幾何學(xué)發(fā)展概述

李雅莉 （北方機(jī)電工業(yè)學(xué)校 075000）

英文Geometry一詞，是從希臘語演變而來的，其原意是土地測量、后被我國明朝的徐光啓翻譯成“幾何學(xué)”。依據(jù)大量實(shí)證研究，創(chuàng)造幾何學(xué)的是埃及人，幾何學(xué)因土地測量而產(chǎn)生。幾何是研究形的科學(xué)，以人的視覺思維為主導(dǎo)，培養(yǎng)人的觀察能力、空間想象能力和洞察力。幾何的發(fā)展首先是歐幾里得的歐氏幾何，其次是19世紀(jì)上半葉，非歐幾何的誕生，再次是射影幾何的繁榮，最后是幾何學(xué)的統(tǒng)一。

幾何學(xué)起源 歐氏幾何 非歐幾何 攝影幾何 幾何學(xué)的統(tǒng)一

一、幾何學(xué)的起源

幾何學(xué)起源于四大文明古國之一的埃及。在埃及，尼羅河兩岸土地肥沃，農(nóng)產(chǎn)品豐富，但是每年河水泛濫成災(zāi)，尼羅河兩岸的田地被淹，田地之間的界線消失，常常引起爭執(zhí)，這時就需要對田地重新進(jìn)行測量，這就是幾何學(xué)的起源。

英文Geometry一詞，是從希臘語演變而來的，其原意是土地測量，后被我國明朝的徐光啓翻譯成“幾何學(xué)”。

四季的變化與農(nóng)業(yè)有著密切的關(guān)系，天文學(xué)也隨之產(chǎn)生。這就需要人們必須識別東南西北這四個方向，聰明的埃及人很早就已經(jīng)知道了用北極星來測定南北兩個方向，這樣的話就可以找到東西方向，我們只需作南北方向的垂線。埃及人作垂線的方法是用三根繩子做一個三角形，這個三角形的長度長分別為三尺、四尺和五尺，那么三尺和四尺的邊就是相互垂直的。當(dāng)時在我國也已經(jīng)會用這種方法找到相互垂直的兩條線，也就是我國的“勾股定理”。這個定理在我國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周脾算經(jīng)》中已有記載，這與埃及人的想法不謀而合。但那時從未有人給出這個定理以詳細(xì)的證明。那時的幾何學(xué)只涉及到一些零散的實(shí)際生活中所需要用到的幾何問題，很少有普遍的抽象定理。

二、歐式幾何

公元前3世紀(jì)，偉大的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得是歐氏幾何的創(chuàng)始人。盡管在歐幾里得以前，古希臘人已經(jīng)掌握了一些幾何知識，并開始用各種方法證明這些幾何命題。但是這方面的知識僅限于一些具體的問題，并且是很粗糙、零碎的。在前人準(zhǔn)備“磚和瓦”材料的基礎(chǔ)上，歐幾里德這位偉大的幾何建筑師，按照邏輯系統(tǒng)把幾何命題天才般地整理到了一起，并建立了一座幾何大廈，構(gòu)成了歷史上第一個數(shù)學(xué)公理體系——《幾何原本》。這是一部具有里程碑意義的著作，它標(biāo)志著歐氏幾何的建立。人們把歐氏幾何看做是一個公理、公設(shè)系統(tǒng)，在這個系統(tǒng)中通過有限的公理、公設(shè)來證明所有的”真命題”。

然而，這個近乎科學(xué)“圣經(jīng)”的歐幾里得幾何并非無懈可擊。首先，歐幾里得給出的一些定義只是對幾何形象的簡單描述，它并非是邏輯意義下的定義，比如“線是有長度而沒有寬度的”等。這樣的定義對邏輯嚴(yán)密的推理不起任何作用。其次，根據(jù)歐幾里得創(chuàng)立的公理來研究歐幾里得本身的公理系統(tǒng)，沒有出現(xiàn)任何矛盾，也就是說，歐幾里得幾何本身沒有相互矛盾的命題。但我們可以發(fā)現(xiàn)其中有些公理完全可以去掉，比如“所有的直角是相等的”，這條公理是多余的。從公理的完備性來看，歐式的公理對位置公理、連續(xù)公理以及運(yùn)動公理等方面的描述較少。但必須指出，雖然歐幾里得的《幾何原本》存在以上缺點(diǎn)，但是這些缺點(diǎn)完全是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)水平上發(fā)現(xiàn)的，在兩千多年前歐幾里得能夠建立起如此完整的幾何基礎(chǔ)，應(yīng)該是一項(xiàng)非常偉大的工作。

