許淑珍,白曉紅,2,馬富麗

(1.太原理工大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院,太原 030024;2.黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

利用MATLAB擬合壓實(shí)黃土土水特征曲線的研究

許淑珍1,白曉紅1,2,馬富麗1

(1.太原理工大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院,太原 030024;2.黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

為了找到準(zhǔn)確且簡便的擬合壓實(shí)黃土的SWCC的模型與方法,利用壓實(shí)黃土入滲試驗(yàn)得到的體積含水率與基質(zhì)吸力的數(shù)據(jù),選用MATLAB的lsqcurvefit,nlinfit和fminunc三種函數(shù)為擬合方法,分別擬合了適用性較廣的van-Genuchten模型和Gardner模型的土水特征曲線,并進(jìn)行了擬合比較。結(jié)果表明,在本課題研究范圍內(nèi),利用fminunc函數(shù)采用Gardner模型擬合壓實(shí)黃土SWCC效果最好；平行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證結(jié)果表明誤差小于10%。利用MATLAB的fminunc函數(shù)通過Gardner模型擬合壓實(shí)黃土土水特征曲線是一個(gè)既方便又準(zhǔn)確的方法。

壓實(shí)黃土;土水特征曲線;MATLAB;擬合

土水特征曲線(Soil-water characteristic curve,以下簡稱SWCC)定義為土的含水量與土的吸力之間的關(guān)系曲線[1]。非飽和土的性狀如非飽和土的滲透、抗剪強(qiáng)度和持水特性都與其SWCC存在一定的關(guān)系[2],由土水特征曲線可以得到非飽和土的抗剪強(qiáng)度、滲透系數(shù)、體積變化等性質(zhì)[3-6]。因此,SWCC是描述非飽和土特性的一個(gè)關(guān)鍵性指標(biāo)曲線。獲得SWCC有直接量測法和經(jīng)驗(yàn)公式法,但直接量測費(fèi)時(shí)費(fèi)力,也具有不穩(wěn)定性,而用經(jīng)驗(yàn)公式來擬合SWCC既穩(wěn)定又方便快捷。常用的經(jīng)驗(yàn)公式有:Brooks-Corey模型[7],Gardner模型[8],van-Genuchten模型[9],McKee和Bumb模型[10]等。但是不同的模型適用于不同的土類,其中Brooks-Corey模型對具有較窄孔徑分布的均質(zhì)和各向同性的粗質(zhì)樣本較理想,而對于細(xì)質(zhì)土壤和未擾動(dòng)的原狀土通常精度較差;Gardner模型由于形式簡單,應(yīng)用最多;van-Genuchten模型具有廣泛的適用性,尤其對于細(xì)粒土具有很高的擬合精度,亦適合吸濕曲線；McKee和Bumb模型在低吸力范圍擬合效果較好,不過只適合粗顆粒土[11-12]。文獻(xiàn)[13]通過對壓實(shí)黃土的SWCC研究發(fā)現(xiàn)Gardner模型和van-Genuchten模型擬合壓實(shí)黃土效果較好。

對于各種模型參數(shù)的擬合,通過數(shù)值計(jì)算求解參數(shù),一般較為復(fù)雜繁瑣,而且容易出現(xiàn)無解的情況,因此可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)程序?qū)ζ淝蠼狻Ｎ墨I(xiàn)[14]通過數(shù)值試驗(yàn)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較,證實(shí)了在不同條件下含水率和基質(zhì)吸力的預(yù)測結(jié)果差異明顯,因此需要找到一種具有一定穩(wěn)定性的擬合土水特征曲線的方法。MATLAB軟件是一種被廣泛使用的軟件,它包涵大量的擬合函數(shù),可以使我們在擬合參數(shù)時(shí)工作大大簡化,不需要花大量時(shí)間去考慮擬合方法和編制程序,有程序開發(fā)環(huán)境簡潔直觀、數(shù)值穩(wěn)定性好和函數(shù)資源豐富的特點(diǎn)。綜上所述,筆者選用MATLAB中的lsqcurvefit,nlinfit和fminunc三種函數(shù)[15]為擬合方法，對Gardner模型和van-Genuchten模型進(jìn)行參數(shù)擬合,旨在找到一種適合壓實(shí)黃土SWCC的擬合模型與擬合方法,為壓實(shí)黃土SWCC擬合方法提供參考。

