☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) 吳寶瑩

·江蘇省無錫市吳寶瑩數(shù)學(xué)名師工作室·

旦德林雙球模型定義后的“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)

☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) 吳寶瑩

“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是解析幾何中圓錐曲線的起始課，多次被選為國家、省、市評(píng)優(yōu)課的課題.新教材的設(shè)計(jì)思路遵循了橢圓發(fā)展的歷史：公元前3世紀(jì)，阿波羅尼奧斯（Apollonius，約公元前262年～約公元前190年）在《圓錐曲線論》中采用平面截對(duì)頂?shù)膱A錐得到橢圓，并由多個(gè)命題導(dǎo)出橢圓的兩個(gè)焦半徑之和等于常數(shù)這一性質(zhì).17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（F.van.Schooten，1615～1660）利用橢圓的兩個(gè)焦半徑之和等于常數(shù)這一性質(zhì)，給出橢圓的畫法.直到1822年比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林（G．P. Dandelin，1794～1847）利用雙球模型總結(jié)出橢圓的定義［1］.新教材中第二節(jié)課才是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，但在實(shí)際教學(xué)中（包括國家、省、市評(píng)優(yōu)課），由于大部分老師不習(xí)慣新教材的設(shè)計(jì)思路，往往還是沿襲舊教材的做法，把橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的定義安排在一節(jié)課上，報(bào)刊上發(fā)表的有關(guān)文章大多也是把二者放在一起.下面就談一談按照新教材的設(shè)計(jì)思路，旦德林雙球模型定義后的“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)，以饗讀者.

一、形成認(rèn)知沖突，驅(qū)動(dòng)探求欲望

17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰的橢圓的畫法（基于兩個(gè)焦半徑之和等于常數(shù)）是在把圓壓扁變成“橢圓”之后總結(jié)出來的，教師用幾何畫板再現(xiàn)這一歷史過程，直觀地可以看出圓壓扁后的曲線上任一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和始終等于同一個(gè)常數(shù)（大于|F1F2|），根據(jù)橢圓的定義，圓壓扁后的曲線應(yīng)當(dāng)是橢圓，但這只是幾何直觀驗(yàn)證，有失嚴(yán)謹(jǐn)性，需要從代數(shù)意義上的嚴(yán)格證明，那么又如何證明呢？現(xiàn)有的知識(shí)解決不了，這就引起認(rèn)知沖突，驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)一步探求的欲望，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的方法研究幾何問題，這恰恰是解析幾何的本質(zhì)特征！聯(lián)想類比圓的研究過程，為了研究圓的性質(zhì)，就要建立圓的方程，而圓的方程實(shí)際上就是圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）中x、y的關(guān)系，又因?yàn)樽鴺?biāo)是存在于坐標(biāo)系中的，所以首先要建立坐標(biāo)系.于是求曲線方程的一般步驟就自然浮出水面：

然后按照上述步驟推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直入本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn).

二、教學(xué)中“突兀點(diǎn)”的處理

數(shù)學(xué)教學(xué)追求合理順暢.數(shù)學(xué)概念的合理性、數(shù)學(xué)公式的來龍去脈、為什么要引入某個(gè)參數(shù)、怎樣引入才不顯“突兀”、怎樣引入才順接學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”等這些問題都值得我們注意.一方面，通過計(jì)算機(jī)模擬將圓壓扁成橢圓的演示（如圖1，圓心一分為二，兩條重疊的半徑MF分裂成兩條焦半徑MF1、MF2），為學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程中2a的引入作了認(rèn)識(shí)上的準(zhǔn)備，這要比教材中直接設(shè)出|MF1|+|MF2|=2a要自然的多，避免了這個(gè)“突兀點(diǎn)”.另一方面，如圖2，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，在Rt△MOF2中|MF2|=a，|OF2|=c，所以a2-c2=|OM|2，令b2=a2-c2，這里引入?yún)?shù)b簡化了計(jì)算，更重要的是參數(shù)b具有確切的幾何意義：線段OM的長（橢圓的中心到上頂點(diǎn)的距離）.這樣的教學(xué)就比較合理順暢，不顯得突兀.

圖1

圖2

三、努力提煉數(shù)學(xué)思想方法

通過引導(dǎo)學(xué)生參與探索活動(dòng)，幫助學(xué)生提煉和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)本身所隱含的數(shù)學(xué)思想方法.

1.轉(zhuǎn)化與化歸思想

將|MF1|+|MF2|=2a坐標(biāo)化為是幾何形式向代數(shù)形式的轉(zhuǎn)化；將化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是化繁為簡的過程，就是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

2.數(shù)形結(jié)合思想

通過探求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從代數(shù)層面上嚴(yán)謹(jǐn)證明“圓壓扁變成的曲線是橢圓”是典型的“以數(shù)解形”，即幾何問題代數(shù)化.

3.分類討論思想

不能確定焦點(diǎn)的位置，不妨就分焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論，是很自然的想法，也是很好的方法.

