王定成，田翠翠，陳北京，田宇航

（1.南京信息工程大學(xué) 計算機與軟件學(xué)院，南京210044；2.南京信息工程大學(xué) 江蘇省網(wǎng)絡(luò)監(jiān)控工程中心，南京210044；3.南京信息工程大學(xué) 江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，南京210044）

0 引 言

數(shù)字水印技術(shù)作為數(shù)字媒體產(chǎn)品版權(quán)保護的一種重要手段，這些年來成為信息安全研究領(lǐng)域的一個熱點［1］。當前圖像水印算法主要針對灰度圖像，而隨著圖像獲取設(shè)備的發(fā)展，現(xiàn)在獲取的數(shù)字圖像基本都是彩色的，它們提供了更豐富的信息量并帶來了更舒服的視覺感受，因此彩色圖像的數(shù)字水印逐步引起學(xué)者的關(guān)注，而且相對于灰度圖像數(shù)字水印它具有兩個優(yōu)勢［2］：①水印容量更大；②抗攻擊健壯性更強。

從上世紀90年代開始，國內(nèi)外一些專家學(xué)者將四元數(shù)［3］的相關(guān)理論引入到彩色圖像處理［4－9］：彩色圖像的每個像素采用一個純四元數(shù)來表示，3個通道作為它的3個虛部。這樣一幅彩色圖像可以表示為一個純四元數(shù)矩陣。彩色圖像的四元數(shù)表示方法已經(jīng)成功應(yīng)用于彩色圖像處理的很多領(lǐng)域［10－17］。這些研究表明彩色圖像四元數(shù)表示方法的主要優(yōu)勢在于在多維空間上把彩色圖像像素作為一個矢量整體進行處理，而非三通道分別處理，而且考慮了色彩關(guān)聯(lián)。

隨著基于四元數(shù)的彩色圖像處理技術(shù)的發(fā)展，越來越多的學(xué)者致力于研究基于四元數(shù)的彩色圖像數(shù)字水印算法，其中大部分都是基于四元數(shù)離散傅里葉變換（Quaternion discrete Fourier transform，QDFT）。Bas等［8］最早將QDFT 引入彩色圖像水印，在QDFT 頻域采用量化索引調(diào)制算法嵌入比特流水印信息，他們對比了分別采用單位純四元數(shù)和μLum＝（目前采用最廣泛）得到的含水印圖像的質(zhì)量，實驗表明：采用μPerc比采用亮度軸μLum在不可見性上更佳；隨后，Tsui等［9］基于CIE Lab顏色模型提出一種非盲算法，該算法先自適應(yīng)生成一個無意義彩色水印，然后將該水印和頻域系數(shù)直接相加嵌入水?。籑a等［10］則基于局部QDFT 提出了一種半盲算法，他們首先在載體圖像中選擇一些參考點，然后在該點周圍鄰域所對應(yīng)的頻域系數(shù)中嵌入二值水??；Sun 等［11］結(jié)合QDFT 和四元數(shù)奇異值分解提出一種帶邊信息的算法，該算法提取彩色水印時需要載體圖像的奇異值，而且嵌入的水印無意義。

最近，江淑紅等［12］指出Bas等［8］沒有考慮到一個水印嵌入前提：為了避免嵌入水印后的圖像存在能量損失，通過四元數(shù)離散Fourier逆變換（IQDFT）得到四元數(shù)矩陣實部必須全為0。否則取三個虛部獲取含水印圖像將丟失非零實部數(shù)據(jù)，從而影響含水印圖像和提取水印的質(zhì)量。也就是說，即使在沒有任何攻擊的情況下，也不能完全正確提取水印。為了解決這個問題，她們基于μLum采用量化索引調(diào)制算法修改QDFT 系數(shù)的實部嵌入二值水印，并按照系數(shù)矩陣實部的反對稱性修改相應(yīng)系數(shù)。需要說明的是，文獻［9，10］也考慮了這個前提。Wang等［13］則基于最小二乘支持向量機和偽Zernike矩進一步改進江淑紅等的工作［12］以抵抗幾何變換攻擊。