1 SWCC模型

1.1 van-Genuchten模型

van-Genuchten通過對SWCC的研究,提出非飽和土體積含水率與基質(zhì)吸力之間存在式(1)所示的函數(shù)關(guān)系：

(1)

式中:Se為有效飽和度;θ為體積含水率;θr為殘余含水率;θs為飽和含水率;ψ為基質(zhì)吸力,kPa;a,m,n為擬合參數(shù),其中a與空氣進(jìn)氣值有關(guān),kPa,且m=1-1/n。

式(1)表示的土體體積含水率與基質(zhì)吸力的關(guān)系稱為van-Genuchten模型。

1.2 Gardner模型

Gardner模型表達(dá)式如式(2)所示：

(2)

式中:Se,θ,θr,θs,ψ的含義和van-Genuchten模型中的一致;a,n為擬合參數(shù),其中a與空氣進(jìn)氣值有關(guān),kPa。

2 SWCC擬合方法

MATLAB軟件是一套可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析、優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)、偏微分方程數(shù)值解等領(lǐng)域的計(jì)算和圖形顯示功能的軟件包,它集矩陣運(yùn)算、數(shù)值分析、圖形處理和編程功能于一體,是一種功能強(qiáng)大的分析、計(jì)算和程序設(shè)計(jì)工具,其語言表達(dá)形式簡單,不需要復(fù)雜的編程,且函數(shù)形式分類成庫,使用時(shí)直接調(diào)用這些函數(shù)并賦予實(shí)際參數(shù)即可快速解決問題。

對于SWCC的擬合,筆者使用了MATLAB中的三種函數(shù),分別是非線性最小二乘數(shù)據(jù)回歸擬合函數(shù)nlinfit、非線性最小二乘曲線擬合函數(shù)lsqcurvefit和非線性規(guī)劃函數(shù)fminunc三種方法來進(jìn)行SWCC參數(shù)的求解。

方法1:nlinfit函數(shù)是Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的非線性回歸函數(shù),依據(jù)最小二乘法求解,最小二乘問題就是對由若干個(gè)函數(shù)的平方和構(gòu)成的目標(biāo)函數(shù)求極小值的問題,基本算法是Guass-Newton法。其調(diào)用格式為[Parameters,r,j]=nlinfit(xdata,ydata,‘fun’,Parameters0),其中xdata,ydata是擬合點(diǎn)數(shù)據(jù),Parameters0是初始參數(shù),fun是被擬合的函數(shù)。

方法2:lsqcurvefit是Matlab優(yōu)化工具箱中的函數(shù),它同樣采用最小二乘法來求解非線性函數(shù)的參數(shù),基本算法是Guass-Newton法和Levenberg-Marquardt法。其調(diào)用格式為[Parameters,resnorm]=lsqcurvefit(@fun,Parameters0,xdata,ydata),其中xdata,ydata是擬合點(diǎn)數(shù)據(jù),Parameters0是初始參數(shù),fun是被擬合的函數(shù)。

方法3:fminunc是Matlab優(yōu)化工具箱中的函數(shù),求解無約束優(yōu)化問題,其基本算法是共軛梯度法、牛頓法和擬牛頓法。其調(diào)用格式為[Parameters,fval]=fminunc(‘fun’,Parameters0)；Parameters0是初始參數(shù),fun是目標(biāo)函數(shù)。

