夏紅偉，李秋實(shí),2，李 莉，宋效正，王常虹

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所，沈陽 110016；3 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

基于hp自適應(yīng)偽譜法的飛行器再入軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)

夏紅偉1，李秋實(shí)1,2，李 莉1，宋效正3，王常虹1

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所，沈陽 110016；3 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

研究了一種基于hp自適應(yīng)偽譜法的飛行器再入在線軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)方法。首先針對(duì)飛行器再入段在末速度最大的條件約束下進(jìn)行了軌跡優(yōu)化；然后針對(duì)再入段地球大氣分布不均勻、建模誤差、擾動(dòng)等因素，設(shè)計(jì)了基于hp自適應(yīng)偽譜法的反饋制導(dǎo)方法；最后進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真研究。仿真結(jié)果表明：采用本文提出的反饋制導(dǎo)方法得到的末速度為6.93 km/s，比未采用閉環(huán)制導(dǎo)的方法提高了0.33 km/s，并且制導(dǎo)精度提高了15倍。

飛行器再入；hp自適應(yīng)偽譜法；軌跡優(yōu)化；反饋制導(dǎo)

返回、再入和著陸過程是返回式航天器整個(gè)飛行任務(wù)鏈的最后階段，保證航天器安全再入返回是航天技術(shù)研究的重要問題。其中再入段由于經(jīng)過大氣層，動(dòng)力學(xué)模型相對(duì)復(fù)雜，并且由于存在建模誤差、各種擾動(dòng)等因素，該階段的軌跡優(yōu)化和制導(dǎo)設(shè)計(jì)顯得尤為重要[1-4]。

Naidu[5]采用匹配漸近展開法基于ADBARV坐標(biāo)系的大氣層內(nèi)飛行器動(dòng)力學(xué)方程對(duì)飛行器再入優(yōu)化問題進(jìn)行了求解分析。Zimmerman等[6]提出了一種用于可重復(fù)使用飛行器再入階段的控制算法，借助自主仿真和自尋的技術(shù)解決飛行器再入問題。目前對(duì)于飛行器再入段動(dòng)力學(xué)模型的研究已經(jīng)取得了較好的研究成果，但在再入段軌跡優(yōu)化方法方面，普遍存在最優(yōu)軌跡生成時(shí)間長(zhǎng)的困擾[6-7]；由于軌跡生成時(shí)間長(zhǎng)，多采用離線生成最優(yōu)軌跡進(jìn)行制導(dǎo)，這導(dǎo)致制導(dǎo)精度受模型參數(shù)變化、擾動(dòng)等因素影響而難以提高[1-3,8-9]。針對(duì)上述問題，本文采用hp自適應(yīng)偽譜法對(duì)飛行器再入段進(jìn)行軌跡優(yōu)化，并設(shè)計(jì)了一種在線軌跡生成的hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)法，通過仿真驗(yàn)證了方法的可行性。

1 飛行器再入段建模

與載人飛行器的再入過程不同，本文研究的飛行器再入過程以保持高速下降為目標(biāo)，其下降時(shí)間極短，故可對(duì)再入段做如下假設(shè)：1）地球?yàn)閯蛸|(zhì)圓球且不考慮自轉(zhuǎn)；2）忽略地球大氣與地面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且同高度分布均勻；3）再入飛行器質(zhì)量不變。飛行器在大氣層內(nèi)的運(yùn)動(dòng)受重力和氣動(dòng)力的綜合作用，選取位置幅值R、速度幅值V、赤經(jīng)θ、地心赤緯λ、航跡角γ、偏航角ψ作為狀態(tài)量。飛行器模型可描述為式(1)所示：

式中，m為飛行器質(zhì)量，σ為傾側(cè)角，TD、TL分別為阻力和升力，可由式(2)表示：

式中：ρ為大氣密度，S為飛行器有效面積；CD、CL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)，這兩個(gè)系數(shù)決定了氣動(dòng)模型的精確程度。為保證模型精度，本文采用文獻(xiàn)[8]中通過高精度的擬合得到的阻力和升力系數(shù)模型，如式(3)所示：

由上面模型可見，飛行器再入段的運(yùn)動(dòng)軌跡由攻角α和傾側(cè)角σ這兩個(gè)控制量確定。

對(duì)于本文研究的飛行器再入問題，該模型可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化成式(4)形式：