以上這些研究的實驗結(jié)果表明這些基于QDFT 的算法能夠較好地平衡不可見性和魯棒性：①不僅考慮了色彩信息，還考慮了三通道的整體性和相關(guān)性；②四元數(shù)頻域是一個四維系數(shù)空間，提供了更大的水印容量；③嵌入在四元數(shù)頻域系數(shù)一個分量中的水印信息可以擴散到空間域彩色圖像的兩個或三個通道，從而實現(xiàn)數(shù)字水印的健壯性和不易感知性的良好結(jié)合［12］。但它們都沒有完全利用四元數(shù)頻域這一四維系數(shù)空間，只考慮了QDFT 系數(shù)的一個或兩個分量而不是所有四個。而且還至少存在以下不足中的一項：①非盲；②由于沒有按照對稱性修改系數(shù)，存在能量損失；③水印是非彩色圖像，而在實際應(yīng)用中很多情況下水印是彩色的，而且彩色水印較灰度或二值水印能攜帶更多的信息以及這些色彩信息使彩色水印更易辨認；④水印是無意義圖像，而在很多現(xiàn)實應(yīng)用中要求水印具有某種意義，比如Logo、版權(quán)信息等。因此，本文主要針對單位純四元數(shù)k，首先推導(dǎo)出在修改QDFT 系數(shù)嵌入水印時需要滿足的系數(shù)對稱條件，然后基于QDFT、Arnold置亂變換和冗余嵌入策略，提出一種彩色圖像雙重水印算法來改進以上不足。

1 四元數(shù)傅里葉變換及頻域系數(shù)水印方案

1.1 四元數(shù)及其基本運算法則

作為復(fù)數(shù)的推廣，一個四元數(shù)包括一個實部和三個虛部，即：

式中：a、b、c、d均為實數(shù)；i、j、k為三個虛數(shù)單位，遵循如下運算規(guī)則：

當實部a＝0時，稱q為純四元數(shù)。

1.2 四元數(shù)離散傅里葉變換及嵌入水印前提條件

四元數(shù)（超復(fù)數(shù)）傅里葉變換首先由Ell［14］提出，然后由Sangwine［15］引入彩色數(shù)字圖像處理并定義了QDFT 和IQDFT。由式（2）可知，四元數(shù)的乘法不滿足交換律，因此Pei等［16］給出了三種類型的QDFT 和IQDFT：兩邊型［15］，左邊型，右邊型。本文采用的是使用比較廣泛的右邊型。二維彩色圖像函數(shù)f（m，n）的右邊型QDFT 及其逆變換IQDFT 定義為［16］：

式中：M 和N 分別為圖像f 的行數(shù)和列數(shù)；μ是任意單位純四元數(shù)；μ 可表示為三個虛數(shù)單位i、j和k 的線性組合，即：μ ＝αi＋βj＋γk；α，β，γ ∈R，‖μ‖＝1，其中‖·‖為四元數(shù)取模運算。

從式（4）可知，在對QDFT 系數(shù)FR修改嵌入水印后，F(xiàn)－R應(yīng)該仍然是一個純四元數(shù)矩陣，即：

式中：o為零矩陣；Re（F－R）表示四元數(shù)F－R的實部。否則，只取F－R的三個虛部獲取含水印圖像將丟失非零的實部數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致水印能量損失問題。式（5）就是江淑紅等［12］指出的嵌入水印需要滿足的前提條件。

1.3 頻域系數(shù)水印方案

先采用通用單位純四元數(shù)（μ＝αi＋βj＋γk）推導(dǎo)彩色圖像QDFT 和IQDFT 與單通道DFT和IDFT 的關(guān)系式，然后針對三個不同的單位純四元數(shù)μ（本文采用的k，江淑紅等［12］的μLum，Bas等［8］的μPerc），分析嵌入水印時需要遵循的系數(shù)對稱性規(guī)則以滿足式（5）的前提條件，最終給出基于不同單位純四元數(shù)的頻域系數(shù)水印方案。

1.3.1 QDFT 和IQDFT 與 單 通 道 的DFT 和IDFT 之間的關(guān)系式

以RGB 顏 色空 間 為 例，令fR（x，y）、fG（x，y）、fB（x，y）分別表示彩色圖像的紅綠藍3個通道，則彩色圖像f（x，y）可以表示為：

對于通用單位純四元數(shù)μ＝αi＋βj＋γk，將式（6）代入式（3），可得：

其中：

這里DFT（fR），DFT（fG）和DFT（fB）分別是紅綠藍三通道傳統(tǒng)的DFT 矩陣，Re（z）和Im（z）分別表示傳統(tǒng)的復(fù)數(shù)z的實部和虛部。