3 SWCC的擬合結(jié)果與分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)是通過室內(nèi)一維土柱入滲試驗(yàn)得到的。土柱規(guī)格:高80 cm,直徑150 cm;土樣的體積含水率和基質(zhì)吸力是通過安裝在土柱兩側(cè)的體積含水率傳感器和孔壓傳感器測定的。試驗(yàn)用土為黃土狀粉土,其顆粒組成如表1所示。

表1 土的顆粒組成

3.2 SWCC參數(shù)擬合結(jié)果

擬合效果好壞的評判是通過求參結(jié)果所建立的模型計(jì)算值與實(shí)測值之間的殘差平方和來分析判斷,殘差平方和越小,結(jié)果適應(yīng)性越高,效果越好。

3.2.1 nlinfit函數(shù)對數(shù)據(jù)的擬合效果

用nlinfit函數(shù)對試驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,如圖1所示。擬合參數(shù)如表2所示。

圖1 nlinfit函數(shù)擬合的SWCC

表2 nlinfit 函數(shù)擬合的SWCC的關(guān)鍵參數(shù)

參數(shù)Gardner模型van?Genuchten模型θr-0 0499-0 2754θs0 27680 2768a322 58277 78n1 80831 8055殘差平方和4 1229×10-64 1227×10-6

由表2可以看出,nlinfit函數(shù)擬合的結(jié)果,兩種模型中的殘余含水率θr均為負(fù)數(shù),其結(jié)果沒有意義。因此,表明nlinfit函數(shù)擬合效果不好。

3.2.2 lsqcurvefit函數(shù)對數(shù)據(jù)的擬合效果

用lsqcurvefit函數(shù)對同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,擬合曲線如圖2所示,擬合參數(shù)如表3所示。

圖2 lsqcurvefit函數(shù)擬合的SWCC

表3 lsqcurvefit 函數(shù)擬合的SWCC的關(guān)鍵參數(shù)

參數(shù)Gardner模型van?Genuchten模型θr0 24310 0540θs0 28070 2750a107 53101 01n0 98051 0331殘差平方和4 3414×10-62 0149×10-5

由表3可見關(guān)鍵參數(shù)均為正數(shù),結(jié)果有意義。首先,殘差平方和 Gardner模型為4.341 4×10-6,van-Genuchten模型為2.014 9×10-5,均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.000 1,且θs即飽和含水率相近,說明兩種模型在低吸力范圍的擬合效果都很好。其次,擬合所得的兩個(gè)模型的θr即殘余含水率相差較大,表明高吸力條件下兩種模型擬合效果相差較大。結(jié)合圖2可知,用lsqcurvefit函數(shù)擬合,兩種模型的擬合效果相比,Gardner模型對數(shù)據(jù)擬合效果更好,曲線更符合SWCC的特征,而van-Genuchten模型所得曲線形式不符合SWCC的特征,所以不適用。

3.2.3 fminunc函數(shù)對數(shù)據(jù)的擬合效果

用fminunc函數(shù)對同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的結(jié)果如圖3和表4所示。

圖3 fminunc函數(shù)擬合的SWCC

表4 fminunc 函數(shù)擬合的SWCC的關(guān)鍵參數(shù)

參數(shù)Gardner模型van?Genuchten模型θr0 15170 1000θs0 27950 2800a500 00101 01n0 99981 2005殘差平方和4 2356×10-64 2799×10-6

由圖3和表4可知,用fminunc 函數(shù)擬合的結(jié)果無論是Gardner模型還是van-Genuchten模型整體效果均為相近。擬合殘差平方和均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.000 1,分別為4.235 6×10-6和4.279 9×10-6,且飽和含水率θs幾乎一樣,說明兩種模型在低吸力范圍的擬合效果都很好。其次,殘余含水率θr相近;擬合參數(shù)n和a,亦相近;兩種模型擬合曲線形狀整體相似,只有在高吸力范圍有一些差距。因此用fminunc函數(shù)來擬合更具有穩(wěn)定性?？紤]到Gardner模型參數(shù)相對較少且物理意義明確,整體擬合效果較van-Genuchten模型更好。

