黃麗麗,張金順

(華僑大學數(shù)學科學學院,福建泉州362021)

引入Pfaff元:

變系數(shù)kdv方程的Grammian解及Wronskian解

黃麗麗,張金順*

(華僑大學數(shù)學科學學院,福建泉州362021)

主要研究一類變系數(shù)kdv方程,通過其雙線性形式及Hirota方法,結(jié)合其Wronskian行列式解,得到一個Grammian行列式解。引入Pfaff式,證明此Grammian行列式解滿足變系數(shù)kdv方程的雙線性方程,并證明其Grammian行列式解及Wronskian行列式解的雙線性孤子方程滿足Praff恒等式,且均可用Maya圖表示,從而更清晰地表達出變系數(shù)kdv方程解的性質(zhì),并將孤子方程化為一種簡單的圖表。Grammian行列式等價于Jacobi恒等式;Wronskian行列式等價于Plücker關(guān)系,而Jacobi恒等式及Plücker關(guān)系則是Pfaff恒等式的特殊情形。

變系數(shù)kdv方程;Grammian行列式解;Wronskian行列式解;Hirota方法

孤子理論在非線性科學發(fā)展領(lǐng)域中占據(jù)著很大的作用,在最近這些年里,孤子方程可積系統(tǒng)得到了高度重視.許多變系數(shù)可積方程在物理現(xiàn)象中大量地出現(xiàn),而變系數(shù)發(fā)展方程反映了一些物理情形中的真實模型.本文主要研究變系數(shù)kdv方程:

其中h1=h1(t),h2=h2(t),h3=h3(t)都是關(guān)于t的任意函數(shù).至今為止,大家對此方程進行了很多方面的研究:文獻[1]通過雙線性形式及Hirota方法給出了其Wronskian形式的精確解;文獻[2]中通過反散射方法解決了方程(1)的初值問題;文獻[3]研究了其無窮守恒律;文獻[4]討論了它的對稱性;文獻[5]通過齊次平衡法得到了其B?cklund變換.

Hirota方法[6],B?cklund變換[7],Wronskian技巧[8]是尋找非線性方程孤子解的3種有效的直接方法.Mikio Sato曾提出一種新的觀點[9-10]:雙線性方程可以視為等價于Grassmann流行上的Plücker關(guān)系式.本文將給出方程(1)的Grammian行列式解及Wronskian行列式解,并利用Mikio Sato設(shè)計的Maya圖表,結(jié)合Pfaff恒等式,把孤子方程化為一種簡單的圖表.

1 Grammian行列式解

通過變換

方程(1)可寫成雙線性導數(shù)方程:

其中D是我們所熟知的Hirota雙線性算子:

文獻[1]給出了方程(1)的Wronskian行列式解:

函數(shù)fj=fj(x,t)(j=1,2,…,n)對一切ˉ∞＜x＜∞,t≥0具有任意階的連續(xù)導數(shù),且滿足關(guān)系式:

定義1 如果方程(1)的N-孤子解具有形式:

其中pi=pi(x,t),gj=gj(x,t),cij=常數(shù),則

τN=det(aij)

稱為方程(1)的Grammian行列式解.

定義2 一個Pfaff式的平方就是一個偶數(shù)階反對稱行列式A=det(ajk),由此定義的Pfaff式記為(1, 2,…,2n).

例如,當n=1時,

Pfaff恒等式存在著很多種不同的形式,這里給出本文將利用的其中一個,它有如下的形式:

定理1 設(shè)pi(x),gi(x)滿足條件:

則由式(6)定義的Grammian行列式τN滿足雙線性方程(3).

證明 將τN寫成Pfaff形式,則

引入Pfaff元:

于是aij=(i,j*)的導數(shù)可以寫成:

記τ=τN,τ=(1,2,…,N,N*,…,2*,1*)=(·).于是可以得到:

將上面的Pfaff式代入方程(3),可以得到:

其中利用了恒等式

由行列式性質(zhì)得到

于是我們用Maya圖可表示為:

即由式(6)給出的函數(shù)τN是雙線性方程(3)的一個Grammian行列式解.

注:Maya圖中○和空格分別表示填充的和空的方格,上圖省略了所有共同的部分.