對于IQDFT，將式（7）代入式（4），類似可得：

其中：

式中：IDFT（·）表示傳統(tǒng)的復(fù)數(shù)傅里葉逆變換。1.3.2 基于不同單位純四元數(shù)的頻域系數(shù)水印方案

（1）本文采用的μ ＝k

此時α＝β＝0，γ＝1。由式（8）和DFT 系數(shù)的共軛對稱性可知，A（0，0）＝0，分量A 和D 分別具有如下所示的反對稱性和對稱性：

從而易知：Re（IDFT（A））＝o，Im（IDFT（D））＝o，以及

式（13）其實就是式（5）所示的前提條件。也就是說，只要在修改A（u，v）和D（u，v）的同時按照分量A 的反對稱性和D 的對稱性相應(yīng)地修改它們的對稱系數(shù)嵌入水印，由式（10）可知不管B（u，v）和C（u，v）如何修改，前提條件依然滿足。因此，可將雙重水印數(shù)據(jù)嵌入到A、B、C 和D 這4個分量中，然后取的三個虛部作為含水印圖像不會造成能量損失，從而充分利用QDFT四維系數(shù)空間。

（2）江淑紅等［12］采用的μ ＝μLum

由于如果在修改分量A 的同時按式（11）修改其反對稱系數(shù)，Re（IDFT（A））＝o仍然成立，不會破壞前提條件，而分量B、C和D 的修改不能保證繼續(xù)滿足該前提條件，因此，江淑紅等［12］只修改了分量A 嵌入水印。

（3）Bas等［8］采用的μ ＝μPerc

因此，修改分量A 嵌入水印的同時按式（11）修改其反對稱系數(shù)，前提條件仍然可以滿足。而且，式（15）中不涉及分量B，所以B 也可用于嵌入水印且不受對稱性的限制。作者將Bas等［8］的算法改進為將水印數(shù)據(jù)嵌入分量A 和B 中。第3節(jié)中實驗對比所采用的就是該改進算法。

在普洱茶養(yǎng)生旅游道內(nèi)應(yīng)進行統(tǒng)一的規(guī)劃和管理，針對旅游環(huán)線內(nèi)交通情況進行評估和整改方案，減少彎道，對路旁的風(fēng)景道進行綠化。其次，做好旅游環(huán)線的養(yǎng)生基礎(chǔ)設(shè)施，環(huán)線內(nèi)鼓勵建設(shè)養(yǎng)生酒店，對零散農(nóng)家樂進行統(tǒng)一的規(guī)劃和管理，嚴格把控衛(wèi)生和服務(wù)質(zhì)量。最后，旅游道內(nèi)配備醫(yī)療保健中心因地制宜興建療養(yǎng)院，茶林美容美體中心，茶療所，雨林瑜伽館和普洱茶DIY館等。

綜上，如果采用μ＝μLum或μPerc，為了滿足前提條件式（5），最多只能將水印數(shù)據(jù)嵌入到QDFT系數(shù)的一或兩個分量中，沒能充分利用QDFT 四維系數(shù)空間，而作者提出的采用μ ＝k 的方案則能將水印嵌入到QDFT 系數(shù)的所有4個分量中。

2 基于四元數(shù)離散傅里葉變換的彩色圖像雙重水印算法

結(jié)合QDFT、Arnold置亂變換以及冗余嵌入策略將二重水印重復(fù)嵌入到載體圖像中，水印算法框圖如圖1 所示。Arnold置亂變換有助于增強水印安全和水印算法的魯棒性。冗余嵌入策略則有助于進一步提高算法的魯棒性，特別是剪切攻擊。不過帶來的負效應(yīng)是：①含水印圖像質(zhì)量（即不可見性）有所降低；②由于嵌入的水印是重復(fù)的，在某種意義上水印容量也有所降低。不過由于本文提出的基于μ ＝k 算法具有較大的容量，因此采用冗余嵌入策略能夠較好地平衡不可見性和魯棒性，這在第3節(jié)的實驗結(jié)果中得到了較好的印證。下面分別從雙重水印嵌入和提取兩方面進行詳細闡述。

圖1 彩色圖像雙重水印算法框圖Fig.1 Dual watermarking algorithm diagram for color images

2.1 雙重水印嵌入

令嵌入到彩色載體圖像中的雙重水印分別為彩色圖像水印w 和二值水印圖像v，尺寸均為Mw×Nw。需要注意的是：為了便于后續(xù)討論分析，雙重水印的尺寸和接下來引入的重復(fù)嵌入次數(shù)KT均設(shè)為相同，應(yīng)用中可根據(jù)具體情況設(shè)為不一樣。水印嵌入按如下步驟進行：

