石喜軍， 張 強， 朱吉喬

(1.北京理工大學 管理與經(jīng)濟學院，北京 100081； 2.北京建筑材料科學研究總院，北京 100041)

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對模糊數(shù)互補判斷矩陣乘性一致性的重新認識

石喜軍1， 張 強1， 朱吉喬2

(1.北京理工大學 管理與經(jīng)濟學院，北京 100081； 2.北京建筑材料科學研究總院，北京 100041)

為了解決模糊數(shù)間的加和減、乘和除已不再是逆運算的問題，并使得運算法則更加符合客觀實際情況，而引入了經(jīng)典數(shù)學中的自變量、因變量、代表系統(tǒng)及自由度等概念，進而對模糊數(shù)互補判斷矩陣的乘性一致性進行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)若一個模糊數(shù)互補判斷矩陣滿足目前一些文獻對其乘性一致性的定義則這個矩陣一定是精確數(shù)互補判斷矩陣這一不合理之處。文章最后結(jié)合模糊集截集理論，利用模糊數(shù)互補判斷矩陣元素間的關(guān)系，重新對乘性一致性模糊數(shù)互補判斷矩陣進行了定義。

管理科學與工程；代表系統(tǒng)；模糊集理論；模糊數(shù)互補判斷矩陣；自變模糊數(shù)；因變模糊數(shù)

0 引言

通過研究方案間兩兩比較建立的判斷矩陣，人們可以對方案進行決策選擇。然而由于決策者自身主觀認識的局限性以及客觀事物的復雜性和不確定性，帶有模糊信息的模糊互補判斷矩陣越來越受到?jīng)Q策者的重視。根據(jù)指標值的不同，模糊互補判斷矩陣可分為指標值是精確數(shù)的模糊互補判斷矩陣(簡稱精確數(shù)互補判斷矩陣)和指標值是模糊數(shù)的模糊互補判斷矩陣(簡稱模糊數(shù)互補判斷矩陣)。根據(jù)構(gòu)造方式的不同，模糊互補判斷矩陣又可分為基于加性一致性的模糊互補判斷矩陣和基于乘性一致性的模糊互補判斷矩陣。毫無疑問，無論根據(jù)怎樣的構(gòu)造方式建立模糊互補判斷矩陣，對其一致性的研究都將是一個很重要的內(nèi)容。

目前，精確數(shù)互補判斷矩陣和基于加性一致性的模糊數(shù)互補判斷矩陣的一致性研究已經(jīng)取得了豐碩成果[1～8]。然而，由于模糊數(shù)乘法的特殊性，關(guān)于模糊數(shù)互補判斷的乘性一致性的研究，雖然取得一些成果，但進展相對緩慢。文獻[9]首次給出了三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的概念，并提出一種基于可能度的三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的排序方法，這可看作是模糊數(shù)互補判斷矩陣研究的萌芽；文獻[10]研究了區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣和區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并給出了乘性一致性區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣的定義，然而，文獻[11]指出，滿足文中定義的乘性一致性區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣并不存在；文獻[12]研究了決策信息以三角模糊數(shù)互補判斷矩陣形式給出的多屬性決策問題，并仿照乘性一致性精確數(shù)互補判斷矩陣的概念，定義了乘性一致性三角模糊數(shù)互補判斷矩陣，然而下文將要證明，文獻[12]所定義的乘性一致性三角模糊數(shù)互補判斷矩陣也不存在。

本文首先為了解決模糊數(shù)間的加和減、乘和除已不再是一對逆運算的問題，并使得運算法則更加符合客觀實際情況，而把經(jīng)典數(shù)學理論中的自變量、因變量、代表系統(tǒng)和自由度的概念引入到了模糊集理論中，進而對文獻[12]的定義的乘性一致性三角模糊數(shù)互補判斷矩陣進行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)若一個三角模糊數(shù)互補判斷矩陣滿足[12]定義的乘性一致性則這個矩陣一定是精確數(shù)互補判斷矩陣這一不合理之處。緊接著，通過引入導出精確數(shù)互補判斷矩陣和共軛精確數(shù)互補判斷矩陣的概念，對乘性一致性區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣和乘性一致性模糊數(shù)進行了重新定義

1 預(yù)備知識

(1)

定義3[15]矩陣P=(pij)n×n，其中pij為精確數(shù)，若pij+pji=1, ?i,j,則稱P=(pij)n×n為精確數(shù)互補判斷矩陣。

對模糊數(shù)互補判斷矩陣研究最多的是Ⅰ型模糊數(shù)[8](區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù))互補判斷矩陣，而無論何種模糊數(shù)互補判斷矩陣，都可以如下定義：

2 模糊數(shù)互補判斷矩陣的乘性一致性

關(guān)于精確數(shù)互補判斷矩陣，Tanino T曾給出如下乘性一致性定義：

定義6[17]精確數(shù)互補判斷矩陣P=(pij)n×n，若pikpkjpji=pkipjkpij，?i,j,k，則稱P為乘性一致性精確數(shù)互補判斷矩陣。

由矩陣中元素間的互補性可知

(2)

徐澤水曾仿照Tanino T的定義，給出了乘性一致性三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的定義：

(3)

(4)

(5)

從而

(6)

顯然，在公式(6)中，?i,j,k，xij、xik和xkj的自由度為2。現(xiàn)在假設(shè)xik和xkj為自變量，xij為因變量(其它情況類似)，由前可知，xij、xik和xkj一定滿足下面兩個條件：