2 Wronskian行列式解的Maya圖表示

利用文獻[11],記τ=(0,1,2,…,2Nˉ1),則

將上面的導數(shù)代入雙線性方程(3)的左邊通過一些復雜的計算可以得到:

3 結(jié) 論

孤子理論現(xiàn)已滲透到流體力學等離子體物理,海洋科學,光纖通信,生物科學等各個領(lǐng)域.孤子理論的研究也呈現(xiàn)多樣化,在計算求導公式時,應(yīng)用Pfaff式計算比應(yīng)用行列式計算更簡單,通過上述討論我們得到雙線性孤子方程滿足Pfaff恒等式:如果τ表示為Grammian行列式,它等價于Jacobi恒等式;如果τ表示為Wronskian行列式,它等價于Plücker關(guān)系.

顯然Plücker關(guān)系和Jacobi恒等式都是下面Pfaff恒等式的的特殊情形:

[1] Deng S F.Exact solutions for a nonisospectral and variable-coefficient kdv equation[J].Commun Theor Phys, 2005,43:961-964.

[2] Chan W L,Li K S.Nonpropagating solitons of the variable-coefficient and nonisospectral kdv equation[J].Math Phys,1989,30:2521-2526.

[3] Lou S Y,Ruan H Y.Conservation laws of the variable-coefficient kdv and mkdv equations[J].Acta Phys Sin, 1992,41:182-187.

[4] Zhang J F,Han P.Symmetries of the variable-coefficient and three hierarchies of the integrodifferential variablecoefficient kdv equation[J].Chin Phys Lett,1994,11:721-723.

[5] 陳登遠.孤子引論[M].北京:科學技術(shù)出版社,2006.

[6] Hirota R.Exact solution of the korteweg-de vries equation for multiple collisions of solitons[J].Phys Rev Lett, 1971,27:1192-1194.

[7] Hirota R.A new form of B?cklund transformations and its relation to the inverse scattering problem[J].Prog Theor Phys,1974,52:1498-1512.

[8] Freeman N C,Nimmo J J C.Soliton solutions of the korteweg-de vries and kadomtsev-petviashvili equations: the wronskian technique[J].Phys Lett,1983,95:1-3.

[9] Sato M.Soliton equations as dynamical systems on an infinite dimensional Grassmannian manifold[J].Surikaiseki Kenkyusho Kokyuroku(RIMS,Kyoto University),1981, 439:30-46.

[10] Ohta Y,Satsuma J,Takahashi D,et al.Anelementry intro-duction to Sato theory[M].Progr Theor Phys Suppl,1988,94:210-240.

[11] Hirota R.The direct methods in soliton theory[M]. Cambridge:Cambridge University Press,2004.

Grammian Solution and Wronskian Solution for the Variable-coefficient Kdv Equation

HUANG Li-li,ZHANG Jin-shun*
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

:This paper mainly studies a variable-coefficient kdv equation,through its bilinear form and Hirota method,combined with its Wronskian determinant solution,we obtain a Grammian determinant solution.With the introduction of Pfaff form,we prove the Grammian determinant solution satisfies Bilinear equation of the variable-coefficient kdv equation,and prove its Grammian determinant solution and Wronskian determinant solution′bilinear soliton equation satisfy Pfaff identities.We also prove the two solutions can be figured out by Maya diagram.So the qualities of the variable-coefficient kdv equation′solutions can be clearly showed out,and the soliton equation is made into a simple diagram.Grammian determinant is equivalent to Jacobi identity,and Wronskian determinant is equivalent to Plücker relation.Jacobi identity and Plücker relation are special circumstances of the Pfaff identities.

Variable-coefficient kdv equation;Grammian determinant solution;Wronskian determinant solution;Hirota method

O 175.29

A

0438-0479(2015)03-0354-04

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.03.011

2014-02-10 錄用日期:2014-10-13

*通信作者:jszhang@hqu.edu.cn

黃麗麗,張金順.變系數(shù)kdv方程的Grammian解及Wronskian解[J].廈門大學學報:自然科學版,2015,54(3):

354-357.

:Huang Lili,Zhang Jinshun.Grammian solution and wronskian solution for the variable-coefficient kdv equation[J].

Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(3):354-357.(in Chinese)