忽偉，李欣業(yè)，霍倩，李銀山

（1.河北工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300130；2.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，河北保定 071001）

兩自由度磁懸浮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分岔分析

忽偉1，李欣業(yè)1，霍倩2，李銀山1

（1.河北工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300130；2.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，河北保定 071001）

建立了基于剛性軌道的兩自由度磁懸浮控制系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，利用Hopf分岔的Hurwitz判據(jù)，推導(dǎo)了PD控制下平衡點穩(wěn)定以及失穩(wěn)產(chǎn)生周期振動時控制參數(shù)應(yīng)滿足的條件．通過數(shù)值模擬得到的磁懸浮系統(tǒng)產(chǎn)生自激振動的臨界條件很好地驗證了理論分析的結(jié)果．通過比較還發(fā)現(xiàn)間隙反饋與速度反饋相比具有更強的控制效果，這一結(jié)論為反饋控制模式的選取提供了有效的理論依據(jù)．

磁懸浮列車系統(tǒng)；Hurwitz判據(jù)；PD控制；Hopf分岔

0 引言

不同于傳統(tǒng)的輪-軌車輛系統(tǒng)，磁懸浮系統(tǒng)以非接觸的電磁力實現(xiàn)車輛的支撐和導(dǎo)向，因此磁懸浮控制系統(tǒng)是一個多體、多場耦合、強非線性的高維復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)．有源支撐導(dǎo)致的振動是磁懸浮列車系統(tǒng)的難題之一．磁浮列車系統(tǒng)發(fā)生振動的原因來自多方面，如車輛結(jié)構(gòu)、軌道梁結(jié)構(gòu)、車輛的動態(tài)運行等．由于電磁力和懸浮間隙的平方成反比，使得磁懸浮系統(tǒng)本身存在固有的不穩(wěn)定性．要實現(xiàn)穩(wěn)定的懸浮，系統(tǒng)必須具有適當(dāng)?shù)姆答伩刂疲?/p>

文獻(xiàn)[1]在分析EMS列車系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的基礎(chǔ)上，仿真分析了彈性軌道阻尼、加速度反饋增益等對靜態(tài)懸浮穩(wěn)定性和動態(tài)特性的影響．文獻(xiàn)[2]提出了串級控制的思想，即控制系統(tǒng)由內(nèi)環(huán)和外環(huán)兩部分組對磁懸浮列車系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性進(jìn)行控制．文獻(xiàn)[3]中利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)PID參數(shù)的自調(diào)整與優(yōu)化，達(dá)到了比較理想的控制效果．施曉紅等[4-5]通過分析基于PID控制器的非線性磁懸浮系統(tǒng)的Hopf分岔現(xiàn)象，從控制參數(shù)與系統(tǒng)周期解穩(wěn)定性角度闡述了磁浮系統(tǒng)產(chǎn)生振動的原因．洪華杰[6]從控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和高頻激勵響應(yīng)討論了在磁浮系統(tǒng)中用彈簧阻尼器替代控制器對系統(tǒng)的影響．文獻(xiàn)[7]根據(jù)單鐵模型，研究車橋耦合振動，通過改進(jìn)最優(yōu)控制器的參數(shù)，使控制系統(tǒng)在確定性輸入和不確定性輸入（軌面不平順）情況下都能達(dá)到良好的性能．文獻(xiàn)[8]對磁懸浮系統(tǒng)采用非線性魯棒控制，使得系統(tǒng)取得了很好的魯棒性．SinhaPK[9-10]采用模型參考自適應(yīng)控制來抑制電磁懸浮的非線性影響，以磁懸浮系統(tǒng)的非線性模型作為可調(diào)系統(tǒng)，以某個線性化模型作為參考模型，并以該參考模型的狀態(tài)和輸出作為希望的性能指標(biāo)．文獻(xiàn)[11-12]在反饋線性化模型的基礎(chǔ)上設(shè)計磁懸浮控制器，磁懸浮系統(tǒng)模型采用完全非線性化狀態(tài)方程來描述，故通過反饋線性化得到的模型在很大范圍內(nèi)不受平衡點的影響，結(jié)果表明與在平衡點處線性化相比，直接反饋線性化方法不但簡化了控制器的設(shè)計，而且可以保證控制器的全局穩(wěn)定．Lin L C和Gao T B等[13]將模糊控制應(yīng)用于磁懸浮控制，取得了響應(yīng)速度快、超調(diào)量小，魯棒性強的控制效果．文獻(xiàn)[14]提出了一種基于滑?？刂评碚摰聂敯艨刂破鲗Υ艖腋∠到y(tǒng)的位置響應(yīng)進(jìn)行追蹤，結(jié)果表明在滑模變結(jié)構(gòu)控制的作用下，磁懸浮控制系統(tǒng)具有很強的魯棒性，對模型誤差甚至載荷變化都有較好的適應(yīng)性．此外，還出現(xiàn)了基因算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在磁懸浮控制系統(tǒng)中應(yīng)用的研究文獻(xiàn)[15-16]．周曉兵等[17]設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制器并實現(xiàn)了磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定懸浮，且獲得了較好的控制效果．李云鋼和常文森[18]對磁懸浮列車的模糊反饋控制進(jìn)行了研究．劉恒坤和常文森[19]設(shè)計了實時跟蹤系統(tǒng)參數(shù)改變的自適應(yīng)控制系統(tǒng)，隨著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變相應(yīng)地改變控制參數(shù)，使得系統(tǒng)的性能始終保持最優(yōu)或者近似最優(yōu)．此外，國內(nèi)也有人將魯棒控制器應(yīng)用到磁懸浮控制系統(tǒng)[20-22]．

