吉智深

分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)中教師最難教、學(xué)生最難學(xué)的內(nèi)容之一，難就難在學(xué)生對(duì)“某數(shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于某數(shù)乘以該分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的算理不容易理解。正因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除法難教、難學(xué)，關(guān)于它的教學(xué)研究成為近期的一個(gè)熱點(diǎn)話題。而筆a者認(rèn)為，要教好分?jǐn)?shù)除法就必須解決好教學(xué)過(guò)程的幾個(gè)“兩難”問(wèn)題。

一、 豐富背景與單一背景之間的兩難選擇

人總是以已有知識(shí)作為背景，去認(rèn)識(shí)、獲取新知識(shí)，分?jǐn)?shù)除法的背景較多，有整數(shù)除法的背景、除法是乘法的逆運(yùn)算的背景、分?jǐn)?shù)乘法的背景等。以1÷為例，它可以建立在以下背景之上：

1.包含背景：求1中有多少個(gè)，或的多少倍是1。

2.等分背景：求一個(gè)數(shù)，使得它的是1。

3.乘積背景：求乘以得乘積為1的因數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材所給的背景與教師選擇的背景不同，蘇教版和北師大版教材中的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)都以“分物”為背景，歸納分?jǐn)?shù)除法的算法。而有些教師利用“除法是乘法的逆運(yùn)算”這一背景開展分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)。設(shè)：÷=，由除法是乘法的逆運(yùn)算可得：×=，3×x=3，4×y=8，x=3÷3，y=8÷4，綜合起來(lái)就是÷===，如果省略過(guò)程，呈現(xiàn)在學(xué)生眼前的就是：÷==。接下來(lái)考慮，發(fā)現(xiàn)÷==這個(gè)規(guī)律依然成立，最后，通過(guò)“劃歸”的方法，探討一般分?jǐn)?shù)的除法，從而得到：÷=÷==。

從上面的分析可以看出：教師和教材在分?jǐn)?shù)除法算法及其含意的理解上有分歧，雙方都把這種算法引入到不同的背景中，當(dāng)然這種認(rèn)識(shí)上的差異是必然的，甚至是積極的，但要引導(dǎo)師生進(jìn)行有效的對(duì)話，就不能采用有分歧的背景，而必須共同觀察相同的參考背景。分?jǐn)?shù)除法教學(xué)時(shí)，應(yīng)考察同一個(gè)背景——“分物”，它是除法運(yùn)算的一個(gè)聯(lián)結(jié)因素，它在以前的除法和分?jǐn)?shù)除法之間建立了聯(lián)系，分?jǐn)?shù)除法的算法也有了合情合理的解釋。

香港地區(qū)也用類似于“分物”的背景來(lái)教學(xué)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)。在實(shí)踐活動(dòng)中通過(guò)折紙發(fā)現(xiàn)：1（2，3，4）包含了多少個(gè)？推算：8包含了多少個(gè)？學(xué)生探究出：整數(shù)÷=整數(shù)×4。在探究活動(dòng)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生利用小組內(nèi)的手工紙，找出：3張手工紙包含了多少個(gè)？

二、 知識(shí)載體與知識(shí)含義之間的兩難推理

我們都知道，在數(shù)學(xué)知識(shí)的每一次介入中存在一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)論二難推理：教師想提供新知識(shí)給學(xué)生時(shí)，他們必須使用新知識(shí)的載體（符號(hào)與圖表），當(dāng)然符號(hào)與圖表之間由某些嚴(yán)密的規(guī)則相聯(lián)系。教學(xué)過(guò)程中必須使學(xué)生的注意力集中在這些知識(shí)載體上，然而，知識(shí)的含義并不包含在這些載體中，要讓學(xué)生知道知識(shí)含義，就必須要學(xué)生自己去探索。也就是說(shuō)，學(xué)生不能從知識(shí)載體直接讀出知識(shí)含義，必須從中主動(dòng)地重新建構(gòu)。這是分?jǐn)?shù)除法教學(xué)必須要面對(duì)的問(wèn)題。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第46頁(yè)的練一練為例，闡明這個(gè)認(rèn)識(shí)論難題。