此時(shí)，λ代表再入飛行器航程對(duì)應(yīng)的地心角，飛行器再入段的運(yùn)動(dòng)軌跡由攻角α控制。

2 軌跡優(yōu)化方法分析

軌跡優(yōu)化方法可分為間接法和直接法。近年來，由于直接法具有對(duì)初值依賴小、收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，取代間接法成為了發(fā)展主流。直接法直接對(duì)動(dòng)力學(xué)方程和控制量進(jìn)行離散化，將軌道的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為一個(gè)參數(shù)優(yōu)化問題，并利用參數(shù)優(yōu)化方法求解問題從而得到最優(yōu)軌跡。偽譜法是一種優(yōu)秀的直接軌跡優(yōu)化方法，它采用全局插值多項(xiàng)式為基函數(shù)，近似整個(gè)時(shí)間歷程的狀態(tài)變量和控制變量。它可采用較少的離散點(diǎn)得到極高精度的擬合近似解。一般擬譜法的擬合精度為節(jié)點(diǎn)數(shù)的指數(shù)精度，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他直接法的精度。但在處理一些模型復(fù)雜的最優(yōu)控制問題時(shí)，偽譜法中插值多項(xiàng)式階數(shù)過高會(huì)導(dǎo)致雅克比矩陣及海森矩陣維數(shù)過高，運(yùn)算難以進(jìn)行[9]。

此外，有限元法是一種通過對(duì)連續(xù)體離散化求解力學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法，它提高計(jì)算精度的方法可分為h細(xì)化和p細(xì)化。其中，h細(xì)化是對(duì)插值單元長(zhǎng)度h進(jìn)行細(xì)分，即通過加密有限元網(wǎng)格以提高精度；p細(xì)化是提高插值多項(xiàng)式的階數(shù)p以提高精度。hp型有限元法同時(shí)并獨(dú)立的采用h細(xì)化和p細(xì)化兩種提高精度方法，從而可以在合理的網(wǎng)格密度和插值多項(xiàng)式階數(shù)的情況下獲得較高精度。

hp自適應(yīng)偽譜法就是將有限元法思想和全局偽譜法相結(jié)合得到的最優(yōu)控制方法。通過hp型有限元法的思想自適應(yīng)的選取時(shí)間區(qū)段數(shù)和插值多項(xiàng)式階數(shù)，在較低運(yùn)算代價(jià)的情況下獲取較高的精度。本文所研究的飛行器再入段經(jīng)過大氣層，動(dòng)力學(xué)模型較為復(fù)雜，鑒于此，本文采用hp自適應(yīng)偽譜法，將有限元法中的細(xì)化思想引入偽譜法中，可有效提升偽譜法的運(yùn)算效率[7-10]。

2.1 偽譜法基本原理

hp自適應(yīng)偽譜法與全局偽譜法在參數(shù)離散化方面原理相同，下面通過全局偽譜法中典型的Gauss偽譜法說明偽譜法的基本原理：

① 典型的最優(yōu)控制問題典型的最優(yōu)控制問題在時(shí)間區(qū)間上單位化可表述為：已知系統(tǒng)狀態(tài)變量x(τ)∈ Rn，控制變量u(τ)∈ Rm，性能指標(biāo)為

狀態(tài)約束f、路徑約束C和終端約束Φ：

② 插值節(jié)點(diǎn)選擇和變量離散化插值節(jié)點(diǎn)選擇為L(zhǎng)egendre-Gauss節(jié)點(diǎn)：

式中，LN-1(t)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式。Legendre多項(xiàng)式如式(8)所示：

采用Legendre-Gauss節(jié)點(diǎn)對(duì)狀態(tài)變量xtj和控制變量utj離散化：

式(9)中Φj(t)即為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式：

③ 離散化后的最優(yōu)控制問題

離散化后，狀態(tài)方程可近似表示成如下代數(shù)方程：

式中的Dij即為擬譜法差分矩陣：

約束條件和最優(yōu)指標(biāo)均可用節(jié)點(diǎn)處的值表示，其中狀態(tài)約束為

終端約束和路徑約束為

性能指標(biāo)為

至此，原最優(yōu)控制問題就轉(zhuǎn)化成了非線性規(guī)劃問題，可以利用SNOPT算法對(duì)其進(jìn)行求解。

2.2 hp網(wǎng)格細(xì)化方法

hp網(wǎng)格細(xì)化方法是一種在保證運(yùn)算復(fù)雜度在可控范圍內(nèi)提升偽譜法精度的方法[9]。在hp偽譜法中，最優(yōu)控制問題在 t∈[t0, tf]上分為 H 個(gè)時(shí)間區(qū)間，h∈[1,2,…,H]對(duì)應(yīng)時(shí)間區(qū)間[th-1, th]。然后對(duì)每個(gè)時(shí)間區(qū)間進(jìn)行離散化，設(shè)每個(gè)時(shí)間區(qū)間節(jié)點(diǎn)數(shù)為Ph。hp網(wǎng)格細(xì)化方法就是通過確定時(shí)間區(qū)間數(shù)H和節(jié)點(diǎn)數(shù)Ph是否需要增加達(dá)到優(yōu)化偽譜法的目的。

