☉湖南省衡東縣第五中學(xué) 吳維車

深挖隱含條件速尋解題入口
——以“圓錐曲線”問題為例

☉湖南省衡東縣第五中學(xué) 吳維車

合理利用已知條件是問題順利求解的關(guān)鍵，但某些命題中條件的給出并不是直接的，而是需要解題者深入挖掘才能得到的.那么，如何才能正確挖掘出這些隱含的條件，決定著問題能否順利解決.本文筆者以圓錐曲線問題為例，就其隱含條件的探究提幾點建議，供廣大讀者參考.

一、挖掘解析幾何的平面幾何性

隱含條件：通常解析幾何是指用代數(shù)方法處理幾何問題，如坐標(biāo)法、代入消元法、判別式法、根與系數(shù)的關(guān)系等方法在解題中的應(yīng)用，但其并沒有完全脫離平面幾何，本題中若橢圓C上的點P，使得△F1F2P為等腰三角形，故相等的兩腰可視為以頂點為圓心的半徑，將問題轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的交點問題求解.

解析：如圖1，當(dāng)點P與短軸的頂點重合時，△F1F2P構(gòu)成以F1F2為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的等腰△F1F2P.

當(dāng)△F1F2P構(gòu)成以F1F2為一腰的等腰三角形時，以F2P作為等腰三角形的底邊為例，因為F1F2=F1P，所以點P在以F1為圓心，半徑為焦距2c的圓上，因此，當(dāng)以F1為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2個交點時，存在2個滿足條件的等腰△F1F2P，此時a-c＜2c，解得a＜3c，所以離心率

圖1

評注：平面幾何知識在解析幾何中的應(yīng)用，除了上面的類型以外，還包括等腰三角形“三線合一”性、菱形的對角形垂直平分性、對稱性、三角形相似等平面幾何知識的利用，在此不再列舉.

二、探究一般性，打開解題突破口

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知過點的直線l與橢圓C交于A、B兩點.

①若直線l垂直于x軸，求∠AQB的大??；

②若直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得△QAB為等腰三角形？如果存在，請求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.

隱含條件：在日常的解題探究訓(xùn)練中，在處理完一道題目之后，我們通常將問題進(jìn)行變式探究，主要包括類比探究，如對于橢圓滿足的性質(zhì)，雙曲線或拋物線是否滿足；拓展探究主要包括改變問題的條件或結(jié)論，以及在特殊情況下存在的性質(zhì)，在一般情況下是否成立等，進(jìn)而來鍛煉學(xué)生的解題能力.

（2）由（1）得Q（-2，0）.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

因為kAQ·kBQ=-1，所以AQ⊥BQ.所以程為y

圖2

取AB的中點M，連接QM，則QM⊥AB.

所以當(dāng)直線l與x軸不垂直時，不存在直線l使得△QAB為等腰三角形.

評注：本題通過對第（2）問的①進(jìn)行拓展，使②的求解水到渠成.否則問題的求解將走向歧途，在判斷|AQ|= |AB|或|QB|=|AB|時，使得運(yùn)算過程煩瑣、龐大，最終無功而返.

三、定點存在問題，先定后證

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A、B兩點.試問：在x軸上是否存在定點Q，使得立？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

隱含條件：定點存在問題，是圓錐曲線問題中常考的重要題型之一，那么在無數(shù)個點之中，到底哪個點才是定點？所謂的定點，是指在一般條件下存在的點，既然適合一般條件，那么在特殊情況下也一定存在，因此，在定點存在問題的探索中，可先利用特殊情況、特殊位置等先找到定點，再證明此點滿足一般情況即可，即所謂的先定后證.

當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）.

因為x1=ty1+1，x2=ty2+1，

評注：除此以外，對于某些特殊結(jié)論的記憶，依然可以采用此法，如過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，其中將為定值，我們可以利用當(dāng)直線AB與x軸垂直時的特殊情況來記憶這些特殊的結(jié)論，因此在解決相關(guān)問題時，可直接利用這些結(jié)論求解.

總之，問題的求解，在于對條件的準(zhǔn)確利用.對于題目中的隱含條件，我們要善于利用知識的相關(guān)性進(jìn)行深入挖掘，希望學(xué)生在平時的解題訓(xùn)練中不斷歸納總結(jié)、舉一反三，進(jìn)而提高自身分析問題、解決問題的能力.FH