我們知道，對(duì)于÷=×=2，一方面，用某些運(yùn)算符號(hào)聯(lián)結(jié)起來(lái)的數(shù)學(xué)表示形成了一個(gè)小小的運(yùn)算體系；另一方面，教材想借助一個(gè)幾何背景，為符號(hào)與運(yùn)算提供含義。右上角的圖形以什么樣的方式賦予÷=2含義呢？對(duì)于和，其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是另一分?jǐn)?shù)的倍數(shù)，似乎需要預(yù)先假定某一類分?jǐn)?shù)，用來(lái)表明圖形與公式之間最初的相互作用。這種相互作用還有另外的一些暗示：在右上角的長(zhǎng)方形中，對(duì)1和單位的理解必須是可變動(dòng)的。10個(gè)小方塊是單位，與的比例分別是3個(gè)長(zhǎng)方形（每一個(gè)長(zhǎng)方形有2個(gè)小方塊）與含3個(gè)小方塊的一個(gè)長(zhǎng)方形的比列。解釋÷=2時(shí)，對(duì)“2”的認(rèn)識(shí)論含意要根據(jù)單位的改變而改變。2可以這樣理解：將解釋為，將÷改成÷，計(jì)算÷時(shí)，可以不考慮分母10，只相當(dāng)于運(yùn)算就行了。

以上的分析表明，單位的解釋要改變，首先，含有10個(gè)方塊的大長(zhǎng)方形表示單位1，接著，單獨(dú)的方塊也表示單位1。這種認(rèn)識(shí)上的改變?cè)从趯?duì)的再認(rèn)識(shí)，像這樣的一個(gè)分?jǐn)?shù)，并非僅僅是簡(jiǎn)單的兩個(gè)具體數(shù)字6和10的關(guān)系，而是大量這類關(guān)系如：、 、、……的一個(gè)代表。誰(shuí)是其中的代表要根據(jù)幾何圖形與給定的數(shù)值符號(hào)而定。

分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中遇到的認(rèn)識(shí)論難題就是，要以符號(hào)載體來(lái)傳送知識(shí)，同時(shí)又要超越這些具體載體。所以在課堂里，教師必須給學(xué)生呈現(xiàn)特定背景下的學(xué)習(xí)情境，從而可以在交流中分享，最后，借助于概括，創(chuàng)設(shè)一個(gè)消除背景的過(guò)程，幫助學(xué)生自覺(jué)重建隱藏在背景后面的數(shù)學(xué)知識(shí)的含意。

三、 邏輯標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)之間的兩難評(píng)價(jià)

我們都知道，不同的人利用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)背景得到不同的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，分?jǐn)?shù)除法教學(xué)也不例外。除了通常的“顛倒法”之外，有些研究者推薦了“通分法”。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第46頁(yè)的練一練，÷，可以這樣來(lái)計(jì)算：把通分為，再和比較，看看包含幾個(gè)，也就是：÷=÷=6÷3=2。康托就曾經(jīng)這樣寫道：“數(shù)學(xué)在它自身的發(fā)展中完全是自由的，對(duì)它的概念的限制只在于：必須是無(wú)矛盾的并且和先前定義引進(jìn)的概念相協(xié)調(diào)?！边@是數(shù)學(xué)研究的邏輯標(biāo)準(zhǔn)。而“數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)于研究工作‘?dāng)?shù)學(xué)意義’的分析。如新的研究是否有利于認(rèn)識(shí)的深化以及方法論上的進(jìn)步等?！?/p>

前面所講用“通分法”來(lái)解決分?jǐn)?shù)除法，從邏輯標(biāo)準(zhǔn)上來(lái)評(píng)價(jià)是沒(méi)有任何問(wèn)題的，可能有人還會(huì)認(rèn)為若用直觀圖來(lái)解釋“通分法”的算理更能體現(xiàn)其優(yōu)越性，歷史上也出現(xiàn)了一些其他類似的獨(dú)特方法。但為什么這些方法最終都被人們所拋棄，而唯獨(dú)留下“顛倒法”呢？我們是不是應(yīng)該從“數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”的角度來(lái)評(píng)價(jià)一下“通分法”。從計(jì)算方法來(lái)講，“通分法”是把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，這種方法當(dāng)然可行，但是不是最簡(jiǎn)潔、最有效的方法呢？前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的乘法，為什么非要通過(guò)復(fù)雜的通分而計(jì)算出結(jié)果呢？轉(zhuǎn)化為剛學(xué)的分?jǐn)?shù)乘法豈不更好。正如皮亞杰曾指出：“在更高的層次上對(duì)已有的東西重新進(jìn)行構(gòu)建，并使前者成為一個(gè)更大結(jié)構(gòu)的一個(gè)部分。這樣，我們最終就獲得了一個(gè)無(wú)限豐富，而又層次分明、井然有序的數(shù)學(xué)世界?！?/p>