對(duì)于H和Ph的調(diào)整由每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)對(duì)狀態(tài)約束的滿足程度決定，各中點(diǎn)為

通過對(duì)狀態(tài)約束式(13)進(jìn)行變換可得中點(diǎn)殘差矩陣為

式(17)中絕對(duì)值符號(hào)表示對(duì)矩陣中每個(gè)元素求絕對(duì)值。對(duì)E中每一行取最大元素，組成列向量如下：

定義：

此時(shí)可以通過向量α確定優(yōu)化方案。若向量α中所有元素均處于相同數(shù)量級(jí)，則可進(jìn)行p細(xì)化，即通過增加節(jié)點(diǎn)數(shù)提高整體精度；若向量α中部分元素?cái)?shù)量級(jí)遠(yuǎn)高于其他元素，則需對(duì)這些元素對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)段采用h細(xì)化，通過進(jìn)一步細(xì)化時(shí)間區(qū)段提高精度。

3 hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)

飛行器制導(dǎo)問題是典型的最優(yōu)控制問題，可表述如下：

狀態(tài)方程：

性能指標(biāo)：

約束條件：

反饋制導(dǎo)實(shí)質(zhì)就是建立由狀態(tài)變量x和時(shí)間t至控制變量u的映射：

解決此類問題的傳統(tǒng)方法是通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論或Pontryagin極小值原理進(jìn)行求解。但對(duì)于飛行器制導(dǎo)問題，往往由于模型復(fù)雜無法得到連續(xù)的反饋控制率。此時(shí)的解決方案就是求取不連續(xù)的反饋控制率。當(dāng)反饋控制率為不連續(xù)時(shí)，狀態(tài)方程(20)也為不連續(xù)的，此時(shí)的狀態(tài)方程解為Carathéodory解[10]。

假設(shè)對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(20)采用時(shí)不變反饋控制?(x)。取π={ti}∈[0,∞), i=0,1,…,π的直徑為diam(π)= sup(ti+1-ti)。取x0作為初始值，對(duì)于時(shí)不變反饋控制函數(shù)?(x)，π解定義為：

首先在[t0, t1]上求下面狀態(tài)方程的解：

然后取初值為x1，在[t1,t2]上求下面狀態(tài)方程的解：

按上面方式類推下去，即可得到各時(shí)間段開環(huán)制導(dǎo)率。將各個(gè)時(shí)間段合在一起即可得到閉環(huán)制導(dǎo)率，合在一起的解也就是π解。

以上即為當(dāng)前常見制導(dǎo)方法的原理。顯然，當(dāng)diam(π)→0時(shí)閉環(huán)制導(dǎo)率為理想制導(dǎo)率，但由于制導(dǎo)周期的限制，常見制導(dǎo)方法無法達(dá)到此理想情況。當(dāng)前常用的制導(dǎo)方法通常是設(shè)定一個(gè)所能達(dá)到的制導(dǎo)周期，在制導(dǎo)周期開始時(shí)計(jì)算最優(yōu)控制量，然后在整個(gè)制導(dǎo)周期將此值作用于飛行器，在下一個(gè)制導(dǎo)周期再計(jì)算新的控制量。

其制導(dǎo)方法流程可以表示為圖1所示[9]。首先根據(jù)任務(wù)目標(biāo)求解離線最優(yōu)軌跡，通過最優(yōu)軌跡確定控制量的變化規(guī)律，形成制導(dǎo)算法。飛行器實(shí)際運(yùn)行時(shí)，由于受到擾動(dòng)作用會(huì)偏離離線確定的最優(yōu)軌跡，將由測(cè)量系統(tǒng)得到的實(shí)際運(yùn)行軌道參數(shù)與最優(yōu)軌跡相對(duì)比，通過偏差值確定控制量，在每一制導(dǎo)周期控制量通常不變，并且由于最優(yōu)軌線為飛行器工作前離線生成，無法在實(shí)際飛行過程通過具體情況調(diào)整，采用此種制導(dǎo)方法往往會(huì)導(dǎo)致真實(shí)制導(dǎo)精度很低。

