于莉莉,蘇靖文,陸思綺

(南京林業(yè)大學(xué),江蘇南京 210037)

金屬線脹系數(shù)測(cè)量的誤差分析

于莉莉,蘇靖文,陸思綺

(南京林業(yè)大學(xué),江蘇南京 210037)

在高等院校的實(shí)驗(yàn)室中多采用電加熱光杠桿法測(cè)量金屬的線脹系數(shù)對(duì)可能影響金屬線脹系數(shù)測(cè)量的三個(gè)因素進(jìn)行了分析,并提出了改進(jìn)方法和新的實(shí)驗(yàn)步驟,以達(dá)到減少實(shí)驗(yàn)誤差的目的。

線脹系數(shù);光杠桿;設(shè)定溫度法

測(cè)量金屬線脹系數(shù)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)重要的熱學(xué)實(shí)驗(yàn)。目前常見的方法有流水加熱法,蒸汽加熱法和電加熱法等[1-3]。其中電加熱法是在多個(gè)設(shè)定溫度工作點(diǎn)下,用尺度望遠(yuǎn)鏡和光杠桿測(cè)量金屬桿由不同狀態(tài)溫差所起的長(zhǎng)度變化,從而得到金屬桿的線脹系數(shù)。該方法因其加熱迅速,操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛的應(yīng)用,但該方法存在實(shí)驗(yàn)誤差大的現(xiàn)象[4,5]。本文對(duì)該實(shí)驗(yàn)誤差產(chǎn)生的原因進(jìn)行了分析和探討,并提出了簡(jiǎn)單有效的改進(jìn)方法。

1 誤差分析

1.1 光杠桿常數(shù)測(cè)量產(chǎn)生誤差

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),由于實(shí)驗(yàn)儀器制作不精密,學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作時(shí)不夠嚴(yán)謹(jǐn),導(dǎo)致光杠桿的桿傾斜且與水平面形成一定夾角,如圖1實(shí)物圖所示。

圖1 光杠桿實(shí)物圖

圖2 實(shí)驗(yàn)原理圖

為了方便理解,我們繪制了簡(jiǎn)單的原理圖,圖2中實(shí)線部分為實(shí)際操作時(shí)光杠桿放置位置,與虛線所示的理論水平放置位置存在一傾角γ。金屬的線膨脹量為

其中D是光杠桿鏡面到標(biāo)尺距離,di(i=1, 2)為尺讀望遠(yuǎn)鏡上標(biāo)尺的刻度。k是光杠桿前腳到兩后腳連線的垂直距離。而在實(shí)際操作中,我們所量的k值是原理圖中的k′,即實(shí)際運(yùn)算時(shí)我們是使用

由原理圖可得k=k′cosγ,因此金屬真實(shí)的線膨脹量為

比較上面兩個(gè)式子,我們不難看出光杠桿前腳的傾角γ影響了ΔL的值,使得實(shí)際測(cè)量的ΔL變大。當(dāng)溫度從t1升高到t2,原長(zhǎng)為L(zhǎng)1的金屬桿伸長(zhǎng)了ΔL,則該金屬的線脹系數(shù)

由此可以得出,由于光桿桿前腳的傾斜,最終測(cè)量出來(lái)的線脹系數(shù)α要大于理論值。同時(shí)我們還對(duì)在不同的傾斜角度γ下,理論值與測(cè)量值所產(chǎn)生的誤差進(jìn)行了分析,以下是誤差分析表格。

表1 光桿桿傾角對(duì)誤差的影響

隨著γ的增大,測(cè)量的相對(duì)誤差也在增大。為減小實(shí)驗(yàn)最終的誤差,在調(diào)節(jié)光杠桿前腳時(shí),應(yīng)該盡量使光杠桿的前腳與后腳在同一水平面上。可考慮在光杠桿的設(shè)計(jì)中增加可調(diào)節(jié)前腳高低的穩(wěn)定裝置。