當(dāng)然，“通分法”與“顛倒法”并不矛盾，不能否認(rèn)“通分法”，因?yàn)橛辛诉@種方法，我們才能從更為廣泛的角度去理解知識(shí)。但是教師不能因?yàn)椤邦嵉狗ā彪y理解而抓住“通分法”不放，教師要善于從“數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”的角度去評(píng)價(jià) “通分法”和“顛倒法”，讓學(xué)生真正理解“顛倒法”這種算法所體現(xiàn)的“數(shù)學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部和諧”。

四、 理解保持與記憶結(jié)論之間的兩難平衡

數(shù)學(xué)教學(xué)中有一對(duì)矛盾——理解和記憶，分?jǐn)?shù)除法教學(xué)也不例外。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘法的算理——“顛倒法”難于理解，而利用“顛倒法”來(lái)計(jì)算分?jǐn)?shù)除法又如此簡(jiǎn)單。如何解決這個(gè)矛盾？不少學(xué)者提議：先記憶，再理解，先讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，記住算理，然后再來(lái)理解算理。他們的理由是學(xué)生的理解能力有差異，不是所有學(xué)生都能在四十分鐘內(nèi)完全理解算理的，對(duì)于程序性知識(shí)，可以先知其然，然后知其所以然。我們仔細(xì)分析“先記憶，再理解”這一“緩沖”的方法，其實(shí)有時(shí)是很難實(shí)現(xiàn)的。教師要讓學(xué)生記憶算法，就必須通過(guò)訓(xùn)練達(dá)到熟練的程度，這固然是一件好事。但有時(shí)過(guò)早、過(guò)多的訓(xùn)練，學(xué)生的理解的保持會(huì)受到訓(xùn)練的嚴(yán)重威脅，他們才不會(huì)努力理解這些“顯而易見”的算法。

弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中指出：“算法是一種完全極端的情況，它一旦被掌握，或確信被掌握，人們很可能就不理會(huì)它們的來(lái)源。的確，算法最大的優(yōu)點(diǎn)就是它們能機(jī)械地進(jìn)行。但是當(dāng)它們變得無(wú)用，或甚至對(duì)數(shù)學(xué)本身的目標(biāo)構(gòu)成危害（即把數(shù)學(xué)和操作算法等同起來(lái)）時(shí)，它們就變成了缺點(diǎn)?！苯處煹墓ぷ鞑皇墙虒W(xué)生僅知道應(yīng)用“顛倒法”快速得到答案，關(guān)鍵是要讓學(xué)生理解這個(gè)算法的真正意義。

如何更好地解決理解保持與記憶結(jié)論之間的矛盾，弗賴登塔爾給出的建議是：“讓學(xué)習(xí)者在他的學(xué)習(xí)過(guò)程中反思”。一個(gè)孩子或成年人告訴你“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)。”你繼續(xù)問(wèn)他們這是為什么？然而他們中的大部分不能解釋這是為什么。最可怕的是：他們可能認(rèn)為這件事不值得討論。難道他們都是通過(guò)死記硬背學(xué)會(huì)這些法則的嗎？可能事實(shí)不是這樣的，當(dāng)你要求他們用畫圖或具體事物來(lái)解決 ÷時(shí)，他們會(huì)有多種直觀的方法解釋這個(gè)問(wèn)題。如：有一個(gè)塊的蛋糕，每人分這塊蛋糕的，問(wèn)能發(fā)給幾個(gè)人？或者把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整數(shù)問(wèn)題：12個(gè)面包的是8，12個(gè)面包的是2，這樣就把÷的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成8÷2。這和用倒數(shù)相乘得到的答案是一致的。就像弗賴登塔爾所提建議：“與其教這些法則，不如讓他們討論他們的直覺(jué)，教他們反思那些看起來(lái)明顯的事情?！?/p>

最后想說(shuō)明的是，筆者提出分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的幾個(gè)“兩難”問(wèn)題，并不是想把這些兩難問(wèn)題對(duì)立起來(lái)，肯定一個(gè)，否定另一個(gè)。提出這些“兩難”問(wèn)題的目的就是提醒我們要看到分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中出現(xiàn)的類似問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是解決問(wèn)題的第一步，接下來(lái)的工作就是要發(fā)揮教研人員和廣大教師的智慧來(lái)解決這些問(wèn)題，相信我們有能力解決好這些問(wèn)題，讓兩難問(wèn)題不再兩難?！矩?zé)任編輯：陳國(guó)慶】