圖1 當(dāng)前常見的制導(dǎo)方法流程Fig.1 Flowchart of current common guidance method

鑒于此，本文基于hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)實(shí)現(xiàn)“時(shí)變制導(dǎo)”，不同于當(dāng)前常見的制導(dǎo)方法，hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)法采用時(shí)變控制率g(x,t)。為求解此時(shí)的狀態(tài)方程我們需引入新的變量，滿足

此時(shí)狀態(tài)方程為

至此，可以仍采用前面的分時(shí)間段方法解此狀態(tài)方程，得到各時(shí)間段開環(huán)制導(dǎo)率，將各個(gè)時(shí)間段合在一起得到閉環(huán)制導(dǎo)率。

上述就是hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)的基本原理，與當(dāng)前常用偽譜法同樣是采用分時(shí)間段的方式，但不同的是制導(dǎo)周期內(nèi)控制量會(huì)發(fā)生變化，不同制導(dǎo)周期控制策略也會(huì)發(fā)生變化，從而提高了制導(dǎo)精度。

圖2 hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)流程Fig.2 Feedback control process of hp-adaptive pseudospectral method

hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)流程如圖2所示。首先針對(duì)初始任務(wù)目標(biāo)求取初始最優(yōu)軌跡并生成制導(dǎo)算法，控制飛行器運(yùn)行；然后將由測(cè)量系統(tǒng)得到的實(shí)際運(yùn)行軌道參數(shù)用于更新任務(wù)目標(biāo)，在線生成新的最優(yōu)軌跡，并且更新制導(dǎo)算法，采用新的制導(dǎo)算法來控制飛行器在新的制導(dǎo)周期內(nèi)運(yùn)行。由于采用了在線實(shí)時(shí)更新制導(dǎo)率的方式，hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)使飛行器對(duì)擾動(dòng)和模型變化的適應(yīng)能力大幅提升。

4 仿真分析

4.1 飛行器再入段軌跡優(yōu)化

對(duì)于本文研究的飛行器再入飛行任務(wù)，假設(shè)飛行著陸平面垂直于經(jīng)線，平面動(dòng)力學(xué)模型采用式(4)所示簡(jiǎn)化的氣動(dòng)力方程即可。并且，本文研究的飛行任務(wù)要求飛行器在到達(dá)地面后具有較大的速度，故以飛行器到達(dá)地面速度最大作為最優(yōu)指標(biāo)，約束條件為初始參數(shù)和終端位置。綜上所述，該軌跡優(yōu)化問題可表述為

性能指標(biāo)：

狀態(tài)方程：

約束條件：

采用前文研究的 hp自適應(yīng)偽譜法對(duì)此最優(yōu)控制問題進(jìn)行求解，通過MATLAB中的SNOPT工具包進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。仿真初始參數(shù)設(shè)置如表1所示，目標(biāo)緯度設(shè)為51.4°。

表1 初始參數(shù)設(shè)置Tab.1 Settings of Initial parameters

仿真結(jié)果如圖3～5所示。圖3為最優(yōu)軌跡對(duì)應(yīng)控制量攻角α的變化情況，可見，在攻角在較小范圍內(nèi)變化的情況下即可實(shí)現(xiàn)最優(yōu)軌跡。圖4為最優(yōu)軌跡示意圖，可見最優(yōu)軌跡在占大部分時(shí)間的前半段近似于傾斜的直線，后期迅速下降近乎垂直落地。圖5為最優(yōu)軌跡對(duì)應(yīng)各狀態(tài)變量變化情況，可見，高度和緯度變化比較平緩，速度和路徑角前期變化較小，接近地面時(shí)由于大氣密度的增大變化較大。

圖3 最優(yōu)軌跡對(duì)應(yīng)攻角變化曲線Fig.3 Angle of attack of optimal trajectory

圖4 飛行器再入段最優(yōu)軌跡Fig.4 Optimal trajectory of craft reentry

圖5 最優(yōu)軌跡對(duì)應(yīng)狀態(tài)量變化曲線Fig.5 State variables according to optimal trajectory

4.2 飛行器再入段制導(dǎo)