（1）水印圖像預(yù)處理。將雙重水印進行KI次周期為KP的Arnold置亂，然后將置亂后的彩色水印的每個分量的每個十進制像素值轉(zhuǎn)換為8位二進制數(shù)據(jù)。最終將得到的二進制數(shù)據(jù)復(fù)制KT次合成為一個比特流水印bw。

（2）載體圖像分塊QDFT 變換。將彩色載體圖像分成8×8的單位小塊，然后分別對這些小塊進行QDFT 變換。

（3）水印嵌入。對于每一個小塊，按序選擇圖2所示中頻候選位置中的部分位置作為水印嵌入?yún)^(qū)域。對于選擇區(qū)域KM中任意位置（u，v），針對不同的單位純四元數(shù)（k，μLum 和μPerc），選擇頻域系數(shù)4個分量（A（u，v），B（u，v），C（u，v）和D（u，v））中的1個到4個分量通過量化索引調(diào)制算法嵌入雙重水?。ū忍亓鱞w 和二值水印v）：

式中：I（u，v）是4個分量之一；I′（u，v）為其修改后的值；KΔ為量化步長；［·］為取整函數(shù)；z 是當前嵌入比特流數(shù)據(jù)的坐標；（x，y）是二值水印數(shù)據(jù)坐標。

圖2 QDFT頻域8×8宏塊中用于水印嵌入的中頻候選位置Fig.2 QDFT medium frequency positions in 8×8 macro－block for embedding

（4）分塊IQDFT 變換。對所有的單位小塊進行IQDFT 變換得到最終的含水印圖像。

步驟（3）中各分量的嵌入策略為：對于提出的基于μ＝k的算法，假設(shè)l為每個宏塊需要嵌入的水印比特數(shù)，如果l≤128bit，則將水印信息分成四等份分別嵌入4個分量中，對于每個分量按圖2所示的順序按序嵌入；如果l＞128bit，由于分量A 和D 需要保持對稱性在各自嵌入32bit水印后已飽和，則將剩余的（l－64）bit水印分成兩等份嵌入另外的分量B 和C 中。對于基于其他μ的算法，采用類似的嵌入策略。

從以上步驟可知，本文算法中密鑰Key主要包括：Arnold 置亂變換的置亂次數(shù)KI及周期KP，中頻嵌入位置信息KM，冗余嵌入次數(shù)KT和量化步長KΔ。

2.2 雙重水印提取

利用密鑰Key，雙重水印可按如下步驟提?。?/p>

（1）測試圖像分塊QDFT 變換。將測試圖像分成8×8 的單位小塊，并分別對這些小塊進行QDFT 變換。

（2）提取KT個冗余嵌入的比特流水印bws和二值水印vs，s＝1，2，…，KT。利用密鑰Key中的中頻嵌入位置信息KM和量化步長KΔ，采用式（17）所示的量化解碼公式提取嵌入的比特流水印數(shù)據(jù)。

式中：I′（u，v）表示QDFT 頻域系數(shù)的一個分量。然后按下式獲取最終比特流水印bw′：

對于二值水印v′的提取，也采取與上述比特流水印提取一樣的思路。

（3）提取的比特流數(shù)據(jù)bw′按8位一組進行分組，并將每組8位數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為十進制得到置亂的彩色圖像像素值數(shù)據(jù)w′，然后將提取的置亂彩色水印w′和二值水印v′通過（KP－KI）次Arnold變換得到最終的彩色水印和二值水印

從上述步驟可知，水印提取無需原始載體和原始水印，所以為盲提取。

3 實驗結(jié)果及分析

為了驗證本文算法的有效性，下面通過一系列實驗從不可見性和抗攻擊魯棒性兩方面進行測試，并與Su等［2］提出的基于Schur分解的算法進行了對比。該算法通過同時修改每個4×4宏塊的Schur分解矩陣中的兩個系數(shù)嵌入一個比特的水印信息。

3.1 性能評價參數(shù)