1.2 平面鏡不與水平面垂直所產(chǎn)生的誤差

實(shí)驗(yàn)操作步驟中,并沒有提到平面鏡要與水平面垂直?？紤]到在實(shí)際操作中,平面鏡與水平面不垂直,會(huì)使實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差。分析如圖3所示,在金屬桿伸長(zhǎng)ΔL,即平面鏡旋轉(zhuǎn)β/2角度(反射光線旋轉(zhuǎn)了β)的情況下,望遠(yuǎn)鏡上標(biāo)尺的刻度變化為d0=d2-d1。當(dāng)平面鏡與水平面的夾角為α/2時(shí),在金屬桿伸長(zhǎng)同樣長(zhǎng)度的條件下,豎尺的刻度變化為d=d′2-d′1。通過(guò)幾何知識(shí),我們得出d>d0。由圖可知

圖3 光杠桿裝置測(cè)量微小長(zhǎng)度實(shí)驗(yàn)裝置圖

由于金屬桿的伸長(zhǎng)量極小,導(dǎo)致β值也很小,則tanβ≈β,這樣我們就可以將公式(5)寫為

將(6)式兩邊同時(shí)除以β后,等式右邊即相當(dāng)于對(duì)tanα求導(dǎo),整理后得

由公式(7)和(8)可得

從上式可知,隨著平面鏡與水平面夾角的增大,實(shí)際測(cè)得的d也在增加,從而使測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏大。而這些與平面鏡因金屬桿長(zhǎng)度增加而旋轉(zhuǎn)的角度無(wú)關(guān)。

圖4 傾角α引起的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差

圖4給出了α引起的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差,其對(duì)應(yīng)的平面鏡傾角為α/2。對(duì)于確定的α值,在表2中給出具體的相對(duì)誤差。

表2 平面鏡傾角對(duì)誤差的影響

從圖和表可以看出,平面鏡傾角對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的影響較光杠桿常數(shù)引起的誤差要顯著。為減小誤差,在調(diào)節(jié)平面鏡的時(shí)候,要盡量將平面鏡調(diào)節(jié)至與水平面垂直。另外,望遠(yuǎn)鏡的光軸與水平面不平行也會(huì)引起實(shí)驗(yàn)誤差,對(duì)這方面的具體分析可參考文獻(xiàn)[6]。

1.3 加熱方法產(chǎn)生的誤差

實(shí)驗(yàn)時(shí)一般采用設(shè)定溫度加熱法,即依次等間距設(shè)定溫度調(diào)節(jié)器的溫度,記錄下望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺的刻度,從而測(cè)定金屬的線脹系數(shù)。在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)操作中發(fā)現(xiàn)該方法的誤差較大,原因在于溫控加熱功率調(diào)節(jié)并不能達(dá)到在每個(gè)測(cè)量點(diǎn)上讓待測(cè)金屬桿達(dá)到恒溫。這樣實(shí)驗(yàn)過(guò)程中被測(cè)金屬桿達(dá)到熱平衡的時(shí)間與溫度計(jì)響應(yīng)時(shí)間不可能完全同步,因而無(wú)法測(cè)得每個(gè)測(cè)量點(diǎn)上該溫度所對(duì)應(yīng)金屬桿的真實(shí)長(zhǎng)度。因此,我們采用了動(dòng)態(tài)升溫加熱法,降溫法和調(diào)節(jié)加熱功率法,并將其與設(shè)定溫度加熱法進(jìn)行了比較。這四種方法的具體操作過(guò)程如下:

(1)設(shè)定溫度加熱法:依次設(shè)定溫度調(diào)節(jié)器的溫度為40℃、50℃、60℃、70℃、80℃、90℃、110℃,調(diào)節(jié)加熱功率最大,當(dāng)溫度穩(wěn)定在設(shè)定溫度時(shí),記錄標(biāo)尺讀數(shù),求出線脹系數(shù)。

(2)動(dòng)態(tài)升溫加熱法:設(shè)定溫度調(diào)節(jié)器的溫度為115℃,調(diào)節(jié)加熱旋鈕在中間位置,當(dāng)溫度升溫至40℃、50℃、60℃、70℃、80℃、90℃、110℃時(shí),依次記錄標(biāo)尺讀數(shù);