由于任意Ⅰ型模糊數(shù)的α-截集均為區(qū)間數(shù)，因此這里可以先定義乘性一致性區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣，進而利用模糊集截集理論對乘性一致性模糊數(shù)互補判斷矩陣進行定義。區(qū)間數(shù)可看作某一區(qū)間的精確數(shù)的集合，而精確數(shù)互補判斷矩陣的乘性一致性研究已經(jīng)相當成熟，為了充分利用其研究成果，可先定義乘性一致性區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣。

顯然，在一個n×n的區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣中，共有2k個導出精確數(shù)互補判斷矩陣和2k-1對共軛精確數(shù)互補判斷矩陣，其中k=n(n-1)/2為原區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣的自由度。有了以上導出精確數(shù)互補判斷矩陣和共軛精確數(shù)互補判斷矩陣的定義，可以對區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣進行如下定義：

例1 有一區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣

如果令

3 結(jié)束語

根據(jù)模糊理論中的運算法則，模糊數(shù)間的加和減、乘和除運算已經(jīng)不再試逆運算，本文通過深入剖析造成這一結(jié)果的原因，為使模糊數(shù)間的運算法則更能符合客觀的實際情況，引入了經(jīng)典數(shù)學中的自變量、因變量、代表系統(tǒng)和自由度等概念，進而對文獻[12]中乘性一致性三角模糊數(shù)互補判斷矩陣定義進行了分析，得出滿足文獻[12]定義的乘性一致性三角模糊數(shù)互補判斷矩陣并不存在。為了合理定義乘性一致性模糊數(shù)互補判斷矩陣，文章對區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣的定義進行了研究，通過引入導出精確數(shù)互補判斷矩陣和共軛精確數(shù)互補判斷矩陣的概念，對乘性一致性區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣和乘性一致性模糊數(shù)互補判斷矩陣給出了一個合理的定義。

[1] Xu Z S. Two approaches to improving the consistency of complementary judgment matrix[J]. Applied Mathematics: A Journal of Chinese Universities(Series B), 2002, 17: 227-235.

[2] Xu Z S, Da Q L. An approach to improving consistency of fuzzy preference matrix[J]. Fuzzy Optimization and Decision Making, 2003, 2: 3-12.

[3] 徐改麗,林亮.基于模糊互補判斷矩陣的一致性調(diào)整新方法[J].運籌與管理,2011,20(1):93-97.

[4] 劉穎芬,占濟舟.FAHP中的一致性與標度[J].東北師大學報(自然科學版),2010,42(2):27-30.

[5] 楊莉,李南,和媛媛.三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的加性一致性及排序[J].系統(tǒng)工程,2009,27(3):89-92.

[6] 錢鋼,馮向前,徐澤水.區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣的一致性[J].控制與決策,2009,24(5):723-728.

[7] 侯福均,吳祈宗.模糊數(shù)互補判斷矩陣的加性一致性[J].北京理工大學學報,2004,24(4):367-372.

[8] 侯福均,吳祈宗.Ⅰ型不確定數(shù)互補判斷矩陣的一致性和排序研究[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2005,10:60- 66.

[9] 徐澤水.三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的一種排序方法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2002,16(1):47-50.

[10] 鞏在武,劉思峰.區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣的性質(zhì)及相關(guān)問題研究[J].運籌與管理,2006,15(3):25-30.

[11] 朱吉喬,張強,趙璇.模糊數(shù)互補判斷矩陣的乘性一致性研究[J].運籌與管理,2013,22(1):29-35.

[12] 徐澤水.三角模糊數(shù)互補判斷矩陣排序方法研究[J].系統(tǒng)工程學報,2004,19(1):85- 88.

[13] Xu R N, Zhai X Y. Extensions of the analytic hierarchy process in fuzzy environment[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2002, 52: 251-257.

[14] 胡寶清.模糊理論基礎(chǔ)(第二版)[M].湖北:武漢大學出版社,2010.

[15] 徐澤水.AHP中兩類標度法的關(guān)系研究. 系統(tǒng)工程理論與實踐,1999,19(7):97-101.

[16] 徐澤水.區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣排序的一種實用方法[J].運籌與管理,2001,10(1):16-19.

[17] Tanino T. Fuzzy preference orderings in group decision making[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1984, 12: 117-131.

New Cognition to Multiplicative Consistency of FuzzyReciprocal Judgment Matrix

SHI Xi-jun1, ZHANG Qiang1, ZHU Ji-qiao2

(1.School of Management and Economics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China; 2.Beijing Building Materials Academy of Sciences Research, Beijing 100041, China)

To solve the problem that the relationship between addition and subtraction and that between multiplication and division in fuzzy numbers is no longer the inverse operation and make the operational laws more correspond to reality, this paper studies the multiplicative consistency of fuzzy reciprocal judgment matrix by introducing the concepts of independent variable, dependent variable, representative system and degree of freedom in classical mathematics. Then, the result reveals that it is unreasonable that if a fuzzy reciprocal judgment matrix satisfies the conditions of multiplicative consistency defined in some existing related literatures, then this matrix must be a precise reciprocal judgment matrix. Finally, based on the fuzzy cut set theory, using the relationships among elements of fuzzy reciprocal judgment matrix, the multiplicative consistency of fuzzy reciprocal judgment matrix is redefined.

management science and engineering; representative system; fuzzy theory; fuzzy number complement judgment matrix; independent fuzzy number; dependent fuzzy number

2013- 06- 06

國家自然科學基金和高等學校博士學科點專項科研基金資助(70771010，71071018， 70801064，20111101110036)

石喜軍(1966-)，男，博士研究生，研究方向：模糊決策；張強(1955-)，男，教授，博士生導師，研究方向：模糊對策與決策，不確定系統(tǒng)理論及應(yīng)用；朱吉喬(1986-)，男，碩士研究生，研究方向：管理決策理論與方法。

C934

A

1007-3221(2015)03- 0001- 05