為說明算法在版權(quán)保護等應(yīng)用中的有效性，引入3個客觀參數(shù)對實驗結(jié)果進行評估。

（1）峰值信噪比（Peak signal to noise ratio，PSNR）。用來評估嵌入水印的不可見性，PSNR值越大，表明嵌入信息的透明性越好。對于大小為Mh×Nh的彩色載體圖像h（x，y）和含水印圖像h′，它們之間的PSNR 為：

式中：hR、hG、hB和h′R、h′G、h′B分別為彩色載體圖像和含水印圖像的三個通道。

（2）歸 一 化 相 關(guān) 系 數(shù) （Normalized correlation，NC）。用來評估提取的彩色水印圖像的有效性，NC 值越高，表明提取的彩色水印與原水印越接近。對于大小為Mw×Nw的彩色水印圖像w ＝｛wR，wG，wB｝和提取的水印圖像＝｝之間的NC值為：

（3）比特誤差率（Bit error rate，BER）。用來評估提取的二值水印圖像的有效性，BER 越低，表明提取水印與原水印越接近。對于大小為Mw×Nw的二值水印圖像v（x，y）和提取的水印圖像之間的BER 為：

3.2 不可見性測試

在這個實驗中，采用10 幅大小為512×512的標準圖像作為載體圖像集，包括經(jīng)典的Lena、F16、Peppers和Woman等圖像，如圖3（a）～（j）所示。彩色水印圖像則采用了2 幅大小為32×32的東南大學(xué)Logo和Mandrill圖像，二值水印圖像為一幅包含“東南大學(xué)”四個漢字的二值圖像，他們分別如圖3（k）～（m）所示。

圖3 彩色載體圖像（尺寸為512×512，（a）～（j））以及彩色水印和二值水印圖像（尺寸為32×32，（k）～（m））Fig.3 Color host images

由于Su等［2］提出的算法在每個分量的4×4宏塊的Schur分解矩陣中只嵌入一個比特數(shù)據(jù)，因此該算法最多只能在512×512的載體圖像中重復(fù)嵌入32×32的彩色水印2次，只是這時已飽和不能再嵌入二值水印。作者對他們的算法進行一點小修改：該算法嵌入水印是基于Schur分解矩陣U ＝（ui，j）1≤i，j≤4中｜u2，1｜和｜u3，1｜在數(shù)值上很接近這個事實，從而通過修改這兩個元素嵌入水?。欢鴮嶋H上，｜u4，1｜在數(shù)值上也與這兩個元素大小相當，因此可以按照與他們原來算法類似的思路修改元素u4，1嵌入二值水印。不過，對于32×32的雙重水印，修改算法最多還是只能冗余重復(fù)嵌入2次。而其余3種算法具有更高的水印容量：對于提出的基于k的算法，如將圖2所示的所有48 個中頻位置都選為嵌入?yún)^(qū)域，則QDFT頻域每個8×8宏塊可嵌入154bit數(shù)據(jù)，從而在不考慮含水印圖像質(zhì)量的情況下最大可重復(fù)嵌入這雙重水印24次；對于基于μLum的算法［12］，由于只能在分量A 中嵌入水印，最大可重復(fù)嵌入5次；改進的基于μPerc的算法［8］能修改分量A 和B嵌入水印，因此最大可冗余嵌入10次。也就是說本文算法的水印容量是Su等［2］算法的12倍，是基于μLum 的算法的4.8倍，是基于μPerc 的算法的2.4倍。因此，為公平起見，所有對比算法的重復(fù)嵌入次數(shù)都設(shè)為KT＝2。其他的一些參數(shù)設(shè)置為：Arnold變換的迭代次數(shù)KI＝10，量化步長KΔ＝160。

表1顯示了各算法在10幅載體圖像內(nèi)嵌入不同雙重水印后得到的含水印圖像與載體圖像之間的PSNR 值。表2顯示了各算法將圖3（k）和（m）嵌入到圖3（a）中得到的含水印圖像以及提取的雙重水印。從表1和表2可以看出：①提出的基于k的算法在保真性方面明顯優(yōu)于另外兩種基于四元數(shù)的算法。主要原因在于本文算法完全利用了QDFT 系數(shù)的4個分量，而另外兩種算法只考慮了一個或兩個分量。從而，為了嵌入相同的水印數(shù)據(jù)，另外兩種算法需要在每個宏塊中修改更多系數(shù)。而系數(shù)修改越多，圖像質(zhì)量退化越厲害；②基于μPerc的算法優(yōu)于基于μLum的算法，這與Bas等在文獻［8］中的結(jié)論一致；③三種基于四元數(shù)的算法均優(yōu)于采用傳統(tǒng)的三通道分別處理思想的Su等［2］的算法，基于四元數(shù)的算法針對載體圖像集的PSNRSTD值遠小于Su 等的算法，而且基于四元數(shù)的算法對不同雙重水印也是穩(wěn)定的。這主要是因為基于四元數(shù)的算法都采用了彩色圖像四元數(shù)表示，將彩色載體圖像作為一個整體進行處理，而且考慮到了通道之間的關(guān)聯(lián)；④除了Su等［2］的算法，其他算法都能夠完全正確提取雙重水印。原因在于Su等［2］的算法嵌入水印后破壞了Schur分解矩陣的正交性。

