警概率來確定γ。設定虛警概率為固定的值Pfa，確定γ 使頻譜感知算法的虛警概率等于Pfa。本文確定判決門限的方法與文獻［13］中確定判決門限的方法類似。

根據式（10），在H0條件下有

式中：ηiSR0（n）是矩陣ηSR 中的元素。

當n＝m 時，有

由中心極限定理可知，在H0條件下，rn，m（Ns）服從高斯分布。經計算可得：

根據式（17）和（19）可得

根據中心極限定理，在H0條件下，當Ns比較大時，T2服從正態(tài)分布。因此虛警概率為：

判決門限的計算公式為：

2.2 隨機共振參數的確定

本文采用式（5）所示的隨機共振系統(tǒng)，下面給出popt的確定方法。

若主用戶信號如式（1）所示，則輸入信號信噪比為：

當信號通過如式（4）所示的隨機共振系統(tǒng)后，隨機共振系統(tǒng)的輸出信噪比為［3，7］：

為了求出使信噪比最大的popt，令＝0，則有：

為了提高隨機共振系統(tǒng)的輸出增益，則必須有下式成立：

由式（24）和（25）可得：

因此，在選取隨機共振系統(tǒng)參數時，要滿足上式要求。本文選取a＝10，b＝1。

3 仿真實驗結果與分析

本節(jié)通過仿真驗證基于隨機共振和MIMO的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法（即SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法）的有效性，從多個方面對單天線協(xié)方差矩陣的頻譜感知算法、MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法和SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法進行比較。仿真采用蒙特卡羅的方法得到檢測概率Pd，主用戶信號為BPSK 信號，信號的頻率為f＝0.1；噪聲的方差為；為了方便起見，仿真中令M ＝N。

圖2給出在H0條件下，檢測統(tǒng)計量Tx＝T1（Ns）／T2（Ns）與判決門限γ的關系，其中M ＝N ＝5。從圖2可以看出，隨著Ns的變化，判決門限γ進行動態(tài)調整，這可以保證判決門限選擇的合理性。此外，在主用戶信號不存在的條件下，Tx曲線在γ 曲線的下方，這充分說明判決門限的計算方法是正確的。

圖2 判決門限的有效性Fig.2 Validity of decision threshold

圖3 兩種算法在不同信噪比下的性能比較Fig.3 Performance comparison of two algorithms under different SNR

圖4 兩種頻譜感知算法的ROC曲線Fig.4 ROC curves of spectrum sensing algorithms

圖5 不同算法在不同采樣點數下的性能比較Fig.5 Performance of different algorithms at different sampling points

圖3 、圖4 和圖5 分別給出SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測概率、MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測概率和單天線協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測概率隨信噪比、虛警概率和采樣點變化的仿真曲線。在圖3 和圖4 中取Ns＝1000；在圖4中，單天線協(xié)方差矩陣頻譜感知算法和MIMO協(xié)方差矩陣頻譜感知算法在SNR＝－22dB條件下進行仿真；SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法在SNR＝－25dB的條件下進行仿真。從圖3可以看出，在信噪比為－10dB時，單天線協(xié)方差頻譜感知算法的檢測概率為0.41。而MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測概率為0.995，SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測概率達到1；當M ＝N ＝10時，在SNR＝－20dB條件下，SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測概率能達到1。圖4是頻譜感知的ROC曲線。圖5中所有曲線都隨采樣點的增加而增加。

由圖3、圖4和圖5可見，基于MIMO 的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法和SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的仿真曲線均在單天線協(xié)方差矩陣頻譜感知算法仿真曲線的上方；并且在兩種算法使用天線數目相同的情況下，SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的仿真曲線在MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法仿真曲線的上方。因此圖3、圖4和圖5的仿真結果均表明基于MIMO 的頻譜感知算法的檢測概率要遠高于單天線頻譜感知算法的檢測概率；而基于MIMO 和隨機共振的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測概率最高。即本文算法的性能要優(yōu)于其他兩種算法。

4 結束語

提出了基于隨機共振和MIMO 的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法。通過隨機共振增加輸入信號的信噪比，利用MIMO 技術獲得空間分集以抵抗信道衰落對頻譜感知造成的影響。該頻譜感知算法可以在低信噪比和衰落信道條件下取得很高的檢測性能。仿真結果表明，該頻譜感知算法的性能要優(yōu)于單天線協(xié)方差矩陣頻譜感知算法和基于MIMO 的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法。同時仿真實驗也驗證了該算法的有效性，而且在低信噪比條件下，該算法仍能進行可靠的頻譜感知。

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