這里用到的就是分類討論的思想，當(dāng)然教師還可以引導(dǎo)學(xué)生分析引起討論的原因，為了避免討論，可設(shè)成x2和y2項(xiàng)的分母不分大小的橢圓的方程，即0，n＞0，m≠n），甚至進(jìn)一步設(shè)橢圓的方程為px2+qy2=1（p＞0，q＞0，p≠q），這樣就有一定的靈活性，避免了討論，大大簡化了解題過程，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔之美，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生精益求精的良好行為習(xí)慣.

4.方程的思想

實(shí)際上，上述分類討論中用到的待定系數(shù)法就是方程思想的應(yīng)用.另外引導(dǎo)學(xué)生在看作兩個(gè)未知數(shù)，通過解方程（組），解出其中一個(gè)，再平方化簡得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也是方程思想的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有意識(shí)地提煉和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，值得每一位數(shù)學(xué)教師認(rèn)真關(guān)注.

四、注意發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維

數(shù)學(xué)是思維的體操，這里的思維主要指理性思維.一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)理性思維主要包括三個(gè)方面.

（1）從數(shù)和形的角度觀察事物，提出有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的問題（存在性、唯一性、不變性、充要性）；

（2）運(yùn)用歸納抽象、演繹證明、運(yùn)算求解、空間想象、直覺猜想等思維方式分析和思考問題；

（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述和交流.

其一，上文中提到的“以數(shù)解形”與“以形助數(shù)”就是從數(shù)和形的角度觀察事物，提出有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的問題的具體體現(xiàn).

其二，整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)化簡過程，既是歸納抽象，又是演繹推理.尤其在教學(xué)時(shí)不拘泥于教材中的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，上述有理化的方法，以及把處理，消去參量d后，可得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.這些教學(xué)處理方法很好地培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性與發(fā)散性.

“第一次平方后，從a2-cx=aa2y2=a2（a2-c2）等價(jià)嗎？為什么？”“橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程嗎？反之，以方程的解（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上嗎？”“a2-cx=a有什么幾何意義？”等這些追問與思考，無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理性思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與深刻性.

其三，圍繞標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)展開的師生、生生之間的對(duì)話，顯然是數(shù)學(xué)語言的表述和交流.所有這些，都體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)理性思維的要求.

五、努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值

數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其最根本的特征是：它表達(dá)了一種勇于探索的精神.這種探索精神，將不斷促進(jìn)人類的思想解放，使人成為更完全、更豐富、更有力量的人.為此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須充分發(fā)掘數(shù)學(xué)的文化教育功能.

這節(jié)課通過引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程，努力促使教學(xué)、學(xué)習(xí)、研究三者同步協(xié)調(diào)和諧發(fā)展.這一過程對(duì)初學(xué)橢圓的學(xué)生來說有一定的困難，但是經(jīng)過自己不畏困難的努力與探索欣賞到數(shù)學(xué)的和諧之美、簡潔之美，可以幫助學(xué)生體會(huì)追求真理的艱辛以及成功后的愉悅，以此培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，逐步形成良好的個(gè)性品質(zhì)，而這正是數(shù)學(xué)文化價(jià)值的真諦.

新課程的一個(gè)鮮明特點(diǎn)是以學(xué)生的發(fā)展為本，關(guān)注學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，注重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程的揭示，倡導(dǎo)通過學(xué)生參與，自主探究，發(fā)現(xiàn)知識(shí)，習(xí)得知識(shí)，重在學(xué)生潛能的開發(fā)、創(chuàng)新意識(shí)和探索發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng).本節(jié)課在這方面作了有益的探索.這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是在學(xué)生擁有了圓的方程等知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，類比圓的方程的建立過程，探求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這是對(duì)學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的有意關(guān)注.另外，整節(jié)課以“再現(xiàn)定義—親身感知—?jiǎng)邮滞茖?dǎo)—簡單應(yīng)用”為主線將問題逐一展開.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由學(xué)生自行完成，課堂小結(jié)由師生共同完善，這既是對(duì)學(xué)習(xí)主體的充分尊重，使學(xué)生獲得親歷知識(shí)生長發(fā)展的體驗(yàn)，又是培養(yǎng)學(xué)生自我參與意識(shí)和探索發(fā)現(xiàn)能力、開發(fā)學(xué)生潛能的有效方式.

誠然，在數(shù)學(xué)教學(xué)中獲得結(jié)果，特別是獲得準(zhǔn)確的結(jié)果是重要的，但從某種意義上說，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)獲取知識(shí)的過程要比獲得結(jié)果更重要.這是因?yàn)檫@種獲取知識(shí)的過程，不僅是知識(shí)生長、發(fā)展的動(dòng)態(tài)延伸，更是開啟智慧、發(fā)展智力、培養(yǎng)潛能、提高素質(zhì)的源泉.正如一次旅行，不必太在意目的地，重要的是不要錯(cuò)過沿途的風(fēng)景！

1.陳鋒，王芳.基于旦德林雙球模型的橢圓定義教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（4）.

2.賈士代.推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的幾點(diǎn)體會(huì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1984（11）.

3.胡挺員.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1999（8）.