表1 不同載體圖像H 和不同雙重水印圖像W 的PSNR 值Table 1 PSNR values of different host images Hand different dual watermarks W

表2 在圖3（a）中嵌入圖3（k）和（m）后得到的含水印圖像和提取水印Table 2 Watermarked images and extracted watermarks obtained by embedding Fig.3（k）and（m）into Fig.3（a）

3.3 抗攻擊魯棒性測試

不失一般性，繼續(xù)采用3.2小節(jié)將圖3（k）和（m）嵌入10幅載體圖像得到的10幅含水印圖像進行實驗，對這些圖像進行10種不同類型攻擊來測試算法的魯棒性。這10種攻擊依次為模板大小均為3×3的高斯濾波、中值濾波、均值濾波和運動模糊，質(zhì)量因子為60的JPEG 壓縮，均值為0、均方差為10的高斯噪聲，密度為1%的椒鹽噪聲，裁剪面積為60%的裁剪，角度為30°的幾何旋轉(zhuǎn)以及因子為60%的幾何縮放。這里需要說明的是：對比的4種算法本身并不抗幾何變換攻擊，因此轉(zhuǎn)為測試這些算法對由幾何校正帶來的截斷誤差的魯棒性，目前已有不少算法通過估計幾何變換參數(shù)來進行幾何校正［17－18］；也就是說，先將含水印圖像進行前向幾何變換，然后再通過逆變換進行校正，從而得到測試圖像集。表3、表4分別為各算法針對載體圖像圖3（a）提取的彩色水印和結(jié)果，表5、表6分別為各算法針對載體圖像圖3（a）提取的二值水印圖像和結(jié)果。

從表3～表6 可以看出：①不管是彩色水印還是二值水印，提出的基于k 的算法總體上均明顯優(yōu)于其余3種算法，而基于四元數(shù)的3種算法的魯棒性均強于Su等［2］的算法，原因在于這3種算法都采用了彩色圖像四元數(shù)表示方法，而本文算法又充分利用了QDFT 四維系數(shù)空間；②本文算法提取的雙重水印盡管存在一些噪聲污染，但基本都能識別，而對于其他算法有時提取的雙重水印都不能識別，有時只能識別一個，其中彩色水印由于包含色彩信息較二值水印更易識別，因此彩色水印不能識別的情況相對更少，當然只要識別出一個，就可認為檢測到水印，這就是雙重水印的優(yōu)勢；③對于裁剪攻擊，由于采用了冗余嵌入策略和Arnold置亂變換，盡管60%的區(qū)域被裁剪，但4種算法提取的雙重水印基本都能識別。

表3 針對載體圖像圖3（a）提取的彩色水印及其NC值Table 3 Extracted color watermarks and their corresponding NC values for Fig.3（a）

表4 針對載體圖像圖3（a）提取的二值水印及其BER 值Table 4 Extracted binary watermarks and their corresponding BER values for Fig.3（a）

表5 針對測試載體圖像集提取的彩色水印結(jié)果Table 5 Extracted color watermark results for test host image set

表6 針對測試載體圖像集提取的二值水印結(jié)果Table 6 Extracted binary watermark results for test host image set

4 結(jié)束語

針對目前基于QDFT 的彩色圖像水印算法存在的諸多不足，本文通過建立QDFT 系數(shù)各分量與彩色圖像三通道傳統(tǒng)DFT 之間的關(guān)系，給出了避免水印能量損失問題需要注意的系數(shù)對稱條件以及充分利用QDFT 四維系數(shù)空間的方案?；赒DFT、Arnold變換和冗余嵌入策略，提出了一種彩色圖像盲雙重水印算法，嵌入有意義的彩色和二值兩個水印圖像。實驗結(jié)果表明：本文算法在不可見性和魯棒性兩方面均明顯優(yōu)于現(xiàn)有的兩種基于四元數(shù)的算法［8，12］和一種基于傳統(tǒng)的三通道分別處理思想的算法［2］，針對濾波、JPEG壓縮、添加噪聲和裁剪等攻擊具有較強的魯棒性。