由于存在地球大氣分布不均勻、建模誤差、擾動(dòng)等因素，若控制量采用預(yù)先計(jì)算的值，飛行器再入過程往往會(huì)偏離最優(yōu)軌跡，本部分采用hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)對(duì)該過程進(jìn)行制導(dǎo)設(shè)計(jì)。

仿真參數(shù)與 4.1節(jié)相同，并加入大氣模型變化，仿真結(jié)果如圖6至圖8所示。本次仿真輸出了離線計(jì)算的最優(yōu)軌跡和采用 hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)的飛行器實(shí)際運(yùn)行軌跡，并加入未采用閉環(huán)制導(dǎo)方法的飛行器實(shí)際運(yùn)行軌跡作為對(duì)比。

圖6為速度隨時(shí)間變化示意圖。如圖6所示：離線計(jì)算的末速度約為7 km/s，而未采用閉環(huán)制導(dǎo)的實(shí)際運(yùn)行末速度僅為6.6 km/s；而采用hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)的末速度為6.93 km/s，與最優(yōu)值很接近。

圖7為飛行器再入段緯度隨時(shí)間變化圖，圖8為飛行器再入段軌跡，二者均可判定制導(dǎo)位置精度。從兩圖均可看出，離線最優(yōu)軌跡（即設(shè)計(jì)軌跡）落點(diǎn)為51.4°，而未采用閉環(huán)制導(dǎo)的實(shí)際軌跡落點(diǎn)緯度值小于51.38°，與設(shè)計(jì)落點(diǎn)有較大偏差。而采用hp自適應(yīng)偽譜法反饋制導(dǎo)的實(shí)際軌跡落點(diǎn)為51.397°，與預(yù)定落點(diǎn)僅有0.003°的偏差，著陸精度大約300 m。這個(gè)精度對(duì)于對(duì)類似戰(zhàn)略打擊、太空救援等任務(wù)已經(jīng)足夠了。

圖6 飛行器再入段速度隨時(shí)間變化示意圖Fig.6 Velocity of craft reentry

圖7 飛行器再入段緯度隨時(shí)間變化示意圖Fig.7 Latitude of craft reentry

圖8 飛行器再入段軌跡示意圖Fig.8 Trajectory of craft reentry

5 結(jié) 論

本文采用 hp自適應(yīng)偽譜法對(duì)飛行器再入問題進(jìn)行了軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)與制導(dǎo)方法的研究，根據(jù)任務(wù)特點(diǎn)設(shè)定末速度最大為優(yōu)化目標(biāo)。針對(duì)飛行器再入段存在地球大氣分布不均勻、建模誤差、擾動(dòng)等因素的問題，提出了一種基于hp自適應(yīng)偽譜法解決飛行器再入段的制導(dǎo)設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了在線反饋制導(dǎo)率的設(shè)計(jì)，并通過MATLAB仿真驗(yàn)證了該制導(dǎo)方法的可行性和優(yōu)越性。

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Trajectory optimization and guidance for reentry craft based on hp-adaptive pseudospectral method

XIA Hong-wei1, LI Qiu-shi1,2, LI Li1, SONG Xiao-zheng3, WANG Chang-hong1
(1. Space Control and Inertial Technology Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Shenyang Institute of Automation Chinese Academy of Sciences, Shenyang 110016, China; 3. Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 200240, China)

An online optimization and guidance approach for craft reentry trajectory is presented based on hp-adaptive pseudospectral method, in which the trajectory of craft reentry phrase is optimized in condition of maximum final speed. In view that the atmospheric model of reentry phase is irregular, and the spacecraft always encounter disturbance and is difficult to get an accurate model, a feedback control algorithm is derived based on the hp-adaptive pseudospectral method. Simulations are made, which demonstrate that the final-speed got by our approach is 6.93 km/s, which is 0.33 km/s higher than those without closed-loop-guidance, and the guidance precision is improved by 15 times, showing the effectiveness of the proposed approach.

craft reentry; hp-adaptive pseudospectral method; trajectory optimization; feedback guide

V448.2

：A

2015-08-11；

：2015-11-20

國家自然科學(xué)基金（61304108）；上海航天科技創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目；CAST創(chuàng)新基金項(xiàng)目

夏紅偉（1979—），男，博士，主要從事飛行器控制及仿真技術(shù)方面的研究。E-mail: xiahongwei@hit.edu.cn

聯(lián) 系 人：王常虹（1961—），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。E-mail: cwang@hit.edu.cn.

1005-6734(2015)06-0818-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.021