3.3 SWCC參數(shù)擬合結(jié)果驗(yàn)證

為了進(jìn)一步確定擬合結(jié)果的正確性,用同一土料所做另外一個(gè)平行的一維土柱試驗(yàn)的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證,即將數(shù)據(jù)代入用fminunc函數(shù)擬合Gardner模型土水特征曲線得到的表達(dá)式中,比較計(jì)算值與實(shí)測值的誤差。

表5為平行驗(yàn)證試驗(yàn)的體積含水率的實(shí)測值、擬合公式的計(jì)算值以及兩者的誤差。由此可知,實(shí)測值與計(jì)算值誤差在6.71%～8.82%之間,平均為7.69%,小于10%,說明使用fminunc函數(shù)以Gardner模型來擬合壓實(shí)黃土的SWCC是準(zhǔn)確且穩(wěn)定的。

表5 fminunc 函數(shù)擬合的Gardner公式誤差列表

4 結(jié)論

通過MATLAB軟件中的nlinfit函數(shù),lsqcurvefit函數(shù)和fminunc函數(shù)分別利用Gardner模型和van-Genuchten模型來擬合壓實(shí)黃土的SWCC,結(jié)果表明:

1) 利用fminunc函數(shù)及Gardner模型和van-Genuchten模型來擬合壓實(shí)黃土的SWCC曲線整體效果良好,兩種模型的擬合參數(shù)相近,曲線整體形狀符合SWCC的特征,因此用fminunc函數(shù)擬合壓實(shí)黃土SWCC具有可行性。

2) Gardner模型和van-Genuchten模型相比,雖然van-Genuchten模型的使用范圍更廣,但對于壓實(shí)黃土而言,實(shí)測數(shù)據(jù)一般在低吸力范圍較小且數(shù)據(jù)量較少；而Gardner模型因其參數(shù)少,整體效果反而更好。

3) 通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證,利用fminunc函數(shù)采用Gardner模型來擬合壓實(shí)黃土的SWCC的誤差小于10%,具有較好的精度和穩(wěn)定性。

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(編輯：朱倩)

Study of Fitting Soil-water Characteristic Curves for Compacted Loess by MATLAB

XU Shuzhen1,BAI Xiaohong1,2,MA Fuli1

(1.CollegeofArchitectureandCivilEngineering,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China;2.KeyLaboratoryofHighwayConstruction&MaintenanceTechnologyinLoessRegion，Taiyuan030006,China)

Three functions in MATLAB,i.e.lsqcurvefit,nlinfit and fminunc,were used to find a convenient and accurate way to fit soil-water charactieristic curve(SWCC) of compacted loess,by using van Genuchten model and Gardner model separately.The fitting data of volumetric water content and matrix suction were obtained by one dimensional infiltration test of compacted loess.The analysis on fitting effects shows that the fitting result of Gardner model by fminunc function is the best among the methods used in this study.Finally,the data from a parallel test were used to verify the fitting formulae.The errors between calculated and measured data are less than 10%,which further verifies that Gardner model fitting SWCC of compacted loess by using fminunc of MATLAB is convenient,stable and accurate.

Compacted loess；SWCC;MATLAB；Fitting

2014-05-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目：壓實(shí)黃土的工程力學(xué)特性及微觀結(jié)構(gòu)研究(51178287)；黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放題(KLTLR-Y12-1)；山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2010011029)

許淑珍(1990-)，女，山西霍州人，在讀碩士，主要從事壓實(shí)粉土的工程性質(zhì)試驗(yàn)的研究，(E-mail)xushuzhen0221@link.tyut.edu.cn

白曉紅，教授，博士生導(dǎo)師，(E-mail)bxhong@tyut.edu.cn

1007-9432(2015)01-0081-04

TU441

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2015.01.016