［1］胡玉平，王志堅，張玲華，等.基于小波變換和混沌映射的自適應(yīng)水印算法［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：工學(xué)版，2012，42（增刊1）：401－404.Hu Yu－ping，Wang Zhi－jian，Zhang Ling－h(huán)ua，et al.Image－adaptive watermarking algorithm based on chaos map and DWT［J］.Journal of Jilin University（Engineering and Technology Edition），2012，42（Sup.1）：401－404.

［2］Su Q T，Niu Y G，Liu X X，et al.Embedding color watermarks in color images based on Schur decomposition［J］.Opt Commun，2012，285（7）：1792－1802.

［3］Hamilton W R.Elements of Quaternions［M］.Longmans Green：London，1866.

［4］Ell T A，Sangwine S J.Hypercomplex Fourier transforms of color images［J］.IEEE Trans Image Process，2007，16（1）：22－35.

［5］Subakan O N，Vemuri B C.A quaternion framework for color image smoothing and segmentation［J］.Int J Comput Vis，2011，91（3）：233－250.

［6］陳北京，孫星明，王定成，等.基于彩色圖像四元數(shù)表示的彩色人臉識別［J］.自動化學(xué)報，2012，38（11）：1815－1823.Chen Bei－jing，Sun Xing－ming，Wang Ding－cheng，et al.Color face recognition using quaternion representation of color image［J］.Acta Automatica Sinica，2012，38（11）：1815－1823.

［7］張富強，李均利，李綱，等.基于四元數(shù)奇異值分解的視頻質(zhì)量評價方法［J］.電子學(xué)報，2011，39（1）：219－223.Zhang Fu－qiang，Li Jun－li，Li Gang，et al.Video quality assessment based on quaternion singular value decomposition［J］.Acta Electronica Sinica，2011，39（1）：219－223.

［8］Bas P，Nihan N L，Chassery J M.Color image watermarking using quaternion Fourier transform［C］∥Proc IEEE Int Conf Acoustics，Speech and Signal Processing，2003：521－524.

［9］Tsui T K，Zhang X P，Androutsos D.Color image watermarking using multidimensional Fourier transforms［J］.IEEE Trans Inf Foren Sec，2008，3（1）：16－28.

［10］Ma X J，Xu Y，Song L，et al.Color image watermarking using local quaternion Fourier spectral analysis［C］∥Proc 2008IEEE Int Conf Multimedia and Expo，2008：233－236.

［11］Sun J，Yang J Y.A secure color images watermarking algorithm based on holistic quaternion operation［J］.Advances in Information Sciences and Service Sciences，2011，10（3）：363－374.

［12］江淑紅，張建秋，胡波.一種超復(fù)數(shù)頻域的有意義數(shù)字水印算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（9）：2242－2248.Jiang Shu－h(huán)ong，Zhang Jian－qiu，Hu Bo.Content based image watermarking algorithm in hypercomplex frequency domain［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2009，31（9）：2242－2248.

［13］Wang X Y，Wang C P，Yang H Y，et al.A robust blind color image watermarking in quaternion Fourier transform domain［J］.J Syst Software，2013，86（2）：255－277.

［14］Ell T A.Hypercomplex spectral transforms［D］.Minneapolis：Minnesota University，1992.

［15］Sangwine S J.Fourier transforms of colour images using quaternion or hypercomplex，numbers［J］.Electron Lett，1996，32（1）：1979－1980.

［16］Pei S C，Ding J J，Chang J H.Efficient implementation of quaternion Fourier transform，convolution，and correlation by 2－D complex FFT［J］.IEEE Trans Signal Process，2001，49（11）：2783－2797.

［17］Zhang Y N，Wen C Y，Zhang Y，et al.On the choice of consistent canonical form during moment normalization［J］.Pattern Recogn Lett，2003，24（16）：3205－3215.

［18］Zhang H，Shu H Z，Coatrieux G，et al.Affine Legendre moment invariants for image watermarking robust to geometric distortions［J］.IEEE Trans Image Process，2011，20（8）：2189－2199.