(3)降溫法:等加熱器加熱到115℃時(shí),將加熱器插頭拔出,等待降溫至110℃、90℃、80℃、70℃、60℃、50℃、40℃時(shí),記錄標(biāo)尺讀數(shù);

(4)調(diào)節(jié)功率加熱法:將加熱旋鈕等分成8格,把加熱器插頭直接插入電源插口,調(diào)節(jié)加熱旋鈕(即使加熱功率由低到高)為金屬桿加熱,每調(diào)節(jié)一格待溫度穩(wěn)定時(shí),記錄溫度調(diào)節(jié)器上顯示的溫度以及標(biāo)尺讀數(shù),根據(jù)對(duì)應(yīng)的溫度及標(biāo)尺對(duì)數(shù)求出線脹系數(shù)。

表3為不同的加熱方法所測(cè)得的線脹系數(shù),對(duì)于每種方法我們測(cè)量了3次,設(shè)為一組,一共做了5組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。我們對(duì)這5組測(cè)量值取平均得到下述結(jié)果。其中相對(duì)誤差是與25℃標(biāo)準(zhǔn)氣壓下黃銅(62%Cu,38%Zn)的線脹系數(shù)1.89× 10-5/℃[1]比較得到的。從表中可以看出,設(shè)定溫度和降溫測(cè)量的結(jié)果非常接近公認(rèn)值,升溫測(cè)量結(jié)果其次,調(diào)節(jié)功率測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差達(dá)到了23.8%,偏差較大。降溫測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差比設(shè)定溫度測(cè)量的更小些。

表3 四種加熱法測(cè)量金屬桿線脹系數(shù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為減少設(shè)定溫度法測(cè)量的誤差,我們采用長(zhǎng)時(shí)間測(cè)量,以保證待測(cè)金屬桿在每個(gè)測(cè)量點(diǎn)盡量達(dá)到恒溫,這樣做的結(jié)果是減小了誤差,但耗時(shí)長(zhǎng)(需大約6 h)。降溫法由于待測(cè)金屬桿在加熱筒中自然冷卻,使金屬桿與筒中的空氣達(dá)到熱平衡,其各部分的溫度基本相同,溫度顯示器的示數(shù)比較接近金屬桿整體的真實(shí)溫度,因此測(cè)量的結(jié)果比較接近公認(rèn)值。更重要的是,與設(shè)定溫度法相比,降溫法耗時(shí)短,能使學(xué)生在規(guī)定的課時(shí)內(nèi)很好地完成教學(xué)任務(wù),在一定程度上提高了實(shí)驗(yàn)效率。

由于設(shè)定溫度加熱法是教學(xué)中的常用方法,為了對(duì)比,我們將另三種方法的測(cè)量結(jié)果與用該方法測(cè)得的黃銅桿平均線脹系數(shù)1.90×10-5/℃進(jìn)行了比較,結(jié)果如下:

表4 三種方法與設(shè)定溫度法測(cè)量結(jié)果比較的相對(duì)誤差

表4中的相對(duì)誤差是將升溫,降溫和調(diào)節(jié)功率法測(cè)得的線脹系數(shù)與常用的設(shè)定溫度法比較得到的。從表中可以看出,動(dòng)態(tài)升溫,降溫法所求得的線脹系數(shù)與設(shè)定溫度法測(cè)得的結(jié)果偏差不大,調(diào)節(jié)功率法的相對(duì)誤差較大。因此,不建議在實(shí)驗(yàn)中采用調(diào)節(jié)功率加熱法。

圖5 四種方法的擬合結(jié)果

對(duì)四種加熱方法所得數(shù)據(jù)擬合后的結(jié)果如圖5所示,擬合結(jié)果與逐差法所得結(jié)果一致。從圖中也可以看出升溫、降溫法求得的斜率與設(shè)定溫度法求得的斜率相近,降溫法與設(shè)定溫度法的曲線幾乎重合,而調(diào)節(jié)功率法給出的斜率與設(shè)定溫度法有較大的偏差。圖中R2表示擬合相關(guān)系數(shù)。