本文基于剛性軌道、兩級懸浮模型討論反饋增益對非線性磁懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，最后通過數(shù)值模擬驗證理論分析的正確性．

圖1 懸浮控制系統(tǒng)模型Fig.1The schematic of maglev system

1 動力學(xué)分析模型

在圖1所示的模型中，轉(zhuǎn)向架構(gòu)成一級懸浮體，車廂構(gòu)成二級懸浮體，兩級懸浮體之間由空氣彈簧連接．兩級懸浮體的質(zhì)量分別為m1、m2；k2、c2分別表示彈簧的剛度系數(shù)和阻尼器的阻尼系數(shù)；y1、y2分別為兩級懸浮體的縱向位移，y0為系統(tǒng)處于平衡位置時的懸浮間隙；懸浮力由電磁反饋力F提供．由于本文以懸浮控制系統(tǒng)為主要分析對象，所以沒考慮軌道彈性變形的影響．

以m1和m2各自的平衡位置為坐標(biāo)原點，正方向如圖1所示．可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下

式中：R為控制電路中的電阻；I為控制電流，它由系統(tǒng)平衡位置時的偏置控制電流I0和擾動電流i組成，即I=I0+i；u為控制電壓，它由系統(tǒng)位于平衡位置時的偏置控制電壓u0和變化電壓uc組成，u=u0+uc，且偏置控制電流I0與偏置控制電壓u0間有關(guān)系u0=I0R．電磁鐵線圈中的電感為

2 Hopf分岔分析

再結(jié)合式(20)，得反饋控制下平衡點穩(wěn)定時，控制參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)間如圖2所示（S代表穩(wěn)定區(qū)域，U代表不穩(wěn)定區(qū)域）．

3 數(shù)值仿真

為驗證以上理論分析的結(jié)果，本部分進(jìn)行數(shù)值仿真時，控制參數(shù)分別取在平衡點的穩(wěn)定區(qū)域、不穩(wěn)定區(qū)域以及兩者之間的邊界上．下面給出幾組kd不變，kp變化時對應(yīng)的1級和2級懸浮體位移響應(yīng)的時間歷程和相軌跡．相圖中的小紅點代表初始點．kd=5，20，40時的各3組仿真結(jié)果分別如圖4～圖6所示．

