嚴(yán)李宏

(江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系,江蘇 江陰 214405)

等距曲線與等距曲面的性質(zhì)*

嚴(yán)李宏

(江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系,江蘇 江陰 214405)

文中主要討論了平面曲線、空間曲線的等距曲線的性質(zhì)與曲面的等距曲面的性質(zhì)，并得出有關(guān)等距曲線和等距曲面的一些結(jié)論.

平面曲線；等距曲線；等距曲面；可展曲面

近十年來，等距曲線(曲面)是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)的一個(gè)熱門研究課題[1].其應(yīng)用領(lǐng)域遍及數(shù)據(jù)加工中刀具軌跡計(jì)算、機(jī)器人行走路徑規(guī)劃、公路鐵路線型設(shè)計(jì)、等間距挖洞加工等[2].在文獻(xiàn)[3]中，提出了平面曲線的等距曲線，并且用求等距曲線的方法計(jì)算了凸輪的型線.在文獻(xiàn)[4]中同樣提出了平面曲線的等距曲線，而且進(jìn)一步提出了空間曲線的等距曲線，空間曲面的等距曲面，討論了關(guān)于等距曲線、等距曲面的一些性質(zhì)，并且利用求等距曲面的方法解決了一些實(shí)際問題.本文將進(jìn)一步探討等距曲線與等距曲面的性質(zhì).

1 平面曲線的等距曲線

定義1[3]設(shè)平面曲線Γ上的每一點(diǎn)P沿著Γ在這點(diǎn)的法線正(負(fù))方向移動一段距離a，得到一點(diǎn)Pa的軌跡Γa(Γ-a)稱為Γ的內(nèi)(外)等距曲線.

Γ的方程為r=r(s)(s為Γ的弧長參數(shù)),則內(nèi)等距曲線Γa的方程為ra(s)=r(s)+a·β(s),這里β(s)是Γ的單位法線向量.

命題1 若一平面曲線為正則曲線，則當(dāng)a≠1/k時(shí)，其內(nèi)等距曲線是正則曲線；當(dāng)a≠-1/k時(shí)，其外等距曲線是正則曲線.

證明 設(shè)一平面曲線Γ:r=r(s)，則其內(nèi)等距曲線:ra(s)=r(s)+a·β(s)；外等距曲線

r-a(s)=r(s)-a·β(s),r'-a(s)=r'(s)+a(-k·r'(s))=(1-ak)·r'(s),

因?yàn)閍≠1/k.所以1-ak≠0.又因曲線Γ是正則曲線,故r'(s)≠0，即r'a(s)≠0.故,當(dāng)a≠1/k時(shí)曲線Γ的內(nèi)等距曲線是正則曲線.r'-a(s)=r'(s)-a(-k·r'(s))=(1+ak)·r'(s).

因?yàn)閍≠-1/k,所以1+ak≠0,又因曲線Γ是正則曲線.所以r'(s)≠0，即r'-a(s)≠0.故,當(dāng)a≠1/k時(shí)曲線Γ的內(nèi)等距曲線是正則曲線.

例1 求圓的內(nèi)外等距曲線.

例2 求拋物線的內(nèi)外等距曲線.

從上面的例題可知,一平面曲線的內(nèi)外等距曲線不一定具有原曲線的性質(zhì).

2 空間曲線的等距曲線

ra(s)=r(s)+a·n(s)=

r(s)+a[β(s)cosθ(s)+γ(s)sinθ(s)]

引理1 曲線是平面曲線的充要條件是它的撓率處處為零.

命題2 一曲線為平面曲線的充要條件是它的等距曲線也是平面曲線.

證明 設(shè)空間曲線C:r=r(s).

對此式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘β(s)，則

(1-a·k(s))α(s)×βa(s)=

(1-a·k(s))α(s)×β(s)=

(1-a·k(s))·γ(s)=(1-a·k(s))·γ0

(ra(s)-ra(0))·na=

(r(s)+a·n-r(0)-a·n)·na=0

即(r(s)-r(0))·n=0,故曲線C為平面曲線.

3 曲面的等距曲面

定義3[4]設(shè)曲面S上的每一點(diǎn)P沿S在這點(diǎn)的法線上移動一常數(shù)a.所得到的點(diǎn)Pa的軌跡Sa稱為S的等距曲面(或平行曲面).

引理3 一個(gè)曲面為可展曲面的充要條件是它的高斯曲率恒等于零.

命題3 若S為可展曲面，則曲面S的等距曲面Sa也為可展曲面.反之亦成立.

證明 若S為可展曲面.則K=0.又由于

故曲面Sa為可展曲面.

若曲面Sa為可展曲面，則Ka=0，從而可知K=0,故曲面S為可展曲面.

[1]樂輝.基于奇異混合樣條的等距曲線逼近算法[D].杭州:浙江大學(xué),2006.

[2]陳遠(yuǎn)寧.關(guān)于等距曲線的若干研究[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué),2007.

[3]蘇步青,華宣積,忻元龍.實(shí)用微分幾何引論[M].北京:科學(xué)出版社,1998.

[4]劉根洪,何仁杰.微分幾何與計(jì)算幾何[M].成都:成都科技大學(xué)出版社,2000.

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.08.009

2014-11-28

嚴(yán)李宏,江蘇江陰人,講師.

O

A

1008-7974(2015)04-0022-02