2 結(jié) 論

我們對(duì)電加熱光杠桿法測(cè)量金屬線脹系數(shù)可能存在的誤差進(jìn)行了分析。光杠桿前腳沒有水平放置,平面鏡與水平面不垂直都會(huì)產(chǎn)生誤差,隨著傾角的增大,相對(duì)誤差也越大,而且平面鏡不豎直放置所造成的誤差較光杠桿前腳傾斜引起的誤差顯著。平面鏡的調(diào)節(jié)可人工完成,光杠桿的調(diào)節(jié)可考慮在設(shè)計(jì)中增加可調(diào)節(jié)前后腳高低的穩(wěn)定裝置。

設(shè)定溫度加熱法是實(shí)驗(yàn)中常采用的加熱方法,但要想減小實(shí)驗(yàn)誤差,則需花費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間完成實(shí)驗(yàn)。降溫法在現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)條件下,能保證學(xué)生在規(guī)定的課時(shí)內(nèi)更精確的完成測(cè)量任務(wù),提高了實(shí)驗(yàn)效率。另外,我們的研究也表明,調(diào)節(jié)功率法測(cè)量的結(jié)果偏差太大,在不改進(jìn)設(shè)備的前提下,不建議實(shí)驗(yàn)室采用該方法。

為了使降溫法在實(shí)驗(yàn)室操作時(shí)達(dá)到較好的效果,我們給出了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)步驟[7-8],改進(jìn)部分用下劃線進(jìn)行了標(biāo)注:

(1)檢查電源線是否連接好,加熱器插頭插入溫度調(diào)節(jié)器入口。合上溫度控制開關(guān),從PV——測(cè)量值顯示窗口讀出初始溫度。

(2)裝置光杠桿,首先測(cè)定金屬管長(zhǎng)L1,金屬桿插入電熱器,熱電偶插入金屬管。將光杠桿長(zhǎng)腳尖放在金屬管的上端平面上,調(diào)節(jié)兩后腳高度使光杠桿前腳與水平面相平行。

(3)調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡與光杠桿處等高,適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)光杠桿的鏡面并調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡焦距,由望遠(yuǎn)鏡中讀到標(biāo)尺接近中央的某一讀數(shù)d1,記下初溫t1、d1和D值。

(4)按 SET鍵,數(shù)據(jù)減少(或增加)鍵,用SW1型數(shù)字溫度計(jì)設(shè)定溫度為115℃。

(5)合上加熱器開關(guān),合上加熱器開關(guān),溫度升溫至115℃時(shí),斷開加熱器開關(guān),溫度下降過(guò)程中分別記錄下:110℃,100℃,90℃,80℃,70℃, 60℃,50℃,40℃時(shí)望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺的讀數(shù):d2, d3……d9。

(7)取下光杠桿,用游標(biāo)卡尺量出k(可將光杠桿放在紙上壓出3個(gè)腳痕,連線后量出)。

(8)計(jì)算金屬線脹系數(shù)α。

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Error Analysis in the M easure of Linear Expansion Coefficient of M etal

YU Li-li,SU Jing-wen,LU Si-qi
(Nanjing Forestry University,Jiangsu Nanjing 210037)

In the experiment ofmeasuring linear expansion coefficient(LEC)ofmetal at college laboratory,we usually use electric heating optical levermethod.This paper analyzes the factors thatmay influence themeasurement of LEC,and propose themodifiedmethod and new experimental procedure.Thatwill help us to reduce the experimental error.

linear expansion coefficient;optical lever;set temperaturemethod

O 241.1

A

DOI:10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.006.029

1007-2934(2015)06-0098-04

2015-04-08

南京林業(yè)大學(xué)引進(jìn)高層次人才項(xiàng)目(163101021);南京林業(yè)大學(xué)2015《大學(xué)物理》精品開放課程