三、非歐幾何

非歐幾何，可以追溯到對歐幾里得第五公社——平行公設(shè)的懷疑。在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家高斯（德國）、羅巴切夫斯基（俄羅斯）和波爾約（匈牙利）各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)平行公理是獨(dú)立于其他公理的，并可以使用不同的“平行公理”來代替歐幾里德平行公理，這就意味著非歐幾何的建立。

羅巴切夫斯基在1829年、波爾約在1832年獨(dú)立地用平行公理的逆命題，即用“通過直線外一點(diǎn)，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線”來代替歐幾里得平行公理，作為替代公設(shè)，由此替代公社出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)得出了一連串新幾何學(xué)的定理。羅巴切夫斯基很明確地指出，這些定理之間不會出現(xiàn)矛盾，這些定理整體形成了一個邏輯上無矛盾的理論，這個理論就是一種新的幾何學(xué)——非歐幾里得幾何學(xué)。在這一幾何學(xué)中，三角形的內(nèi)角和小于兩個直角。羅巴切夫斯基稱這種幾何為虛擬幾何，后來被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何，也被稱為雙曲幾何。

黎曼——發(fā)現(xiàn)非歐幾何的另一個數(shù)學(xué)家（德國）。他在1854年發(fā)表的題為《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的演講中，區(qū)分了無界和無限這兩個概念，這樣就得到了另一種幾何學(xué)——相容幾何學(xué)，也稱為黎曼的非歐幾何（橢圓幾何）。這樣的幾何可以在球面上實(shí)現(xiàn)。

在羅巴切夫斯基和黎曼的非歐幾何出現(xiàn)后，幾何學(xué)被解放了出來。創(chuàng)建一個非歐幾何，在擴(kuò)大了幾何概念的同時，對20世紀(jì)初物理學(xué)所發(fā)生的關(guān)于空間和時間的物理觀念的改革等方面也發(fā)揮了重大作用。非歐幾何的貢獻(xiàn)是首先提出了彎曲的空間，它為黎曼幾何的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件。

四、射影幾何學(xué)的繁榮

在17世紀(jì)，當(dāng)?shù)芽柡唾M(fèi)馬的解析幾何出現(xiàn)的時候，還有一門幾何學(xué)成為了一門重要的學(xué)科，成為了幾何學(xué)中一個重要分支。這種幾何與畫圖關(guān)系密切，早在古希臘時期，它的一些概念就已經(jīng)引起了有關(guān)學(xué)者的關(guān)注。歐洲文藝復(fù)興時期，透視學(xué)的興起，為射影幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展準(zhǔn)備了充分的條件，人們把這種幾何學(xué)稱為射影幾何。為其建立和發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)的是兩個法國數(shù)學(xué)家——笛莎格和布萊士帕斯卡。19世紀(jì)射影幾何最終確立了。

平面射影幾何的公理體系包括四條接合公理、七條順序公理和連續(xù)公理，主要研究的是圖形的射影性質(zhì)，即它們通過射影變換后，仍然保持原來的的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。

五、幾何學(xué)的統(tǒng)一

在數(shù)學(xué)史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學(xué)上的哥白尼”。這是因?yàn)榉菤W幾何的創(chuàng)立不只解決了兩千年來一直懸而未決的平行公設(shè)問題，更重要的是它引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命。首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學(xué)即歐氏幾何學(xué)的局面。統(tǒng)一幾何學(xué)的第一個大膽計劃是由德國數(shù)學(xué)家克萊因提出的。他在一次名為《艾爾朗根綱領(lǐng)》演講中充分闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的思想：所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問。這樣一來，不僅僅19世紀(jì)出現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相關(guān)的幾何學(xué)被聯(lián)系了起來，而且變換群的任何一種分類也對應(yīng)著幾何學(xué)的一種分類。

另一位數(shù)學(xué)家是希爾伯特，他對幾何學(xué)的統(tǒng)一也產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，他所提出的統(tǒng)一幾何學(xué)的方法是公理化的方法。希爾伯特在他的著作《幾何基礎(chǔ)》一書中提出的公理系統(tǒng)包括20條公理，且第一次提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，利用他這一研究方法，就可以得到相應(yīng)的某種幾何。這樣一來，不僅可以對原有的幾門非歐幾何進(jìn)行統(tǒng)一處理，而且還可以從中引出新的幾何學(xué)。

[1]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].高等教育出版社，2000.

[2]張宗杰.幾何學(xué)概論[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2012（9）.

（責(zé)編 吳海婷）