當(dāng)kp=0.243，kd分別取5、20、40即控制參數(shù)位于穩(wěn)定區(qū)間的下邊界時，相應(yīng)的圖4a）、圖5a）、圖6a）表明，系統(tǒng)在新的平衡位置穩(wěn)定，沒有到達(dá)所期望的控制目標(biāo)，系統(tǒng)在原平衡位置不穩(wěn)定．當(dāng)kd固定kp為分岔參數(shù)時，系統(tǒng)在穩(wěn)定區(qū)間的上邊界發(fā)生了Hopf分岔，如圖4b）、圖5b）、圖6b）．當(dāng)控制參數(shù)在穩(wěn)定區(qū)間上取值時，系統(tǒng)在平衡位置漸進(jìn)穩(wěn)定，如圖4c）、圖5c）、圖6c）．當(dāng)控制參數(shù)在不穩(wěn)定區(qū)間上取值時，系統(tǒng)的運動是發(fā)散的，如圖4d）、圖5d）、圖6d）．根據(jù)以上數(shù)值仿真的結(jié)果，可得表1中當(dāng)kd不變，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時所對應(yīng)的臨界值kp0．類似地可得當(dāng)kp不變，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時所對應(yīng)的臨界值kp0．根據(jù)表1可知，當(dāng)控制參數(shù)kp和kd取值相等時，所對應(yīng)的臨界值kd0＜kp0，這表明間隙反饋比速度反饋具有更強的控制效果．

圖2 平衡點的穩(wěn)定邊界Fig.2Stable boundaries of the equilibrium point

圖3 圖2的局部放大Fig.3The partial amplification of Fig.2

圖5 kd=20時的一組時間歷程和相圖Fig.5A group of time histories and phase portraits when kd=20

圖6 kd=40時的一組時間歷程和相圖Fig.6A group of time histories and phase portraits when kd=40

表1 一組臨界反饋增益Tab.1A set of critical feedback gains

4 結(jié)論

本文利用理論和數(shù)值方法討論了基于PD控制和二級懸浮模型的磁懸浮系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性以及發(fā)生Hopf分岔的條件，所得結(jié)論如下

1）利用Hopf分岔的Hurwitz判據(jù)給出了在反饋增益kp-kd平面內(nèi)平衡點的穩(wěn)定區(qū)間以及發(fā)生Hopf分岔和鞍-節(jié)分岔的邊界．

2）數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的失穩(wěn)有3種形式即產(chǎn)生Hopf周期解、到達(dá)新的平衡位置和發(fā)散．

3）當(dāng)控制參數(shù)kd和kp的取值相等時，系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分岔而產(chǎn)生周期振動所對應(yīng)的臨界值kd0＜kp0，這說明間隙反饋比速度反饋具有更強的控制效果．

4）數(shù)值解很好地驗證了基于Hurwitz判據(jù)所作的理論預(yù)測．

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[責(zé)任編輯 田豐夏紅梅]

Stability and Hopf bifurcation of maglev vehicles with two degrees of freedom

HU Wei1，LI Xinye1，HUO Qian2，LI Yinshan1

(1.School of Mechanical Engineering,Hebei UniversityofTechnology,Tianjin300130,China;2.CollegeofMechanicalandElectrical Engineering,Agricultural University of Hebei,Hebei Baoding 071001,China)

Based on the rigid guideways,the nonlinear dynamic model of maglev vehicles with two suspensions is presented.By the Hurwitz criterion,the domain where the equilibrium is stable under PD control is deduced and illustrated in the plane of the control parameters.The two boundaries of the stable domain of the equilibrium are corresponding to the conditions of Hopf and saddle-node bifurcations.According to the numerical simulations which are consistent with theoretical analysis,it is found that the response may be divergent corresponding to parameter domain where the equilibrium is unstable,periodic corresponding to the boundary where Hopf bifurcation occurs,or a new equilibrium corresponding to the boundary where saddle-node bifurcation occurs.By comparison,it is shown that displacement feedback has better and stronger control performance than velocity feedback.

maglev vehicles;hurwitz criterion;PD control;hopf bifurcation

TG501

A

1007-2373(2015)05-0038-07

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.05.008

2014-12-02

河北省高層次人才資助項目（C201400309）；國家自然科學(xué)基金（10872063）

忽偉（1989-），男（漢族），碩士生．通訊作者：李欣業(yè)（1966-），男（漢族），教授，博士生導(dǎo)師．

數(shù)字出版日期：2015-10-19數(shù)字出版網(wǎng)址：http://www.cnki.net/kcms/detail/13.1208.T.20151019.0953.002.html